高中数学一轮复习课时作业梯级练二十二三角恒等变换课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练二十二三角恒等变换〖基础落实练〗（30分钟60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1.计算cosQUOTEcosQUOTE-sinQUOTEsinQUOTE的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1〖解析〗选B.由两角和与差的余弦公式得cosQUOTEcosQUOTE-sinQUOTEsinQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=QUOTE.2．(2021·绥德模拟)若cos2α＝－eq\f(4,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，则tan(α＋eq\f(π,4))＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D．eq\f(1,2)〖解析〗选B.cos2α＝－eq\f(4,5)，可得cos2α－sin2α＝－eq\f(4,5)，因为cos2α＋sin2α＝1，所以cos2α＝eq\f(1,10)，sin2α＝eq\f(9,10)，因为α∈(eq\f(π,2)，π)，所以sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－3，所以tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2).3.(2021·贵阳模拟)已知sinQUOTE=QUOTE,60°<α<150°,则cosα为 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.因为60°<α<150°,所以90°<30°+α<180°,所以cosQUOTE=-QUOTE,因为cosα=cos〖(30°+α)-30°〗,所以cosα=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.4．已知α，β都是锐角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，则sinβ＝()A．－eq\f(56,65)B．－eq\f(16,65)C．eq\f(33,65)D．eq\f(63,65)〖解析〗选D.α，β都是锐角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，故cosα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13).sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(63,65).5．若α，β∈(0，π)，cos(α－eq\f(β,2))＝－eq\f(12,13)，sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(4,5)，则sineq\f(α＋β,2)＝()A．eq\f(33,65)B．－eq\f(33,65)C．eq\f(63,65)D．－eq\f(63,65)〖解析〗选C.由题意α，β∈(0，π)，故eq\f(α,2)，eq\f(β,2)∈(0，eq\f(π,2))，故α－eq\f(β,2)∈(－eq\f(π,2)，π)，eq\f(α,2)－β∈(－π，eq\f(π,2))，又cos(α－eq\f(β,2))＜0，sin(eq\f(α,2)－β)＞0，故α－eq\f(β,2)∈(eq\f(π,2)，π)，eq\f(α,2)－β∈(0，eq\f(π,2))，所以sin(α－eq\f(β,2))＝eq\r(1－cos2（α－\f(β,2)）)＝eq\f(5,13)，cos(eq\f(α,2)－β)＝eq\r(1－sin2（\f(α,2)－β）)＝eq\f(3,5)，则sineq\f(α＋β,2)＝sin〖(α－eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)－β)〗＝sin(α－eq\f(β,2))cos(eq\f(α,2)－β)－cos(α－eq\f(β,2))sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(63,65).二、填空题(每小题5分，共15分)6．若锐角α，β满足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，则α＋β＝________．〖解析〗由(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4可得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，即tan(α＋β)＝eq\r(3).又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq\f(π,3).〖答案〗eq\f(π,3)7.eq\f(\r(3),2)(cos215°－cos275°)＋sin15°cos15°＝________________.〖解析〗eq\f(\r(3),2)(cos215°－cos275°)＋sin15°cos15°＝eq\f(\r(3),2)cos30°＋eq\f(1,2)sin30°＝sin90°＝1.〖答案〗18.已知tan(α-β)=3,tanβ=2,则tanα的值为.

