2024年上海市青浦区四校联考模拟数学试题（解析版）

2024学年青浦区四校联考3月自适应性练习数学卷（满分：150分考试时间：100分钟）考生注意：1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外．3．考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊．4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负．5．本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后一．选择题（共6题，每题4分，满分24分）1.实数的相反数是（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．【详解】的相反数是5．故选：A．2.已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（）A.和B.和C.和D和【答案】A【解析】【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．3.A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（）A.且． B.且．C.且 D.且．【答案】B【解析】【分析】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．【详解】根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．故选：B．【点睛】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．4.《九章算术》卷八方程第十题原文为∶“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，则可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得，甲的钱乙所有钱的一半，乙的钱甲所有钱的，据此列方程组可得．【详解】解：根据题意得：．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．5.设二次函数，（m，n是实数，）的最小值分别为p，q，则（）A.若，则， B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据对称轴公式求出和的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出m>0，存在最小值，进而得出，，结合条件得出，列出方程求解即可．【详解】解：由两函数表达式可知，函数的对称轴为，函数的对称轴为，∵二次函数，（m，n是实数，）的最小值分别为p，q∴两函数图象均开口向上，即m>0则有，若，则有解得：或（舍去），将代入p，q得：，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小）值的求法．6.如图1，有一个含45°角且一组邻边长分别为b，的平行四边形纸片①和一个含45°角且边长为a的菱形纸片②（∠ABC＝45°）纸片内，再将①按不同的方式放置到图2中依次得到图3、图4．平行四边形ABCD未被覆盖的部分用阴影表示S1，S2，若S2﹣S1＝2b，则AD﹣AB的值为（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】设平行四边形ABCD的面积为S，则S1＝S﹣a×a×sin45°﹣×（AD﹣a）×sin45°，S2＝S﹣a×a×sin45°﹣×（AB﹣a）×sin45°，得S2﹣S1b（AB﹣AD），再由S2﹣S1＝2b，即可求解．【详解】解：设平行四边形ABCD的面积为S，则S1＝S﹣a×a×sin45°﹣×（AD﹣a）×sin45°，S2＝S﹣a×a×sin45°﹣×（AB﹣a）×sin45°，∴S2﹣S1＝S﹣a2﹣（AB﹣a）×-[S-a2﹣（AD﹣a）×]=b（AB﹣AD），∵S2﹣S1＝2b，∴b（AB﹣AD）＝3b，∴AB﹣AD＝12，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、锐角三角函数定义等知识；正确求出平行四边形的面积是解题的关键．二．填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.分解因式：x2－25=_________________.【答案】【解析】【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：．8.不等式组的解是________．【答案】【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：，由①得：，解得：，由②得：，解得：，∴不等式组的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9.如图1是两扇推拉门，是门槛，，是可转动门宽．现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中，，测得，间的距离为，则门槛的长为_______．【答案】260【解析】【分析】过作于，过作于，过作于，设，利用三角函数定义表示出相应线段，在中，利用勾股定理求出x值，即可得到AB．【详解】解：如图，过作于，过作于，过作于，设，∵，，∴，，∴，，，，由题意可知四边形是矩形，∴，，∴，在中，，解得，∴．故答案为：260．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，解本题的关键是熟练运用锐角三角函数求出线段．10.一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为_____．【答案】【解析】【分析】直接利用概率公式即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查求概率，掌握概率公式是解题的关键．11.如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点C在的延长线上，且，则的正弦值为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟记各个特殊角度锐角三角函数值．过点B作于点M，过点D作于点N，设，则，，进而得出，推出，最后根据，即可解答．【详解】解：过点B作于点M，过点D作于点N，∵，∴，设，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．12.已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________．【答案】【解析】【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y=3x-1与y=kx的方程组的解为：，即的解为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．13.某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．【答案】30%【解析】【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，依题意得100（1+x）2=169，解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），∴x=0.3=30%，故答案为：30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则=________．【答案】【解析】【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出和的长．连接DB交于点O，作于点I，作交AB的延长线于点J，根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得和的长，然后结合图形及向量，即可得出结果．