4.2 提取公因式法 解析版-八年级数学下

4.2提取公因式法考点一、提公因式法公因式法的概念把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；考点二：提公因式法的步骤：1、第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．2、注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．题型一：公因式1．（2023春·全国·八年级期中）多项式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．【详解】解：多项式的公因式是．故选：A．【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．2．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）下列各组多项式中，没有公因式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，找出即可．【详解】解：A、有公因式是，该选项不符合题意；B、有公因式是，该选项不符合题意；C、没有公因式，该选项符合题意；D、有公因式是，该选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查对因式分解-提公因式的理解和掌握，能正确地找出多项式的公因式是解此题的关键．3．（2022春·贵州贵阳·八年级统考期中）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（

）A．2x2y4 B．8x4y2 C．8x2y4 D．2x2y2【答案】D【分析】根据公因式的确定方法：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；即可得出答案．【详解】解：提公因式法分解因式时，应提取的公因式是2x2y2．故选D【点睛】本题考查提公因式法因式分解，理解公因式的概念是解题的关键．题型二：提公因式法因式分解4．（2022秋·贵州遵义·八年级校考期中）把分解因式，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将变形为，再提公因式即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）把多项式分解因式等于（

）A． B．C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（a﹣2）（m＋1）【答案】D【分析】提取公因式m（a﹣2）即可进行因式分解．【详解】解：=m（a﹣2）（m＋1），故选：D．【点睛】本题主要考查了用提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式的方法和因式分解的定义是解题的关键．6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）用提取公因式法分解因式正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用提公因式法分别对每个选项进行判断即可．【详解】A．，因此选项A不符合题意；B．，因此选项B不符合题意；C．，因此选项C符合题意；D．，因此选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查提公因式法分解因式，找出各项的公因式是提公因式法的关键．题型三：提公因式法的巧妙求值7．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）若，，则的值为（

）A．15 B．1 C．2 D．30【答案】D【分析】把因式分解后，把，代入即可得到答案．【详解】解：∵，，∴．故选：D【点睛】此题考查了因式分解和代数式的值，熟练掌握了因式分解是解题的关键．8．（2023春·八年级课时练习）已知，则当时，的值为（

）．A．25 B．24 C．23 D．22【答案】C【分析】先把变形，再整体代入求值．【详解】∵，∴，，故选：C【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式变形时解题的关键．9．（2023秋·江苏南通·八年级统考期末）已知，，则的值为（）A．3 B．6 C．8 D．11【答案】B【分析】将变形为，同时将化为，可得出的值，再将分解因式，最后将和的值代入即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，运用完全平方分式变形求值．灵活运用所学知识进行恒等变形是解题的关键．题型四：提公因式法的综合应用10．（2022春·安徽安庆·八年级校考阶段练习）附加题：已知实数m，n，p，q满足m+n=p+q=4，mp+nq=4，求（m²+n²）pq+mn（p²+q²）的值【答案】48【分析】有m+n=p+q=4，mp+nq=4可得mq+np=12，再将（m²+n²）pq+mn（p²+q²）变形为（mp+nq）（np+mq）即可求解；【详解】m+n=p+q=4∴（m+n）（p+q）=4×4=16∵（m+n）（p+q）=mp+mq+np+nq∴mp+mq+np+nq=16∵mp+nq=4∴mq+np=12∴（m²+n²）pq+mn（p²+q²）=m²pq+n²pq+mnp²+mnq²=mp•mq+np•nq+mp•np+nq•mq=mp•mq+mp•np+np•nq+nq•mq=mp（mq+np）+nq（np+mq）=（mp+nq）（np+mq）=4×12=48．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将原式正确变换是解题的关键．11．（2022秋·八年级课时练习）把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）提出公因式a即可分解因式；（2）提出公因式即可分解因式；（3）提出公因式即可分解因式；（4）提出公因式即可分解因式；（5）提出公因式即可分解因式；（6）提出公因式即可分解因式．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，利用相反数确定的公因式是解题关键．12．（2022秋·重庆巴南·八年级统考期末）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)61(2)1980【分析】（1）利用完全平方公式变形，再代入求值；（2）先利用因式分解和完全平方公式变形，再代入求值．【详解】（1）解：∵，∴，即；又∵，∴，∴；（2）解：∵，又∵，由（1），得．∴．∴．【点睛】本题考查因式分解和完全平方公式的灵活变形，熟练提公因式和完全平方公式变形是解题的关键．一、单选题13．（2023春·全国·八年级）分解因式的正确结果是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据提取公因式法因式分解，即可求解．【详解】解：．故选：．【点睛】本题主要考查因数分解，掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．14．（2023春·八年级课时练习）把因式分解时，应提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据公因式的概念（多项式各项都含有的相同因式），即可求解．【详解】由题意得应该提取的公因式是：故选：D．【点睛】本题考查因式分解中公因式的概念，解题的关键是掌握公因式的概念．15．（2023春·八年级课时练习）把多项式分解因式，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用提公因式法分解因式即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法（常用提公因式，公式法）是解题的关键．16．（2023春·四川成都·八年级成都市第二十中学校校考阶段练习）多项式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．【详解】解：多项式的公因式是．故选：C【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．17．（2023春·全国·八年级专题练习）把下列多项式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式，进而分解因式得出答案．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．18．（2023春·八年级课时练习）已知，，求下列各式的值：(1)．(2)．【答案】(1)1(2)10【分析】（1）利用完全平方公式展开，然后相减即可求出；（2）利用完全平方公式展开，然后相加求出的值，进而可得答案．【详解】（1）解：①，②，由得：，∴；（2）解：①，②，由得：，∴，∴．【点睛】本题考查利用完全平方公式求值，因式分解的应用，学生们熟练掌握完全平方公式是解题的关键．一、单选题19．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）分解因式正确的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可．【详解】解：．故选：D【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式．20．（2023春·八年级课时练习）已知，多项式可因式分解为，则m的值为（

