冀教版九年级数学上册《第二十三章数据分析》单元检测卷-附答案

第第页知识点两角对应相等的两个三角形相似[2023广州越秀区二模如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点(不与点B，点C重合)，连接DE并延长，交AB的延长线于点F.求证：△CDE∽△AFD.变式1如图，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D.△ABC与△ADE相似吗？为什么？第二十五章图形的相似25.4相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理21．如图，AD＝BC，要利用SAS判定△ABC≌△CDA，则可以添加的一个条件是________．2．[2023赣州模拟如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C.(1)求证：△ABE∽△ACD；(2)若D为AE的中点，BE＝4，求CD的长．1．两边______________且________的两个三角形相似.利用这种方法判定两个三角形相似时，寻找的条件必须满足“两边夹一角”，如果改为“两边与一组对应角”，这两个三角形就不一定相似了．2．[2023葫芦岛二模如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是()A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠DC.eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE) D.eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)3．如图，已知AD·AC＝AB·AE，∠DAE＝∠BAC.求证：△DAB∽△EAC.知识点两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似如图，E是AC上一点，且AB＝6，AE＝3，AC＝12.求证：△ABE∽△ACB.变式1如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB边上，且eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,3)，AE＝BE，连接DE，BD.求证：∠AED＝∠CBD.第二十五章图形的相似25.4相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组(每组两个)三角形中，不一定相似的是()A．直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形B．底角为40°的两个等腰三角形C．有一个角为30°的两个直角三角形D．有一个角为30°的两个等腰三角形2．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠D＝45°，求∠EGC的大小．1．三条边________________的两个三角形相似．2．直角边和________对应成比例的两个直角三角形相似．3．有甲、乙两个三角形，甲三角形的三边长分别为1，eq\r(2)，eq\r(3)，乙三角形的三边长分别为eq\r(2)，2，eq\r(6)，则甲、乙两个三角形()A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．无法判断4．[2023赣州一模如图，已知eq\f(AB,AC)＝eq\f(AC,AD)＝k，请再添加一个条件，使△ABC∽△ACD，你添加的条件是________________．知识点1三条边对应成比例的两个三角形相似如图，已知O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．求证：△ABC∽△DEF.变式1－1如图，D是△ABC内一点，连接BD并延长到点E，连接AD，AE，若eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，且∠CAE＝29°，则∠BAD＝________．变式1－2在△ABC与△A′B′C′中，AB＝4cm，BC＝6cm，CA＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，C′A′＝24cm，这两个三角形相似吗？为什么？知识点2直角三角形相似的判定方法如图，在△ABC与△DEF中，∠B＝∠E＝90°，则△ABC与△DEF相似吗？说明理由．变式2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，已知CD＝1，AD＝eq\r(5)，AB＝2eq\r(5).求证：Rt△ADC∽Rt△BAC.第二十五章图形的相似25.5相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质定理11．如图，△EFO∽△GHO，若FO＝12，HO＝6，GH＝4，则EF的长是()A．4 B．6 C．8 D．10(第1题)(第2题)2．如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，△ADE∽△ABC.若AD∶AB＝4∶7，则DE∶BC＝()A．16∶49 B．4∶7 C．4∶14 D．8∶73．如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝________．1．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于______________．2．如果两个相似三角形对应边之比为1∶3，那么它们的对应中线之比是()A．1∶2 B．1∶3 C．1∶9 D．1∶813．两个相似三角形的相似比是2∶3，则其对应角平分线之比是()A.eq\r(2)∶eq\r(3) B．2∶3 C．4∶9 D．8∶274．如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为2∶5，AG⊥BC于点G，交DE于点F，则AF∶AG＝()A．2∶5 B．5∶2 C．5∶1 D．1∶5知识点1相似三角形对应线段的比将△ABC的三边长分别增加50%得到△A′B′C′，若△ABC的高是4，则△A′B′C′中与之对应的高是()A．9 B．6 C．5 D．2变式1－1若两个相似三角形的相似比为1∶9，则这两个三角形的对应角平分线之比为()A．1∶3B．1∶9C．1∶27D．1∶81变式1－2如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为______．知识点2相似三角形对应线段的比的应用如图，电灯P(看作一个点)在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离为9m，求AB与CD之间的距离．变式2[2023廊坊安次区二模图①是一个不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图②中的数据可得x的值为()A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08第二十五章图形的相似25.5相似三角形的性质第2课时相似三角形的性质定理21．