2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-§5 正态分布

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

§5正态分布

基础过关练

题组一正态曲线

1.（2022黑龙江哈尔滨第三中学月考）下列是关于正态曲线

f（x）d2。2（xeR）性质的说法：

①曲线关于直线x=IX对称,且恒位于x轴上方；

②曲线关于直线x=。对称,且仅当x£[-3。，3。]时才位于x轴上方；

③曲线对应的正态分布密度函数是一个偶函数，因此曲线关于y轴对称；

④曲线在x=11处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；

⑤曲线的位置由U确定，曲线的形状由。确定.

其中说法正确的是（）

A.①④⑤B.②④⑤

C.③④⑤D.①⑤

2.（2020山东潍坊临胸一中阶段检测）设随机变量X~N（11,7）,若P（X<2）=P（X>4）,

则（）

A.EX=3,DX=7B.EX=6,DX=V7

C.EX=3,DX=V7D.EX=6,DX=7

3.（多选）（2020江苏旺哈马坝期中）已知三个正态分布密度函数

fi(x)=^e（xeR,i=l,2,3）的图象如图所示,则下列结论正确的是（)

A•。尸。2B.口1>口3

C.U2二口3D.。2<。3

4.（多选）（2020山东寿光现代中学期中）甲、乙两类水果的质量（单位:kg）分别服

从正态分布N（人,而），N（P%应），其正态分布密度曲线如图所示,则下列说法正

确的是（）

A.乙类水果的平均质量u2=0.8kg

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8kg

D,乙类水果的质量服从的正态分布的参数。2=1.99

题组二正态分布的概率问题

5.（2022山东济宁育才中学开学考试）已知随机变量&服从正态分布N（l,。）

若P（&〈4）=0.86,则P（&W-2）等于（）

A.0.14B.0.28C.0.68D.0.86

6.（2020福建厦门线上质量检查）设随机变量X~N（R,。9,若

P（XW1）=O.3,P（l<X<5）=0.4,则u=（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2020新疆实验中学期末）通过大数据分析,每天从岳阳去长沙的旅客人数为随

机变量X,且X~N（3000,5（）2）,则一天中从岳阳去长沙的旅客人数不超过3的

概率为（）

（若X~N（u,。2）,则P（—o〈XWu+。）心0.6826,P（u-

2。<XWii+2o）^0.9544,P（U-3o<XWu+3。）^0.9974）

A.0.0456B.0.6826

C.0.9987D.0.9772

8.设随机变量X~N（2,9）,若P（X>c+l）=P（X〈c-l）.

⑴求c的值；

⑵求P（-4〈XW8）.

附:若随机变量X~N（口，。2）,贝（jp（4-2o<XWn+2o）%0.9544.

题组三正态分布的应用

9.（多选）（2020江苏常州期末）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X

服从正态分布N（105,100）,其中90分为及格线，120分为优秀线,下列说法正确

的是（）

（若随机变量&服从正态分布N（u,。2）,则p（u-o<&WR+O）^0.682

6,P（u-2。&Wu+2。）仁0.9544,P（KWu+3。）-0.9974）

A.该市学生数学成绩的期望为105

B.该市学生数学成绩的标准差为100

C.该市学生数学成绩及格率超过0.99

D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等

10.（2020山东枣庄第三中学月考）某市教委组织一次10000人参加的高三调研

考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布N（100,100）,则此次考试数学成绩在

110~120分的人数大约为.（已知服从正态分布N（u,。9的随机变量在

区间（口-。，u+o],（u-2o,u+2o],（u-3o,u+3。]内取值的概率分别为

0.6826,0.9544,0.9974）

11.某工厂生产某款机器零件,因为要求精度比较高,所以需要对生产的一大批零

件进行质量检测.首先由专家根据各种系数制订了质量指标值,从生产的大批零

件中选取100件作为样本进行评估,根据评估结果作出如图所示的频率分布直方

图.