〖解析〗因为tanα=tanQUOTE=QUOTE,又tan(α-β)=3,tanβ=2,故tanα=QUOTE=-1.〖答案〗:-1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxsin(x＋eq\f(π,2)).求f(x)的最小正周期．〖解析〗f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxsin(x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sin(2x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).所以T＝π.10.(2021·六盘水模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为QUOTE,QUOTE.(1)求tanQUOTE的值;(2)求2α+β的值.〖解析〗(1)由已知得:cosα=QUOTE,cosβ=QUOTE.因为α,β为锐角,所以sinα=QUOTE,sinβ=QUOTE.所以tanα=2,tanβ=QUOTE.所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=3.(2)因为tan2α=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.因为α,β为锐角,所以0<2α+β<QUOTE,所以2α+β=QUOTE.〖素养提升练〗（20分钟35分）1．已知cos(eq\f(π,2)－α)＝2cos(π－α)，则tan(eq\f(π,4)＋α)＝()A．－3B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．3〖解析〗选C.由cos(eq\f(π,2)－α)＝2cos(π－α)，得sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.所以tan(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－2,1－1×（－2）)＝－eq\f(1,3).2．若sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，则sin(2α＋eq\f(5π,6))＝()A．eq\f(7,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(8,9)D．eq\f(2,3)〖解析〗选A.sin(2α＋eq\f(5π,6))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2（α＋\f(π,6)）)).＝cos2(α＋eq\f(π,6))＝1－2sin2(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(7,9).3．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两根，若α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β等于()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,3)或－eq\f(2,3)πC．－eq\f(π,3)或eq\f(2,3)πD．－eq\f(2,3)π〖解析〗选D.由已知得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)，tanαtanβ＝4，所以tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以－π＜α＋β＜0.又tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3)，所以α＋β＝－eq\f(2π,3).4．已知eq\f(3π,4)＜α＜π，tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(5sin2\f(α,2)＋8sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋11cos2\f(α,2)－8,\r(2)sin（α－\f(π,4)）)的值．〖解析〗(1)因为tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3)，所以tanα＝－3或－eq\f(1,3)，因为eq\f(3π,4)＜α＜π，所以tanα＞－1，所以tanα＝－eq\f(1,3).(2)eq\f(5sin2\f(α,2)＋8sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋11cos2\f(α,2)－8,\r(2)sin（α－\f(π,4)）)＝eq\f(5×\f(1－cosα,2)＋8×\f(sinα,2)＋11×\f(1＋cosα,2)－8,sinα－cosα)＝eq\f(3cosα＋4sinα,sinα－cosα)＝eq\f(3＋4tanα,tanα－1)＝eq\f(3＋4×（－\f(1,3)）,（－\f(1,3)）－1)＝－eq\f(5,4).5．(2021·兰溪模拟)已知f(x)＝2sinxsin(x＋eq\f(π,3))＋eq\f(1,2).(1)求f(eq\f(5π,12))的值；(2)若f(eq\f(α,2))＝eq\f(1,5)，求sinα的值．〖解析〗(1)因为f(x)＝2sinxsin(x＋eq\f(π,3))＋eq\f(1,2)＝2sinx(sinxcoseq\f(π,3)＋cosxsineq\f(π,3))＋eq\f(1,2)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋1，所以f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋1，所以f(eq\f(5π,12))＝sin(eq\f(5π,6)－eq\f(π,6))＋1＝1＋eq\f(\r(3),2).(2)由f(eq\f(α,2))＝eq\f(1,5)，得sin(α－eq\f(π,6))＋1＝eq\f(1,5)，即sin(α－eq\f(π,6))＝－eq\f(4,5)，故cos(α－eq\f(π,6))＝±eq\f(3,5).当cos(α－eq\f(π,6))＝eq\f(3,5)时，sinα＝sin(α－eq\f(π,6)＋eq\f(π,6))＝sin(α－eq\f(π,6))coseq\f(π,6)＋cos(α－eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(3－4\r(3),10)；同理，当cos(α－eq\f(π,6))＝－eq\f(3,5)时，sinα＝eq\f(－3－4\r(3),10).1．在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，则∠C＝()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4)D．eq\f(2π,3)〖解析〗选C.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，则tanA＋tanB＝1－tanAtanB，tanC＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(1－tanAtanB,1－tanAtanB)＝－1，因为0＜C＜π，所以∠C＝eq\f(3π,4).2.(2021·桂林模拟)已知f(x)=2sinQUOTEsinQUOTE-1.(1)若f(x)是偶函数,则cosQUOTE=;

(2)若f(x)的最大值是QUOTE,则cos2θ=.

