新高考数学二轮复习专题培优练习专题10 导数解答题分类练（解析版）

专题10导数解答题分类练一、曲线的切线问题1.（2023届河南省开封市通许县高三冲刺卷）已知函数SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0相切，求实数SKIPIF1<0的值；(2)若函数SKIPIF1<0有且只有一个零点，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）设直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象相切于点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，由②③可得SKIPIF1<0④，易知SKIPIF1<0.由①得SKIPIF1<0，代入④可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0只有一个根.易知SKIPIF1<0不是方程SKIPIF1<0的根，所以SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象只有一个交点.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，画出函数SKIPIF1<0的图象如图所示：

由图可知，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象只有一个交点，则SKIPIF1<0.所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.2．（2024届福建省莆田哲理中学高三上学期月考）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)试讨论函数SKIPIF1<0的单调性.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增3．（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考）已知函数SKIPIF1<0.(1)设SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0作函数SKIPIF1<0图像的切线，求切线的方程；(2)若函数SKIPIF1<0有极大值，无最大值，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，则切线斜率为SKIPIF1<0，切线方程：SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0带入得：SKIPIF1<0，此时斜率SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0.（2）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，注意到SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0时SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，函数SKIPIF1<0有极小值，无极大值，不符合题意.（2）当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减.当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，无极值和最值.若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0单调递减；在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0单调递增，此时SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极大值.注意到SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0无最大值，则还应满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同时SKIPIF1<0，带入SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.4.（2024届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，其导函数SKIPIF1<0的图象经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.(1)求SKIPIF1<0的解析式；(2)若曲线SKIPIF1<0恰有三条过点SKIPIF1<0的切线，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的图象经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0.因为曲线SKIPIF1<0恰有三条过点SKIPIF1<0的切线，所以方程SKIPIF1<0有三个不同实数解.记SKIPIF1<0，则导函数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或1.列表：SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0-0+SKIPIF1<0↗极大↘极小↗所以SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.5.（2024届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期质量调研）设函数SKIPIF1<0的定义域为开区间SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象只有唯一的公共点，则称切线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一条“SKIPIF1<0切线”.(1)判断函数SKIPIF1<0是否存在“SKIPIF1<0切线”，若存在，请写出一条“SKIPIF1<0切线”的方程，若不存在，请说明理由；(2)设SKIPIF1<0，若对任意正实数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0都存在“SKIPIF1<0切线”，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(3)已知实数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，求证：函数SKIPIF1<0存在无穷多条“SKIPIF1<0切线”，且至少一条“SKIPIF1<0切线”的切点的横坐标不超过SKIPIF1<0.【解析】（1）记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0.与函数SKIPIF1<0联立，得SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上严格增，在SKIPIF1<0上严格减，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0只有一个零点SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0是一条“SKIPIF1<0切线”:（2）SKIPIF1<0设点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图像上,点SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（*）由题意得直线SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0切线”，故方程（*）在SKIPIF1<0上有且仅有一解SKIPIF1<0则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是方程（*）的唯一解（此时有无数条“SKIPIF1<0切线”切点横坐标为SKIPIF1<0上的任意值）.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（此时只有一条“SKIPIF1<0切线”，切点的横坐标为SKIPIF1<0）或SKIPIF1<0（此时有无数条“SKIPIF1<0切线”,切点横坐标为SKIPIF1<0上的任意值）综上，SKIPIF1<0.（3）证明：SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0的方程与SKIPIF1<0联立得SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0切线”SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0有且仅有一个零点SKIPIF1<0（此时，一个SKIPIF1<0对应一条“SKIPIF1<0切线”），显然SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的零点，故只要SKIPIF1<0没其他零点.此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，此时当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故此时SKIPIF1<0为SKIPIF1<0唯一的极小值点（也是最小值点），而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0无其他零点，故直线SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0切线”，因SKIPIF1<0的任意性，故函数SKIPIF1<0存在无穷多条“SKIPIF1<0切线”，有一条“SKIPIF1<0切线”的切点的横坐标为SKIPIF1<0.二、含参函数的单调性问题6.（2024届山东省泰安市肥城市高三上学期9月月考）已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.【解析】（1）函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.综上所述：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.（2）证明：当SKIPIF1<0时，要证SKIPIF1<0成立，只需证SKIPIF1<0成立，只需证SKIPIF1<0即可.因为SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，可知SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立.7.（2024届江西省丰城厚一学校高三上学期9月月考）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.【解析】（1）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.（2）由（1）知，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，于是当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，令函数SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，于是函数SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.8.（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期9月月考）已知a为实常数，函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为自然对数的底数）(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有两个零点，求实数a的取值范围．【解析】（1）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；综上：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；（2）由（1）得，SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，不可能有2个零点，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，在SKIPIF1<0递增，函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0只有1个零点，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，在SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的最小值，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有2个零点．