高考数学一轮复习 （基础知识 高频考点 解题训练）几何概型教学案

1基础都艰要打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的性度（面积或傕积）成比例，则称这样的

概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

2.几何概型的概率公式

在几何概型中，事件/的概率的计算公式如下：

p（.._构成事件力的区域长度面积或体积一

庆用—试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.

［小题能否全取］

1.（教材习题改编）设A（0,0）,6（4,0）,在线段加上任投一点?，贝/序|<1的概率为

11

B

2-3-

AC.

11

--

4D.5

解析：选C满足|序|<1的区间长度为1,故所求其概率为］

2.（2012•衡阳模拟）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若

小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）

ABCD

3221

解析：选A中奖的概率依次为一⑷二，=~,尸^）=?

3.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影

区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为

Ji—2

B.

2

ji—2

C.D.

44

解析：选B设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接

2兀—4

正方形的面积，即为加一2,则阴影区域的面积为2m—4,所以所求概率为P=—^=

兀一2

2,

4.有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含

有这个细菌的概率是.

解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故尸=

0.05.

答案：0.05

5.如图所示，在直角坐标系内，射线。7落在30°角的终边上，任作

一条射线。4则射线。落在内的概率为

解析：如题图，因为射线处在坐标系内是等可能分布的，则勿落在一/

内的概率为黑=1

答案：7

0

1.几何概型的特点：

几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验

结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，

只与该区域的大小有关.

2.几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果.

1gl高频考点逑通关抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

**-与长度、角度有关的几何概型

占典题导入

［例1］(2011•湖南高考)已知圆C,/+y=12,直线1-.4x+3y=25.

(1)圆C的圆心到直线1的距离为；

(2)圆。上任意一点A到直线1的距离小于2的概率为.

［自主解答］(1)根据点到直线的距离公式得d=R=5；

5

(2)设直线4x+3p=c到圆心的距离为3,则唱=3,取c=15,则直线4x+3y=15把

圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是八口，则可得

直线4计3尸15截得的圆弧所对的圆心角为6。。，故所求的概率舄

>»一题多变

本例条件变为：“已知圆C：/+y=12,设〃为此圆周上一定点，在圆周上等可能地

任取一点N,连接MN.”求弦/V的长超过24的概率.

D

解：如图，在图上过圆心。作0a直径az则协=必=2加式、

当"点不在半圆弧点万上时，粉>2乖.0fL

1

兀乂2也

所以尸（4=7-

&由题悟法

求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度

（角度），然后求解.确定点的边界位置是解题的关键.

否以题试法

1.（1）（2012•福建四校联考）已知/是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点

A1,则4r的长度小于半径的概率为.

（2）在RtZU6C中，/的C=90°,A8=l,6c=2.在6c边上任取一点〃,则NZ姐三90

的概率为.

解析：（1）如图，满足阳’的长度小于半径的点/位于劣弧胡7上，

2Ji

其中△力胡和△力3为等边三角形，可知/6。。=亍，故所求事件的概率

2

兀

31

2-3-

JI

⑵如图，在山△/回中，作4?，6G。为垂足，由题意可得初=

1

2-

5，且点〃在初上时，满足//肥290°,故所求概率户=9=

2--4-

ZDb

答案：⑴,（2）|

与面积有关的几何概型

占典题导入

［例2］(1)(2012•湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形"6中，B

分别以力，必为直径作两个半圆.在扇形的6内随机取一点，则此点取

自阴影部分的概率是()

(2)已知不等式组《x+y20,表示平面区域乱若点尸(x,力在所给的平面区域

a>

〃内，则点尸落在〃的内切圆内的概率为(

B.（3—2®Jt

C.（2镜—2）Jt

［自主解答］(1)法一：设分别以的，仍为直径的两个半圆交于点

C,OA的中点为D,如图，连接OC,DC.不妨令OA=OB=2,贝|OD=DA

=2C=1.在以如为直径的半圆中，空白部分面积S=y+|xiXl-

|^-|xiXlj=l,所以整体图形中空白部分面积£=2.又因为S厨用皿。D'A

=：XJtX2?=JI,所以阴影部分面积为W=n—2.

lltr兀—22

所以P=-J-I-=1-JI

法二：连接设分别以力，如为直径的两个半圆交于点C,令a=2.

==

由题意知氏/8且S弓形ACS弓形6CS弓形。

所以S空白=Sk而8=5*2X2=2.

2

又因为S扇形萩=1X兀X2=兀,所以S阴影=兀—2.