频率

0.009

0.008

165175J85195205215225235

质量指标值

⑴①根据频率分布直方图求a及这100件零件的质量指标值的平均数P;

②以样本估计总体,经过专家研究,零件的质量指标值X〜N（u,225）,试估计10

000件零件中质量指标值在（185,230]内的件数；

⑵设每件零件利润为y元,质量指标值为x,利润y与质量指标值x之间满足函

数关系鳖'""四，、9nq假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代

（.0.16%+200,x>205.

替,试估算该批零件每件的平均利润.（结果四舍五入，保留整数）

参考数据:若X~N（u,。2）,则P（U-O〈XWR+O）Q0.6826,P（L

2。<XWii+2o）%0.9544,P（u-3o<XWu+3。）^0.9974.

能力提升练

题组一正态分布及其概率计算

1.（2020山西期末）某个部件由两个电子元件按如图方式连接而成,

1元件2-

元件1或元件2正常工作,则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位:

小时）均服从正态分布N（1000,50%且各个元件能否正常工作相互独立.那么该

部件的使用寿命超过1000小时的概率为.

2.（2020广东佛山调研测试）测量某一目标的距离时,所产生的随机误差X服从正

态分布N（20,IO?）,如果独立测量3次,至少一次测量误差在（0,30］内的概率

是.

附:若随机变量XN（u,。2）,则P（u-。＜XWll+。）心0.68,P（R-

2o〈X〈u+2o".95,P（u-

3。＜XWu+3。）心0.99,0.1852^0.03,0.1853^0.006,0.8152^0.66,0.8153=^0.

54.

题组二正态分布的综合应用

3.（2020河南名校线上联考）某单位有800名员工,工作之余,工会积极组织员工

参与“日行万步”健身活动.经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步

数（单位:千步）的频率分布直方图如图所示.根据直方图可以认为,该单位员工日

均健步走步数近似服从正态分布,计算得其方差为6.25.由此估计,在这段时间内,

该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（）

附:若随机变量Z服从正态分布N（口,o2）,则P（n-o〈ZWH+o）%0.682

6,P（u-2。＜ZWu+2。）^0.9544,P（11-3。＜ZWu+3o）^0.9974.同一组数

据用该组区间的中点值作代表.

［频率/组距

0.22............1—।

0.08……-----------

05L・

04-

02-

0—

o48101214%舫千步

A.103B.105

C.107D.109

4.（2020江西南昌二中月考）随机变量X服从正态分布

N（10,Q2）,p（x＞i2）=m,P（8〈XW10）=n,则马+工的最小值为（）

mn

A.3+4逐B.6+2V2

C.8+2V2D.6+4V2

5.(2020河南驻马店期末)某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩X(单位：

分)服从正态分布N(110,IO?),记x£(90,110］为事件A,Xe(80,100］为事件B,则

P（B|A）=.（结果用分数表示）

附：P（u-。＜XWR+。）仁68.3%,P（u-2。＜XWu+2。）勺95.4%,P（R-

3。＜XWR+3。）^99.7%.

6.(2021新高考八省(市)联考)对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值

作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差£;［(),§,为使误差"，在(-

0.5,0.5)内的概率不小于0.9544,至少要测量________次(若X~N(口，。与，则

P(|X-u|＜2o)=0.9544).

7.(2020湖南三湘名校联盟联考)某学校为了解全校学生的体重情况,从全校学生

中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为

总体的概率.

(1)估计这100人体重数据的平均值u和方差。2;(结果取整数，同一组数据用

该组区间的中点值作代表)

⑵从全校学生中随机抽取3名学生,记X为体重在［55,65)的人数,求X的分布

列和数学期望；

⑶由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重Y近似服从正态分布N（u,。＞

若P（口-2。＜YWu+2。）＞0.9544,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校

学生的体重是否正常，并说明理由.