【详解】解：连接DB交于点O，作于点I，作交AB的延长线于点J，如图所示，∵四边形是菱形，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵菱形和菱形大小相同，∴，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴，∵与方向相反，∴故答案为：．15.如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则风车叶片转动时，叶片外端离地面的最大高度等于____米．【答案】（10+）【解析】【分析】作平行线OP，根据平行线分线段成比例定理可知PC=PD，由EF与影子FG的比为2：3，可得OM的长，同法由等角的正弦可得OB的长，从而得结论【详解】解：如图，过点O作，交MG于P，过P作PN⊥BD于N，则OB＝PN，由题意可得，∴，∴＝，∠EGF＝∠OPM，∵OA＝OB，∴CP＝PD＝CD＝6.5，∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，tan∠EGF＝tan∠OPM，∴＝＝，∴OM＝×15＝10；设EF=2x，则FG=3x，∴EG=x，∵，∴∠EGF＝∠NDP，∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，∴OB＝PN＝，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．故答案为：（10+）．【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．16.小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是__________．【答案】【解析】【分析】先根据图1求EQ与CD之间的距离，再求出BQ，即可得到之间的距离=EQ与CD之间的距离+BQ．【详解】解：过点E作EQ⊥BM，则根据图1图形EQ与CD之间的距离=由勾股定理得：，解得：；，解得：∵∴∵EQ⊥BM，∴∴∴之间的距离=EQ与CD之间的距离+BQ故答案为．【点睛】本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键．17.如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，证明是解答本题的关键．由折叠的性质可知，，，证明得，设，，则，，代入比例式求出，则，然后根据正弦定义求解即可．【详解】解：如图，设与交于点G，由折叠的性质可知，，．∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，设，，则，∴，∴，∴或（舍去）∴，∴．故答案为：．18.如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．作轴于G，连接，设和交于I，设点，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．【详解】解：如图，作轴于G，连接，设和交于I，设点，由对称性可得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，（舍去），∴，即：，在中，由勾股定理得，，∴，∴（负值舍去），∴，设直线的解析式为，将点B代入得，解得：，∴直线的解析式为：，同理得：直线的解析式为：，当时，，∴，∴，故答案为：．三．解答题（满分78分）19.计算：【答案】【解析】【分析】根据去绝对值，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，实数的运算法则计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查实数的运算法则，去绝对值，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握公式及法则．20.解方程组：．【答案】，【解析】【分析】先利用因式分解，由①得到或，再与②组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组，即可求得原方程组的解．【详解】解：，由①得，∴或，把这两个方程与②组成方程组得：，，解得，，故原方程组的解为，．【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．21.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．（1）求关于的函数解析式；（2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可．【小问1详解】由题意设，把，代入，得．∴关于的函数解析式为．【小问2详解】把代入，得．∴小孔到蜡烛的距离为．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．22.图是某折叠式靠背椅实物图，图是椅子打开时的侧面示意图，椅面与地面平行，支撑杆，可绕连接点转动，且，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，点是的中点，，均与地面垂直，测得，，．（1）求椅面的长度为；（2）如图，椅子折叠时，连杆绕着支点带动支撑杆，转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，求，两点间的距离（结果精确到）．（参考数据：）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（）延长交于点，则，根据相似三角形的性质求出长度，则；（）根据图可得，对应图中求出长度，列比例求即可；本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解题的关键．【小问1详解】如图，延长交于点，∵椅面与地面平行，∴，∴，即，∴，∴，故答案为：；【小问2详解】在图中，∵，椅面与地面平行，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵是的中点，∴，∵椅面与地面平行，∴，∴，图中，过点作的垂线，垂足为，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，答：，两点间的距离为．23.如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．（1）连接，若，求证：是半圆的切线；（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；（2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论．【小问1详解】证明：连接，为半圆的切线，为半圆的直径，，∵，，四边形是平行四边形，，，，四边形是平行四边形，∴，∵，，∵，，是半圆的切线；【小问2详解】解：，理由：如图2，连接，为半圆的直径，，，，，，，，．24.请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：．解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中_________和_________（只填序号）①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．（2）用类似的方法解一元二次不等式：．（3）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________．…401234……50010…②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．③结合函数图象，解决下列问题：解不等式：【答案】（1）①，③（2）（3）①全体实数；；②见解析；③或或【解析】【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可；（2）依照例题，先求得的解，再画出的草图，观察图象即可求解；（3）①当时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解．【小问1详解】解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想；故答案为：①，③【小问2详解】解：，设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象