⑵由题知平面区域〃为一个三角形，且其面积为s=次设〃的内切圆的半径为r,则g

(2a+2y［2a)r=af解得r=(力-1)a所以内切圆的面积S内切圆=兀/=兀［1)•目之

=(3-2^2)口a.故所求概率々4=(3—24)m.

［答案］(DA(2)B

金由题悟法

求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的

平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率.这类问题常与线性规划［(理)定

积分］知识联系在一起.

各以题试法

2.(2012•湖南联考)点尸在边长为1的正方形/池内运动，则动点尸到顶点A的距离

的概率为()

解析：选C如图，满足|R1|W1的点尸在如图所示阴影部分运

则动点户到顶点/的距离I%W1的概率为曰

J正方形［XI

与体积有关的几何概型

占典题导入

［例3］(1)(2012•烟台模拟)在棱长为2的正方体力盟―46心”中，点。为底面ABCD

的中心，在正方体47加46C以内随机取一点只则点户到点。的距离大于1的概率为()

(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行.若蜜蜂在飞行过程中始终

保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10,则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体

玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为()

13

r—•京

27D

［自主解答］(1)点户到点。的距离大于1的点位于以。为球心，以1为半径的半球的

o14JlO

2--X—XI3

,、z3JI

外部.记点尸到点。的距离大于I为事件A,则尸⑷=-------------=1—访

(2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概

1031

型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为而=历.

［答案］(1)B(2)C

&由题悟法

与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为

立体模式，至此，我们可以总结如下：

对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据

实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个

结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域.

否以题试法

3.(2012•黑龙江五校联考)在体积为，的三棱锥5-力弘的棱上任取一点P,则三

棱锥34吐的体积大于/勺概率是.

SA

解析：如图，三棱锥A/6c的高与三棱锥&的高相同.作

于〃，BN1AC千N,则冏A可分别为△相，与△力6c的高，所以//\\

VS~APCS“KPM^PMAP1,、井口々回“AD1n.n*4^一二「丝二分。

京=寸丽又犷/所以时,满足条件.设则户屋［/

B

在初上，所求的概率^=^=|.

DAo

9

答案：鼻

O

1Hl解题训练要高效抓速度I抓规范I拒绝眼高手低I掌握程度

4级全员必做题

JlJI11

1.(2012•北京模拟)在区间一①,万上随机取一个x,sinx的值介于一］与g之间的

概率为()

12

--

2D.3

解析：选A由一]Vsinxvg，

1

JIJI6

得一/VxV/.所求概率为一3-

66Ji

2.（2012•辽宁高考）在长为12cm的线段28上任取一点C现作一矩形，邻边长分别

等于线段ZC3的长，则该矩形面积小于32cm?的概率为（）

11

R

6-3-

24

C.D.7

T35

解析：选C设ZC=xcm,CB=（12—jr）cm,0<^r<12,所以矩形面积小于32cHi?即为x（12

—x）〈32n0〈x<4或8</12,故所求概率为得="|.

3.（2013•滨州模拟）在区间[0,1]上任取两个数ab,则函数Ax）=/+ax+9无零

点的概率为（）

12

2-3-

Ac.B.

3D.1

4-4-

解析：选c要使该函数无零点，只需a2—48<0,

即（a+26）（a-2-<0.

'：a,Z?e[O,1],a+2b>0,

a—26Vo.

'OWdWl,

作出（0W6W1,的可行域，易得该函数无零点

的概率

—26Vo

11

1--X1X-

3

1><1-4,

4.（2012•北京西城二模）已知函数F（x）=kx+l,其中实数A随机选自区间[—2,1].V

x£[0,1],F（x）20的概率是（）

11

3-2-

23

C.-Dq

解析：选C由VxG[0,1],/'（x）得，有一1WZ1,所以所求概率

为三2

3-

5.（2012•盐城摸底）在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端

的距离都大于2米的概率为（）

12

--

5B.5

解析：选A如图，线段26长为5米，线段/C、劭长均E

为2米，线段切长为1米，满足题意的悬挂点少在线段CDB

上，故所求事件的概率

5

6.（2012•沈阳四校联考）一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则

其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为（）

JIJI

A——R——

1210

jiji

r—D—

624

解析：选A记昆虫所在三角形区域为△/欧，且46=6,BC=8,CA=10,则有初+改

=Qf,ABLBC,该三角形是一个直角三角形，其面积等于;X6X8=24.在该三角形区域内,

j_i_D_I_「兀

到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于,2nXnX22=yX22=2m,因此所

求的概率等于*=会

y^xf

7.（2012•郑州模拟）若不等式组—x,表示的平面区域为必3+/忘1所

、2x—p—3W0

表示的平面区域为N,现随机向区域〃内抛一粒豆子，则豆子落在区域4内的概率为

JI

一一,兀4

解析：二•尸万与y=—x互相垂直，二”的面积为3,而N的面积为了，所以概率为可=

JI

12,

JI

答案：^2

8.（2012•孝感统考）如图所示，图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图,

其中四边形力及力是边长为1的正方形.若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它

落在长方体的平面展开图内的概率是:，则此长方体的体积是.