若△ABC∽△DEF，且eq\f(AB,DE)＝eq\f(1,2)，则eq\f(AB＋BC＋AC,DE＋EF＋DF)的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则AB∶A′B′为________．1．相似三角形周长的比等于________________．2．相似三角形面积的比等于________________．3．两个相似三角形对应角平分线的比为4∶3，那么这两个三角形的面积的比是()A．2∶3 B．4∶9 C．16∶36 D．16∶94．已知△ABC∽△DEF，面积比为9∶4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为()A．3∶4 B．2∶3 C．9∶16 D．3∶25．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△DEF与△ABC的面积比为________．6．[2023滁州期中]如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝3BD，S△ABC＝64，求S△ADE.知识点1相似三角形的周长比[2023重庆中考]若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比是()A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶16变式1已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长比为()A．1∶1B．3∶2C．6∶2D．9∶4知识点2相似三角形的面积比如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求CE的长．变式2－1两个相似三角形的相似比是4∶9，则其面积之比是()A．2∶3B．4∶9C．9∶4D．16∶81变式2－2如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥ED于点F.若AD＝5，AB＝7，求：(1)eq\f(AG,AF)的值；(2)△ADE与△ABC的面积比．第二十五章图形的相似25.6相似三角形的应用第1课时利用相似三角形测高和距离1．如图，已知D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，AE＝3k，EC＝2k，DE＝6，那么BC等于()A．4 B．8 C．9 D．10(第1题)(第2题)2．[2023衡水模拟如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15cm，12cm，0cm，1cm，若直尺宽BD＝1cm，则AD的长为()A.eq\f(1,3)cm B.eq\f(1,2)cm C．1cm D.eq\f(3,2)cm3．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为________．(第3题)1．利用影长测量物体的高度，通常利用“相似三角形对应边________”的原理来解决．在同一时刻物高与影长的比__________．2．如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝14m，则旗杆CD的高度是()A．9mB．10.5mC．12mD．16m(第2题)(第3题)3．如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为________m.4．如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2米宽的“亮区”DE，经测量BC＝1米，CE＝2米，那么窗口的高AB等于________米．(第4题)知识点1利用相似三角形测高度[2023保定竞秀区二模西周数学家商高总结了用“矩”(如图①)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A(人眼)望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG.若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，量得BG＝2.4m，则物体的高EG为()A．1.2m B．2m C．2.4m D．2.8m变式1[2023石家庄期末]如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高(眼上部分忽略不计)为1.6米，则凉亭的高度AB为________米．知识点2利用相似三角形测距离如图①是用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②是其工作的示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE＝eq\f(1,6)AB，EF＝0.35米，则B，C之间的距离为________．变式2如图是某晾衣架的侧面示意图，根据图中数据，可知C，D两点间的距离是()A．0.9m B．1.2m C．1.5m D．2.5m第二十五章图形的相似25.6相似三角形的应用第2课时相似三角形的其他应用1．如图，小明探究“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中①号“E”字的高度BC为b，当测试距离为3m时，②号“E”字的高度DF为()A．5b B．3b C.eq\f(3,5)b D.eq\f(2,3)b(第1题)(第2题)2．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．图②为其示意图，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB(AB与CD相交于点O)，要把这块石头撬起，至少要将杠杆的点C向下压________cm.3．小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A(如图)．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长EF＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝40m，则铁塔的高度为________m.(第3题)1．测量河宽、管状物体的口径等问题，可以构造两个相似三角形，借助相似三角形的________相等来求解．2．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为多少？答案是()A.eq\f(25,17) B.eq\f(60,17) C.eq\f(100,17) D.eq\f(144,17)(第2题)(第3题)3．为测量池塘边两点A，B之间的距离，小明设计了如下的方案：如图，在地面取一点O，使AC，BD交于点O，且CD∥AB.若测得OB∶OD＝3∶2，CD＝40米，则A，B两点之间的距离为________米．知识点1利用相似三角形测量河宽、内径[2023承德期中]如图，零件的外径为15cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB，现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量，若测得OA∶OD＝OB∶OC＝3∶2，CD＝6cm，你能求出零件的壁厚x吗？