广东省番禺区2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试题（解析版）

2023学年第二学期高中教学质量监测试题高一数学本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】求出复数所对点的坐标即可判断作答.【详解】在复平面内，复数对应的点位于第三象限.故选：C2.设集合，，若，则（）．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.3.圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（）A.8 B.7 C.5 D.3【答案】B【解析】【分析】根据侧面积公式求解即可.【详解】依题意，设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，则，故.故选：B4.某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表：年级高一高二高三抽样人数363430平均身高则该校高中学生的平均身高可估计为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式求解.【详解】由题意可知：抽取的总人数为，各年级的频率依次为，所以该校高中学生的平均身高可估计为.故选：C.5.已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出的图象，方程有3个实数解，转化为与的图象有3个不同的交点，然后根据图象求解即可.【详解】的图象如图所示，因为方程有3个实数解，所以与的图象有3个不同的交点，由图可知.故选：A6.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（）A.A与B，A与，与B，与都相互独立B.与是对立事件C.D.【答案】A【解析】【分析】由独立事件的定义以及乘法公式判断AC，由对立事件的定义、互斥事件的概率公式判断D.【详解】对于A：由于两人射击的结果没有相互影响，则A与B，A与，与B，与都相互独立，故A正确；对于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即与不是对立事件，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：A7.已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得，再由即可求范围.【详解】由在边上运动，且△为边长为2的正三角形，所以，则，由.故选：D8.如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中，①平面EFG②平面平面③所有点P在直线上④BP与所成的角为，则的最小值是正确命题的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】对于①，根据直线BP与平面EFG无公共点进行判断，对于②，根据面面平行的判定定理结合正方体的性质分析判断，对于③，结合①②分析判断，对于④，【详解】对于①，因为直线BP与平面EFG无公共点，所以平面EFG，所以①正确，对于②，连接，因为点E，F，G分别是棱BC，，的中点，所以∥，∥，因为∥，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，∥平面，因为，平面，所以平面平面，所以②正确，对于③，由①②知平面，平面EFG，所以平面，因为平面平面，点P为底面上任意一点，所以所有点P在上，所以③错误，对于④，因为∥，所以为BP与所成的角，因为平面，平面，所以，所以，由③可知点P在上，所以当为的中点时，最小为，所以的最小值为，即的最小值是，所以④正确.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列不等式，正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的性质逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为在上递减，且，所以，所以A错误，对于B，因为在上递减，且，所以，所以B正确，对于C，因为在上递增，且，所以，因为，所以，所以C正确，对于D，因为在上递增，且，所以，所以，所以，因为在上递增，，所以，所以，所以，所以，所以D正确.故选：BCD10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（

）A.图（1）的平均数中位数众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数中位数<平均数D.图（3）的平均数中位数众数【答案】ACD【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故选：ACD.11.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（）A.阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形B.鳖臑的四个面均为直角三角形C.阳马的体积是鳖臑的体积的两倍D.堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断，对于B，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断，对于C，根据棱锥的体积公式结合已知条件分析判断，对于D，根据堑堵、阳马与鳖臑的定义分析判断.【详解】对于A，如图，由题意可知平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误，对于B，如图由题意可知平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确，对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则，所以阳马的体积，鳖臑的体积，所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确，对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点，所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体，所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则第50百分位数是________．【答案】5【解析】【分析】根据百分位数的定义直接求解即可.【详解】因为，所以第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数.故答案为：513.已知是方程的一个根，则________【答案】14【解析】【分析】利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可求出．【详解】是关于方程的一个根，也是关于方程的一个根，，，解得，，故答案为14【点睛】本题考查一元二次方程的虚根成对原理、韦达定理，属于基础题．14.已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由在区间上单调递增，可得，再由对任意的恒成立，转化为，利用函数的单调性求出的最小值，从而可出的取值范围.【详解】的对称轴为，因为在区间上单调递增，所以，得，因为对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，令（），因为和在上递增，所以在上递增，所以，所以，得，综上，，即a的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，．（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】首先求出，，的坐标；（1）依题意可得，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得；（2）对直角分三种情况讨论，若为直角，则，所以，即可求出参数的值，其余类似；【详解】解：（1）因为，，，所以，因为、、三点共线，所以，所以，解得（2）①若为直角，则，所以，解得②若为直角，则，所以，解得③若为直角，则，所以，即，因为，所以方程无解；综上可得，当或时为直角三角形16.某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分：10.19.810.09.710.09.8经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，．（1）求这组样本平均数和方差；（2）从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率；（3）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由．【答案】（1）平均数9.9，方差0.02（2）（3）新样本平均等级不一定是一等品，理由见解析【解析】【分析】（1）根据平均数和方差计算公式求解即可；（2）由列举法结合概率公式求解；（3）根据平均数公式得出改进后生产的产品评分的平均数，再由平均数的定义作出判断.【小问1详解】，样本方差为，【小问2详解】用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品，用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品，则该试验的样本空间可表示为共有15个样本点．设事件A为两次都抽到一等品，它包含了3种等可能的结果，即．所以．即两件均为一等品的概率为．【小问3详解】因为改进后随机抽取的6件产品是改进前抽取的6件产品每个提高0.2分，所以估计改进后生产的产品评分的平均数，所以可以认为这6件产品平均等级为一等品.因为样本数据具有随机性这6件产品不一定是一等品，所以新样本平均值不一定达到10分以上，所以新样本平均等级不一定是一等品．17.金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形．（1）证明：平面CDF；（2）证明：四棱锥是正四棱锥；（3）试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）不垂直，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可知对角面AFCE是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论；（2）连接AC与BD，设，连接EO，根据题意利用等腰三角形的性质可证得，，则由线面垂直的判定定理可得平面ABCD，从而可证得结论；（3）取BE中点G，连接AG，GC，AC，则，，是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，表示出，然后利用勾股定理的逆定理分析判断即可小问1详解】由题意可知，对角面AFCE是正方形，所以，又因为平面CDF，平面CDF，所以平面CDF．【小问2详解】如图1，连接AC与BD，设，连接EO，图1图2则因为，所以，，又因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且所以平面ABCD．所以四棱锥是正四棱锥．【小问3详解】如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，根据等边三角形性质可知，，所以是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，则，，则在中，，所以，所以平面ABE与平面BCE不垂直．18.已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且．（1）求A的大小；（2）若，的面积为，求a，b；（3）求的取值范围．【答案】（1）（2），（3）．【解析】【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得答案；（2）由求出，再由余弦定理可得答案；（3）利用两角和的正弦展开式可得，设，由的范围求出的范围，再由余弦定理得，可得，利用配方法可得答案.【小问1详解】由正弦定理得，因为，所以，即，因为，所以，故，所以，因为，所以，故，解得；【小问2详解】因为，所以，即，所以，又因为，即，所以；【小问3详解】因为，所以，设，因为，所以，由（1）知，由余弦定理，得，，，，当时，取最小值；时，取最大值．所以的取值范围是．19.已知函数的定义域为，且，．（1）若，求A与；（2）证明：函数是偶函数；（3）证明函数是周期函数；（4）若的周期为T，在上是减函数，