【解析】安徽省滁州市定远县重点中学高三下学期6月模拟数学（理）试题

定远重点中学2020届高三下学期6月模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，∴，∴．选C．2.已知x，，i为虚数单位，且，则A.2 B. C. D.2i【答案】B【解析】【分析】根据对应关系求出x，y的值，结合复数的运算求出代数式的值即可．【详解】由，得：，所以，，所以，故选B．【点睛】本题考查了复数的运算，考查对应思想，是一道常规题．复数与相等的充要条件是且．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．时，则输出的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用程序框图和分段函数进行求解．详解：当时，，则；当时，；综上所述，输出的范围为．点睛：本题考查程序框图等知识，意在考查分类讨论思想的应用能力和基本计算能力．4.已知为所在平面内一点，，，则的面积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】根据条件得知点P在三角形中位线的延长线上，三角形ABC是以B为直角的直角三角形，记AC中点为O点，OBPC按这一顺序构成平行四边形的四个边，并且是菱形，边长为2，故BC为2，此时三角形面积为故答案为B．5.【2018届浙江省温州市一模】如图，正四面体中，在棱上，且，分别记二面角的平面角为，在（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是正四面体，在棱上，且，可得为钝角，为锐角，设的距离为的距离为的距离为的距离为，设正四面体的高为,可得，由余弦定理可得，由三角形面积相等可得到，所以可以推出所以，故选D.【方法点睛】本题主要考查二面角的求法，属于难题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，本题很巧妙的应用点到面的距离及点到线的距离求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小关系.6.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，则函数图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对函数化简，然后利用三角函数的平移关系求出的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可．【详解】，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，即，由，得，，当时，，即函数的一个对称中心为，故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．7.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.8.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】【分析】∵∴为奇函数，排除A，C，，且排除D，故选B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．9.设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数（，）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得函数的图象关于直线对称，又是偶函数，即图象关于直线对称，因此它还是周期函数，且周期为，函数的零点个数就是函数与曲线的图象交点的个数，如图由奇偶性和周期性作出的图象，作出的图象，由图象知，两图象只有三个交点，则有或，解得或．故选C．考点：函数的零点．【名师点睛】本题考查函数零点，函数的零点，就是方程的解，也是函数的图象与轴交点的横坐标，它们个数是相同的，因此有解决零点个数问题时，常常进行这方面的转化，把函数零点转化为函数图象交点．在转化时在注意较复杂的函数是确定的（没有参数），变化的是比较简单的函数，如基本初等函数，大多数时候是直线，这样变化规律比较明显，易于观察得出结论．本题解法是数形结合思想的应用．10.设函数，若存在区间，使在，上的值域为，，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断的单调性得出在，上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出的范围．【详解】解：，，当时，，在，上单调递增，，在，上单调递增，，，，在，上单调递增，在，上的值域为，，，方程在，上有两解，．作出与直线的函数图象，则两图象有两交点．若直线过点，，则，若直线与的图象相切，设切点为，，则，解得．，故选：．【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．11.已知是实数，若圆与直线相切，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题设圆心到直线的距离，即，也即，因为，所以，即，解之得或，应选答案B．点睛：解答本题的关键是借助题设条件建立方程，然后再依据问题的特征与欲求目标之间的联系，借助基本不等式建立了不等式，最后通过解不等式使得问题获解．12.下列说法正确是（）A.若命题，，则，B.已知相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均增加个单位C.命题“若圆与两坐标轴都有公共点，则实数”为真命题D.已知随机变量，若，则【答案】C【解析】若命题，，则，;已知相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均减少个单位;命题“若圆与两坐标轴都有公共点，则为真命题;已知随机变量，若，则;所以选C.第Ⅱ卷非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若满足约束条件，则最大值是__________．【答案】【解析】【详解】【分析】,