〖解析〗(1)因为f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),即2sinQUOTEsinQUOTE-1=2sinQUOTEsinQUOTE-1,即sinQUOTEsinQUOTE+sinQUOTEsinQUOTE=0⇔sinQUOTEsinθcosQUOTE-cosθsinQUOTE+sinθcosQUOTE+cosθsinQUOTE=0,即2sinQUOTEsinθcosQUOTE=0,即sinxsinθ=0对任意x∈R成立,则sinθ=0,θ=kπ(k∈Z),所以QUOTE=QUOTE,则cosQUOTE=1或0或-1.(2)f(x)=2sinQUOTE-1=sinθsinx-cosθQUOTE-1=cosQUOTE-cosθ-1,所以当x=2kπ+θ(k∈Z)时,f(x)取最大值f(x)max=1-cosθ-1=-cosθ,从而-cosθ=QUOTE⇒cosθ=-QUOTE,则cos2θ=2cos2θ-1=2×QUOTE-1=-QUOTE.〖答案〗:(1)0或1或-1(2)-QUOTE课时作业梯级练二十二三角恒等变换〖基础落实练〗（30分钟60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1.计算cosQUOTEcosQUOTE-sinQUOTEsinQUOTE的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1〖解析〗选B.由两角和与差的余弦公式得cosQUOTEcosQUOTE-sinQUOTEsinQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=QUOTE.2．(2021·绥德模拟)若cos2α＝－eq\f(4,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，则tan(α＋eq\f(π,4))＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D．eq\f(1,2)〖解析〗选B.cos2α＝－eq\f(4,5)，可得cos2α－sin2α＝－eq\f(4,5)，因为cos2α＋sin2α＝1，所以cos2α＝eq\f(1,10)，sin2α＝eq\f(9,10)，因为α∈(eq\f(π,2)，π)，所以sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－3，所以tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2).3.(2021·贵阳模拟)已知sinQUOTE=QUOTE,60°<α<150°,则cosα为 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.因为60°<α<150°,所以90°<30°+α<180°,所以cosQUOTE=-QUOTE,因为cosα=cos〖(30°+α)-30°〗,所以cosα=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.4．已知α，β都是锐角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，则sinβ＝()A．－eq\f(56,65)B．－eq\f(16,65)C．eq\f(33,65)D．eq\f(63,65)〖解析〗选D.α，β都是锐角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，故cosα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13).sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(63,65).5．若α，β∈(0，π)，cos(α－eq\f(β,2))＝－eq\f(12,13)，sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(4,5)，则sineq\f(α＋β,2)＝()A．eq\f(33,65)B．－eq\f(33,65)C．eq\f(63,65)D．－eq\f(63,65)〖解析〗选C.由题意α，β∈(0，π)，故eq\f(α,2)，eq\f(β,2)∈(0，eq\f(π,2))，故α－eq\f(β,2)∈(－eq\f(π,2)，π)，eq\f(α,2)－β∈(－π，eq\f(π,2))，又cos(α－eq\f(β,2))＜0，sin(eq\f(α,2)－β)＞0，故α－eq\f(β,2)∈(eq\f(π,2)，π)，eq\f(α,2)－β∈(0，eq\f(π,2))，所以sin(α－eq\f(β,2))＝eq\r(1－cos2（α－\f(β,2)）)＝eq\f(5,13)，cos(eq\f(α,2)－β)＝eq\r(1－sin2（\f(α,2)－β）)＝eq\f(3,5)，则sineq\f(α＋β,2)＝sin〖(α－eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)－β)〗＝sin(α－eq\f(β,2))cos(eq\f(α,2)－β)－cos(α－eq\f(β,2))sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(63,65).二、填空题(每小题5分，共15分)6．若锐角α，β满足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，则α＋β＝________．〖解析〗由(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4可得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，即tan(α＋β)＝eq\r(3).又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq\f(π,3).〖答案〗eq\f(π,3)7.eq\f(\r(3),2)(cos215°－cos275°)＋sin15°cos15°＝________________.〖解析〗eq\f(\r(3),2)(cos215°－cos275°)＋sin15°cos15°＝eq\f(\r(3),2)cos30°＋eq\f(1,2)sin30°＝sin90°＝1.〖答案〗18.已知tan(α-β)=3,tanβ=2,则tanα的值为.