8.（2021福建泉州五中期末）某精密仪器制造商研发了一种切割设备,用来生产高

精度的机械零件,经过长期生产检验,可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态

分布N（u,。）某机械加工厂购买了该切割设备,在正式投入生产前进行了试生

产,从试生产的零件中任意抽取10件作为样本,下面是样本的尺寸

Xi（i=l,2,3,,,,,10,单位:mm）:

100.03100.499.92100.5299.98

100.3599.92100.44100.66100.78

用样本的平均数而乍为u的估计值，用样本的标准差s作为。的估计值.

（1）按照技术标准的要求,若样本尺寸均在（u-3。，口+3。］范围内，则认定该设

备质量合格,根据数据判断该切割设备的质量是否合格；

⑵该机械加工厂将该切割设备投入生产,对生产的零件制订了两种销售方案（假

设每种方案对销售量没有影响）：

方案1：每个零件均按70元定价销售；

方案2:若零件的实际尺寸在（99.7,100.3］范围内，则该零件为A级零件,每个零

件定价100元,否则为B级零件,每个零件定价60元.

哪种销售方案的利润更大?请根据数据计算说明.

10

附：X野4100601.8,样本方差$2=

1=11

1n

匿£靖一位‘9).若X'N(u,。之)，贝IJP(U—O<XWH+O)、0.6826,P(U-

ni=i1

2。<XWu+2O)^0.9544.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.A正态曲线f(x)关于直线x=R对称，该曲线总是位于x轴上方，故①正确，②

不正确；

只有当u=0时,正态分布密度函数是一个偶函数，曲线关于y轴对称，此时为标

准正态分布，当uW0时,不是偶函数,故③不正确；

正态曲线f(x)是一条关于直线x=u对称，在x=u处位于最高点，且由该点向左、

右两边延伸并逐渐降低的曲线,故④正确；

曲线的位置由P确定，曲线的形状由。确定，。越大，曲线越“矮胖”，。越小,

曲线越“高瘦”，故⑤正确.故选A.

2.A),随机变量X〜N(u,7),且P(X<2)=P(X>4),

。2=7,U=3,.\EX=3,DX=7.故选A.

3.ACD根据正态曲线关于直线x=P对称,知P越大，图象越靠右,所以

u1<M2=u3,B错误,C正确；

。越小，曲线越“高瘦”，所以。尸。2<。3”、D正确.

故选ACD.

4.AB甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称,所以

u1=0.4,Li2=0.8,故A正确，C错误；

因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中

于平均值附近，故B正确；

因为乙图象的最大值为1.99,即焉;=L99,所以。2#1.99,故D错误.故选AB.

5.A因为随机变量，服从正态分布N(l,。)所以口=1,即正态曲线关于直线

x=l对称，所以P(€W-2)=P(&24)=1-P(&<4)=1-0.86=0.14.故选A.

6.C由于随机变量X~N(♦,。2),且P(XW1)=O.3,P(l<X<5)=0.4,因此

P(X25)=1-0.3-0.4=0.3=P(XW1),根据正态曲线的对称性可知P=等=3.故选C.

7.D因为X~N(3000,50%所以n=3000,。=50,又u+2。=3100,所以由正态

曲线的对称性可知P(3000<X^3100)七竺/=0.4772,

则P(XW3100)d0.4772+0.5=0.9772,故选D.

8.解析(1)由X~N(2,9)可知,正态曲线关于直线x=2对称.

因为P(X>c+l)=P(X〈cT),

所以2-(c-l)=(c+l)-2,解得c=2.

⑵由X~N(2,9),得ii=2,o=3,

所以P(-4VXW8)=P(2-2X3VXW2+2X3)=P(u-2。〈XWu+2。)弋0.9544.

9.AD依题意得u=105,o=10,2o=20,u-2。=85.

期望为105,A正确；

方差为100,标准差为10,B错误;

该市85分以上的约占1-上等"=0.9772,故C错误；

由若空=105,及正态曲线的对称性可判断D正确.故选AD.