9.（2024届江苏省淮安市高三上学期第一次调研测试）已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减；②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，要证明SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，列表得aSKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递减极小值单调递增所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．10.（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；综上所述：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．（2）我们先证明引理：SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．引理的证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故只需证明SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，知当SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，所以恒有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0．综上，引理得证．回到原题：由（1）得SKIPIF1<0，故只需证明：对SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由引理得SKIPIF1<0．命题得证．三、函数零点与方程实根个数问题11.（2024届江西省全南中学高三上学期开学考试）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的极小值；(2)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且只有一个零点，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以函数SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0.（2）解：若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且只有一个零点.若SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且只有一个零点；②若SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，又由SKIPIF1<0，只需讨论SKIPIF1<0的符号，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且只有一个零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无零点.③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，又由SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且只有一个零点，综上可得，SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.12.（2023届海南省海口市高三下学期学生学科能力诊断）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的极值；(2)若函数SKIPIF1<0至少有两个不同的零点，求实数m的最小值.【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，极小值为SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故存在唯一的SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，当x变化时，SKIPIF1<0的变化情况如表：xSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0-0+SKIPIF1<0+0-0+SKIPIF1<0增极大值减极小值3增当SKIPIF1<0且无限趋近于0时，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0趋近于负无穷小，故SKIPIF1<0趋近于负无穷小，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0的大致图像如图：要使函数SKIPIF1<0至少有两个不同的零点，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象至少有两个交点，故需使SKIPIF1<0，即实数m的最小值为3.13.（2024届北京市陈经纶中学高三上学期9月阶段性诊断）已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(3)当SKIPIF1<0时，判断SKIPIF1<0在SKIPIF1<0零点的个数，并说明理由．【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，此时切线斜率为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0；所以切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；即曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0；（2）根据题意，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，即可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0恒成立；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；显然SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上满足SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立；即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0即可；因此实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.（3）令SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0；构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，如下图中实曲线所示：又函数SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（图中虚线）在SKIPIF1<0范围内恒在SKIPIF1<0（图中实直线）的上方；所以由图易知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范围内仅有一个交点，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内仅有一个零点.14.（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数SKIPIF1<0．(1)求证：曲线SKIPIF1<0仅有一条过原点的切线；(2)若SKIPIF1<0时，关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有唯一解，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设切点SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，当切线过原点时有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即切点有且只有一个，则曲线SKIPIF1<0仅有一条过原点的切线，即得证.（2）关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有唯一解，即方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有唯一解，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.易知SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0有且仅有一个交点，满足题意，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0有两个根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.①若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故要使得SKIPIF1<0有唯一解，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立.此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则极大值SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减.所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；同理，极小值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时无最小值，此时无实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0恒成立.②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，由①可得SKIPIF1<0；故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.综上所述：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.四、不等式恒成立问题15.（2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数SKIPIF1<0.(1)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数，求SKIPIF1<0的最小值；(2)证明：对任意正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为自然对数的底数）；(3)若SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）依题意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上SKIPIF1<0单调递减；在区间SKIPIF1<0上SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0.（2）要证明：对任意正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以对任意正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.（3）若不等式SKIPIF1<0恒成立，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0.16.（2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期9月月考）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求a的取值范围：(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的两个零点，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即a的取值范围是SKIPIF1<0．（2）令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又S