〖解析〗因为tanα=tanQUOTE=QUOTE,又tan(α-β)=3,tanβ=2,故tanα=QUOTE=-1.〖答案〗:-1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxsin(x＋eq\f(π,2)).求f(x)的最小正周期．〖解析〗f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxsin(x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sin(2x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).所以T＝π.10.(2021·六盘水模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为QUOTE,QUOTE.(1)求tanQUOTE的值;(2)求2α+β的值.〖解析〗(1)由已知得:cosα=QUOTE,cosβ=QUOTE.因为α,β为锐角,所以sinα=QUOTE,sinβ=QUOTE.所以tanα=2,tanβ=QUOTE.所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=3.(2)因为tan2α=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.因为α,β为锐角,所以0<2α+β<QUOTE,所以2α+β=QUOTE.〖素养提升练〗（20分钟35分）1．已知cos(eq\f(π,2)－α)＝2cos(π－α)，则tan(eq\f(π,4)＋α)＝()A．－3B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．3〖解析〗选C.由cos(eq\f(π,2)－α)＝2cos(π－α)，得sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.所以tan(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－2,1－1×（－2）)＝－eq\f(1,3).2．若sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，则sin(2α＋eq\f(5π,6))＝()A．eq\f(7,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(8,9)D．eq\f(2,3)〖解析〗选A.sin(2α＋eq\f(5π,6))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2（α＋\f(π,6)）)).＝cos2(α＋eq\f(π,6))＝1－2sin2(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(7,9).3．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两根，若α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β等于()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,3)或－eq\f(2,3)πC．－eq\f(π,3)或eq\f(2,3)πD．－eq\f(2,3)π〖解析〗选D.由已知得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)，tanαtanβ＝4，所以tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以－π＜α＋β＜0.又tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3)，所以α＋β＝－eq\f(2π,3).4．已知eq\f(3π,4)＜α＜π，tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(5sin2\f(α,2)＋8sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋11cos2\f(α,2)－8,\r(2)sin（α－\f(π,4)）)的值．〖解析〗(1)因为tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10,3)，所以tanα＝－3或－eq\f(1,3)，因为eq\f(3π,4)＜α＜π，所以tanα＞－1，所以tanα＝－eq\f(1,3).(2)eq\f(5sin2\f(α,2)＋8sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋11cos2\f(α,2)－8,\r(2)sin（α－\f(π,4)）)＝eq\f(5×\f(1－cosα,2)＋8×\f(sinα,2)＋11×\f(1＋cosα,2)－8,sinα－cosα)＝eq\f(3cosα＋4sinα,sinα－cosα)＝eq\f(3＋4tanα,tanα－1)＝eq\f(3＋4×（－\f(1,3)）,（－\f(1,3)）－1)＝－eq\f(5,4).5．(2021·兰溪模拟)已知f(x)＝2sinxsin(x＋eq\f(π,3))＋eq\f(1,2).(1)求f(eq\f(5π,12))的值；(2)若f(eq\f(α,2))＝eq\f(1,5)，求sinα的值．〖解析〗(1)因为f(x)＝2sinxsin(x＋eq\f(π,3))＋eq\f(1,2)＝2sinx(sinxcoseq\f(π,3)＋cosxsineq\f(π,3))＋eq\f(1,2)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋1，所以f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋1，所以f(eq\f(5π,12))＝sin(eq\f(5π,6)－eq\f(π,6))＋1＝1＋eq\f(\r(3),2).(2)由f(eq\f(α,2))＝eq\f(1,5)，得sin(α－eq\f(π,6)