）A． B．1 C． D．7【答案】B【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．【详解】解：根据题意得：，则，故选：B．【点睛】此题考查了因式分解和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2022秋·山东淄博·八年级统考期中）利用因式分解计算：的结果为（

）A． B．1 C．3 D．【答案】A【分析】可根据有理数幂的概念得到，再提公因式即可求解．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查有理数幂的概念、因式分解，理解有理数幂的概念并灵活运用是解答的关键．22．（2023春·八年级课时练习）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用十字相乘的方法分解因式，即可求出的值．【详解】解：∵多项式分解因式后含有因式，∴，∴．故选：C【点睛】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法分解因式是解本题的关键．23．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（

）A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5【答案】A【分析】适当变形后提公因式，可得答案．【详解】解：原式，另一个因式是，故选：A．【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键．24．（2022秋·八年级课时练习）对于任意的有理数,我们规定

,如

．求的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据新规定得出再根据提公因式法分解因式即可得出答案．【详解】解：

故选A【点睛】本题考查了新定义运算，涉及到提公因式法分解因式，灵活运用因式分解的方法是解题的关键．25．（2022春·河北邢台·八年级校考期末）已知，，则的值为（

）A．-32 B．32 C． D．【答案】C【分析】直接将原式变形，结合因式分解、二次根式的混合运算法则计算，进而得出答案．【详解】解：∵，，∴＝ab（a﹣b）＝（4+2）（4﹣2）（4+24+2）＝（16﹣20）×4＝﹣16．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用因式分解是解题关键．26．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算的结果为（

）A．2021 B．20210 C．202100 D．2021000【答案】C【分析】首先提取公因式，再进行计算即可．【详解】解：原式＝2021×（32+42+72）＝2021×（9+42+49）＝2021×100＝202100．故选：C．【点睛】此题考查的是因式分解的应用及有理数的混合运算，掌握因式分解的方法是解决此题的关键．二、填空题27．（2023春·全国·八年级期中）分解因式：___．【答案】【分析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．28．（2023秋·山东东营·八年级统考期末）多项式的公因式是________．【答案】【分析】多项式找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．【详解】解：多项式中，各项系数的最大公约数是6，各项都含有的相同字母是a、b，字母a的指数最低是1，字母b的指数最低是1，所以它的公因式是.故答案为：．【点睛】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．29．（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）已知，则的值为________________．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，根据等式得出系数相等，进而求得，将代数式因式分解然后整体代入即可求解．【详解】解：∵，，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解，正确的计算是解题的关键．30．（2023春·八年级课时练习），，则______．【答案】【分析】先利用因式分解把代数式变形，再整体代入数据求出代数式的值即可．【详解】解：，∵，∴原式．故答案为：．【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握提公因式法分解因式．31．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期末）已知，，则代数式的值为__________．【答案】【分析】原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．32．（2022秋·山东德州·八年级统考期末）已知长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，其代数式的值为______．【答案】【分析】根据长方形的周长及面积得到，，将代数式利用提公因式法分解因式后代入计算即可．【详解】解：∵长方形两条邻边的长分别为x和y，其周长为14，面积为10，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握因式分解的方法及长方形的周长、面积计算公式是解题的关键．三、解答题33．（2022秋·全国·八年级专题练习）先因式分解，再计算求值：，其中．【答案】，【分析】先利用提公因式法将原式分解因式，再将的值代入计算即可．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查因式分解，求代数式的值．理解掌握因式分解的方法是解决本题的关键．34．（2022春·宁夏吴忠·八年级统考期末）已知，求下列代数式的值．(1)(2)【答案】(1)15(2)【分析】（1）根据题意可得，根据完全平方公式进行变形，然后代入，即可求解；（2）根据题意可得，提出公因式，然后代入，即可求解．（1）解：∵∴，∴；（2）解：∵∴，∴【点睛】本题主要