解析：设题图1长方体的高为月，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的

力

平面展开图内的概率P=—+?+4,+_=1解得h=3或Q—g（舍去）,

故长方体的体积为IX1X3=3.

答案：3

9.（2012•宜春模拟）投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方

板构成，并将此板分成四个边长为9米的小方块.试验是向板中投

镖，事件/表示投中阴影部分，则事件/发生的概率为.

解析：..•事件/所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一

对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一

1

1

-

一对应.，由几何概型的概率公式得尸（4）=4

I2

1

答幕4-

10.已知|x|W2,|y|W2,点户的坐标为（x,y）,求当x,ydR时，户满足（x—2）2+（y

—2/W4的概率.

解：如图，点?所在的区域为正方形48切的内部（含边界），满

足（x—2”+（y—2）2（4的点的区域为以⑵2）为圆心，2为半径的圆°|2[|CJ

面（含边界）.2^

1

-X

4JI

故所求的概率A=4X4

6,

11.己知集合/=［—2,2］,8=［—1,1］,设〃={(x,y)\x^A,y^B\,在集合〃内随

机取出一个元素(x,y).

(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆/+/=1内的概率；

、历

⑵求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=O的距离不大于生的概率.

解：(1)集合〃内的点形成的区域面积S=8.因Y+/=l的面积S=m,故所求概率为

(2)由题意巨兽

—1WX+J<1,形成的区域如图中阴

C1

影部分，面积£=4,所求概率为片弋=5

12.(2012•长沙模拟)已知向量a=(—2,1),b=(x,y).

(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点

数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足—1的

概率；

(2)若x,y在连续区间［1,6］上取值，求满足a•6<0的概率.

解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6X6=

36个；

由a"b=~\有一2x+y=­l,

所以满足a•6=-l的基本事件为(1,1),(2,3),⑶5)共3个.

31

故满足a•b=-l的概率为法=/.

3b12

(2)若x,y在连续区间［1,6］上取值，则全部基本事件的结果为0={(x,

y)|1WXW6,1WJ^6}；

满足a-b<0的基本事件的结果为

A={(x,y)11WxW6,1且一2x+y<0}；

画出图形，

矩形的面积为S矩形=25,阴影部分的面积为S阴影=25—2X2X4=

故满足a•b<0的概率为二.

B级重点选做题

1.在区间［0,兀］上随机取一个数x,则事件“sinx+/cosxWl”发生的概率为()

11

4-艮3-

Ac.

12

--

2D.3

解析：选C由sinx+/cosxWl得2sin[x+~^Wl,

即sin(x+~^W；.

JI「兀4兀一

由于x£[0,兀],故x+g£―,—,

,（几\1JI5兀4兀rJI

因此当sinx+方W77时，x+~^V-亍1于是XG巨，

\<J7Zo

JI

兀一21

由几何概型公式知事件“sinx+:cosxWl”发生的概率为々——-2-

'JI—(I

2.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点。为这个圆柱底面圆的圆心，在这个

圆柱内随机取一点P,则点尸到点。的距离大于1的概率为.

解析：先求点尸到点。的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积Xl2X2=2n,

以。为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积展球=/为XI=—.则点户到点。的

2兀

3119

距离小于或等于1的概率为亡=于故点户到点。的距离大于1的概率为1—石=》

/JIJ00

答案：2

3.(2012•晋中模拟)设48=6,在线段加上任取两点(端点/、8除外)，将线段四分

成了三条线段.

(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；

(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率.

解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是

1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构

成三角形的概率为?=*

(2)设其中两条线段长度分别为x,y,则第三条线段长度为6

0VxV6,

—x—y,故全部试验结果所构成的区域为“<yV6,

,0V6—x—pV6,

0VxV6,

即|0<y<6,所表示的平面区域为△小方

、0<x+yV6

若三条线段x,、6—x—p能构成三角形，

x-\~y>&-X—y,x+y>3,

则还要满足<x-\~&-x—y>y,即为，y<3,所表示的