福建省高中数学联赛（福建省赛区）预赛试题

2018年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2018年福建省高中数学竞赛试卷（考试时间：2018年5月20日上午9：00—11:30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上）1.将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组：，，则位于第组.2.在中，内角所对的边分别是，若，则.3.设复数满足，则的最大值为.（为虚数单位，为复数的共轭复数）4.已知定义在上的奇函数的图像关于直线对称，当时，，则.5.从如图所示的由9个单位小方格组成的方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为.6.如图，在三棱锥中，都是边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的面积为.7.已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，分别为的重心、内心，若轴，则的外接圆半径.8.最近网络上有一篇文章很火.源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理.（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）设，则的最大值为.9.已知整数系数多项式，若，则.10.已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则.二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程）11.已知数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.12.已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.13.如图，在锐角中，是边上的点，的外心分别为.证明：（1）∽；（2）若，则.14.已知.（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若是函数的两个零点，求证：.15.设是由有限个正整数构成的集合，且，这里，并对任意的，都有，.已知对任意的，若，则，求集合的元素个数的最小值.（这里，表示集合的元素个数）试卷答案一、填空题：1．2.3.4.5.6.7.8.9.10.二、解答题：11.解：（1）由，得．将上述两式相减，得；①②②，得数列为等差数列；又由，及，得，的公差；．解法二：用数学归纳法（略）注：若猜出，没有证明，扣5分．（2）由（1）知，由，得，，使得成立的最小正整数的值为．12.解：设．由的垂心为，得．，解得．由点在椭圆上，得．结合，解得．椭圆的方程为．（2）由（1），知若斜率不存在，则由对称性，，不符合要求若斜率存在，设为，则的方程为由，得①设，则又，因此，直线的方程为：，即．13.解：（1）连结分别为的外心，为线段的垂直平分线．，．∽．（2）连结，延长与相交于点，由分别为的外心，知分别是线段的垂直平分线．．又，四点共圆，．又，，，四点共圆，．设的延长线分别与相交于，则四点共圆，又．14.解：（1）设，则时，不等式恒成立时，恒成立．，时，，在区间上为增函数．另由，知．若，则此时，在区间内有唯一零点，设为，则时，在区间上为减函数，．因此，不符合要求．若，则时，，此时，在上为增函数．时，．因此，符合要求．由①、②，得的取值范围为．（2）是函数的两个零点，，．不妨设，易知，联立上述两式，消，得又由（1）知，对，当时，恒成立．当时，恒成立．当时，．，；当时，同理可得：，．15.解：记不妨设；