高考数学一轮总复习 第八篇 第2讲 面积与体积公式 理 湘教版

第2讲面积与体积公式A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·大渡口一模)一个几何体的三视图如图所示，则左视图的面积为()．A．2＋eq\r(3) B．1＋eq\r(3)C．2＋2eq\r(3) D．4＋eq\r(3)解析依题意得，该几何体的左视图的面积等于22＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝4＋eq\r(3).答案D2．(·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ()．A.eq\f(9,2)π＋12B.eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42D．36π＋18解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π＋18.答案B3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为()．A．48 B．64 C．80 D．120解析据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5.∴此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4×eq\f(1,2)×8×5＝80(cm2)．答案C4．(·新课标全国)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()．A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6) C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)解析在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)；同理SB＝eq\r(3).过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(\r(3),2)，则△ABD的面积为eq\f(1,2)×1×eq\r(AD2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),4)，则三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),6).答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，则球O的表面积等于________．解析将三棱锥S－ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为4πR2＝4π.答案4π6．(·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6,3,1的长方体，下面是两个半径均为eq\f(3,2)的球，其体积为6×3×1＋2×eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝18＋9π(m3)．答案18＋9π三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，体积V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．8．(13分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一动点，如图所示，求CP＋PA1的最小值．解PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．计算A1B＝AB1＝eq\r(40)，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．CP＋PA1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理，得A1C＝eq\r(62＋\r(2)2－2·6·\r(2)·cos135°)＝eq\r(50)＝5eq\r(2)，故(CP＋PA1)min＝5eq\r(2).B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为 ()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95－\f(π,2)))cm2 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94－\f(π,2)))cm2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94＋\f(π,2)))cm2 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95＋\f(π,2)))cm2解析该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×eq\f(1,2)×1－2×πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝94＋eq\f(π,2).答案C2．(·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为 ()．A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(·江西盟校二联)已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．解析借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋4eq\r(3).答案12＋4eq\r(3)4．(·秀山二模)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．解析设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的eq\f(1,6)，即为eq\r(3).又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3eq\r(3)，由勾股定理可知，截面圆的半径为eq\r(3\r(3)2－\r(3)2)＝2eq\r(6)，圆锥底面面积为S1＝π·(2eq\r(6))2＝24π，圆锥的母线即为球的半径3eq\r(3)，圆锥的侧面积为S2＝π×2eq\r(6)×3eq\r(3)＝18eq\r(2)π.因此圆锥的全面积为S＝S2＋S1＝18eq\r(2)π＋24π＝(18eq\r(2)＋24)π.答案(18eq\r(2)＋24)π三、解答题(共25分)5．(12分)(·杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圆台－V圆锥＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.6．(13分)如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图(b)所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D－ABC的体积．(1)证明在图中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，从而AC2＋BC2＝AB