画出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值，由可得，有最大值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.多项式展开式中所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项为__________．【答案】141【解析】【详解】【分析】由展开式中所有项的系数之和为可得：，则展开式中的常数项可分为种情况个括号都取⑵个括号取，个括号取，个括号都取，⑶个括号取，个括号取，个括号取，⑷个括号取，个括号取，展开式中的常数项为15.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰出之,问各几何?”其意为:“今有甲带了560钱,乙带了350钱,丙带了180钱,三人一起出关,共需要交关税100钱,依照钱的多少按比例出钱”,则乙应出(所得结果四舍五入,保留整数)钱数为______.【答案】32【解析】【分析】根据甲乙丙所带钱数，可以计算出所交关税在全部钱中的占比，根据该比例，可算出乙应出的钱数.【详解】由题可知：甲乙丙所带钱数的总和为：560+350+180=1090，故关税缴纳的比例为：，所以：乙应该出钱：.故答案为：32.【点睛】本题考查分层抽样在实际问题中应用，需要注意每层的抽样比例与整体的抽样比例相等.16.已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有根的和为_____________．【答案】4【解析】【详解】∵函数是奇函数∴函数的图象关于点对称∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，则.又∵∴，从而∴，即∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.画出函数的图象如图所示：∴结合图象可得区间内有8个根，且所有根的和为.故答案为4.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1)(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.【详解】(1)∵∴∴由正弦定理得：即∴∵C为三角形的内角，∴(2)由（1）知，∴∴△ABC为等腰三角形，即CA=CB又∵M为CB中点∴CM=BM设CA=CB=2x则CM=BM=x∴解得：x=2∴CA=4,CM=2由余弦定理得：AM=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的的平均值为依据，播报我市的空气质量.（Ⅰ）若某日播报的为118，已知轻度污染区的平均值为74，中度污染区的平均值为114，求重度污染区的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中的分布，11月份仅有一天在内.组数分组天数第一组3第二组4第三组4第四组6第五组5第六组4第七组3第八组1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）172（Ⅱ）①②见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，利用加权平均数求出x的值；（Ⅱ）①由题意知11月份AQI小于180的天数，计算所求的概率即可；②由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（Ⅰ）设重度污染区的平均值为，则，解得.即重度污染区平均值为172.（Ⅱ）①由题意知，在内的天数为1，由图可知，在内的天数为17天，故11月份小于180的天数为，又，则该学校去进行社会实践活动的概率为.②由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，则的分布列为0123数学期望.【点睛】本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题．19.已知多面体中，四边形为平行四边形，，且，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，直线与平面夹角的正弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【详解】试题分析：(1)由题意结合线面垂直的判断定理可得平面，然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系，结合题意利用夹角公式可得求得直线与平面的夹角的正弦值，据此可得.试题解析：（1）∵，，∴，∴；又，，∴平面；因为平面，所以平面平面.（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，平面，故；以为原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，设平面的一个法向量，因为，，∴，取，，则，，设直线与平面的夹角为，故，解得（舍去），故.20.已知椭圆：的右焦点为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过点，且与椭圆交于轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）轴上存在点【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可【详解】（1）由题意知，根据椭圆的定义得：即，，椭圆的标准方程为（2）假设在轴上存在点，使得恒成立．①当直线的斜率为时，，．则解得．②当直线的斜率不存在时，，．则解得或③由①②可知当直线的斜率为或不存在时，使得成立．下面证明，即时恒成立．设直线的斜率存在且不为时，直线方程为，,，由，可得，综上所述：在轴上存在点，使得恒成立．考点：1．直线与圆锥曲线的关系；2．椭圆的标准方程21.已知函数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）当有两个极值点时，若极大值小于整数，求的最小值.【答案】（1）为上的减函数（2）3【解析】【分析】（1）求出函数的导数，法一、结合二次函数的图象与性质判断导函数的符号，求出函数的单调性即可；法二、令，则，结合函数的单调性求出的极大值，即可得到结论；（2）令，则，根据函数的单调性得到有两个实数根（），取出实数的取值范围，进而求出的极大值，进而得出实数的取值范围.【详解】（1）由题.方法1：由于，又，所以，从而，于是为上的减函数.方法2：令，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数.故在时取得极大值，也即为最大值.则.由于，所以，于是为上的减函数.（2）令，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数.当趋近于时，趋近于.由于有两个极值点，所以有两个不等实根，即有两不等实根（）.则解得.可知，由于，，则.而，即（）所以，于是，（*）令，则（*）可变为，可得，而，则有，下面再说明对于任意，.又由（）得，把它代入（*）得，所以当，恒成立，故为减函数，所以.所以满足题意的整数的最小值为3.点睛：本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题