10.答案1359

解析由题意知该正态分布中P=100,o=10,

贝！JP(n(KXW120)=|［P(80<XW120)-P(90<XW110)］咕X(0.9544-0.682

6)=0.1359,

所以全市学生数学成绩在110~120分的人数大约为10000X0.1359=1359.

故答案为1359.

11.解析⑴①由10X(a+0.009+0.022+0.033+0.024+0.008+a)=l,得a=0.002.

LI=170X0.02+180X0.09+190X0.22+200X0.33+210X0.24+220X0.08+230X0

.02=200.

②由①知X"N(200,152),

所以P(185〈XW230)七竺|三+”|”=0.8185.

10000X0.8185=8185,

所以10000件零件中质量指标值在(185,230］内的件数约为8185.

⑵由题意得

y=0,8X170X0.02+0.8X180X0.09+0.8X190X0.22+0.8X200X0.33+(0.16X

210+200)X0.24+(0.16X220+200)X0.08+(0.16X230+200)X0.02=181.536Pl

82,

所以估计该批零件每件的平均利润为182元

能力提升练

1.答案;

4

解析解法一：由两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,509得两个

电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为a则该部件使用寿命超过100。

2

小时的概率p=l-

解法二：由题知元件1,2的平均使用寿命均为1000小时,设元件1,2的使用寿

命超过1000小时分别为事件A,B,显然P(A)=P(B)弓,所以该部件的使用寿命超

过1000小时的事件为IB+A亘+AB,所以其概率p=^X-+-X-+-X-=~.

2222224

2.答案0.994

解析由题意可知,在一次测量中误差在(0,30］内满足u-2o〈XWu+。，

其概率P=|p"2o<X<u+2o)+|P(u-o<XWu+0)号义(0.95+0.68)=0.815,

测量3次,每次测量误差均不在(0,30］内的概率为(1-0.815)3=0.1853^0.006,

独立测量3次,至少一次测量误差在(0,30］内的概率是1-0.006=0.994.

3.D由频率分布直方图估计该单位员工日均健步走步数的均值

U=1XO.04+3X0.08+5X0.16+7X0.44+9X0.16+11X0.1+13X0.02=6.96d7,

设日均健步走步数为X(单位:千步),则X〜N(7,6.25),

o=2.5,则u-o=4.5,=2,

.•,P(2〈XW4.5)4X(0.9544-0.6826)=0.1359,

V800X0.1359心109,

日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109,故选D.

4.D•.•随机变量X服从正态分布N(10,。之)，

.\P(X>10)=|,

VP(8<X^10)=n,.*.P(10<X^12)=n,

又P(X>12)=m,.*.m+n=|,且m>0,n>0,

+A)(2m+2n)=6+^+^^6+2区:五6+4近，当且仅当义=也，即

mn\mnJmnymnmn

m=字,酎个时，等号成立.

.二+工的最小值为6+4V2.

mn

5.答案—

954

解析由题意得,P(A)^47.7%,P(AB)^|x(95.4%-68.3%)=13.55%,

•.p(B|A)_P(-B)、13・55%_271

•・P⑷〜47.7%954,

6.答案32

解析由题意知P(-0.5<eWO.5)20.9544,

且P岛|<2用=0.9544.

A2三WO.5,解得n232.故答案为32.

、/n

7.解析

(1)u=(47.5+72.5)X0.004X5+(52.5+67.5)X0.026X5+(57.5+62.5)XO.07X

5=60.

。2=[(47.5-60)2+(72.5-60)2]X0.02+[(52.5-60)2+(67.5-60)2]X0.13+[(57.5-

60)2+(62.5-60)2]X0.35^25.

(2)由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生,其体重在[55,65)的概率为0.7.

随机抽取3人,相当于3重伯努利试验,随机变量X服从二项分布B⑶0.7),

P(X=O)=CgXO.7°X0.33=0.027,

P(X=l)=CjXO.