变式1为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺CD，把它放在地面上，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝________米．知识点2利用相似三角形求矩形的长和宽[2023石家庄期中]如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为()A．36mm B．80mm C．40mm D．72mm变式2如图是一块三角形的铁皮，BC长为4m，BC边上的高AD长为3m，要将它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，求这个矩形的长和宽．第二十五章图形的相似25.7相似多边形和图形的位似第1课时相似多边形1．下列说法正确的是()A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似C．锐角三角形都相似 D．等腰直角三角形都相似2．在比例尺是1∶1000的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，则这块土地的实际面积是()A．200平方米 B．500平方米 C．2000平方米 D．20000平方米3．相似三角形的对应角________，对应边的比________，对应边的比等于________．1．若两个图形外形相似，则它们的形状________，而与它们的____________无关．2．相似多边形的特征：相似多边形的________相等，对应边的比________，反之，如果两个多边形的________相等，__________的比相等，那么这两个多边形相似．3．[2023保定莲池区期中]如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是()A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶14．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则下列角的度数正确的是()A．∠D＝81° B．∠F＝83° C．∠G＝78° D．∠H＝76°(第4题)(第5题)5．如图，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似且相似比为3∶4，CD＝2.4cm，则C′D′＝________cm.知识点1相似图形下列图形中，不是相似图形的有()A．0组 B．1组 C．2组 D．3组变式1下列给出的图形中，不是相似图形的是()A．所有的圆B．复印出来的两个“谁”字C．一副乒乓球拍D．仅宽度不同的长方形木板知识点2相似多边形如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.(1)α＝________，它们的相似比是________；(2)求x，y的值．变式2如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求α，β的大小和EH的长度．第二十五章图形的相似25.7相似多边形和图形的位似第2课时图形的位似1．如图，在△ABC中，DE∥BC，eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，若EC＝0.9，则AE长为()A．1.8 B．2.7 C．3.6 D．4.5(第1题)(第2题)2．如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若DO＝2AO，AB＝3cm，则CD的长是()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长．1．位似图形的定义：两个多边形不仅________，而且经过每对对应顶点的直线____________，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________．2．位似图形的特点：(1)位似图形是________图形，各对应点到位似中心的距离的比等于________；(2)每组对应点所在的直线相交于________；(3)对应边________(或在同一直线上)．3．已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC各边扩大为原来2倍所得到的图形，这样的图形可以作________个．4．[2023衡水二模如图，已知△ABC与△DEF位似，且相似比为k.(1)k＝________；(2)位似中心的坐标为________．知识点1位似图形如图所示，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的eq\f(1,2)，任取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的有()①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.A．1个B．2个C．3个D．4个变式1如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点________．知识点2位似作图如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)变式2如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2)．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B2的坐标．第二十六章解直角三角形26.1锐角三角函数第1课时正切1．[2023廊坊期中]如图，在△ABC中，∠A与∠B互余，CD⊥AB，垂足为D，若∠DCB＝30°，则∠A＝()A．30° B．45° C．60° D．条件不足，无法计算(第1题)(第2题)2．[2023大理期中]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD是斜边BC上的高，若CD＝3，则BD的长为()A．3 B．6 C．9 D．121．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.∠A的________与________的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq\f(a,b).(第1题)2．tan30°＝________，tan45°＝________，tan60°＝________．3．[2023保定期末]如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，则tanB的值为()(第3题)A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)4．[2023沧州期中]已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(1,2)，BC＝8，则AC等于()A．6 B．16 C．12 D．45．[2023潮州一模3tan30°－1的值等于________．知识点1正切的概念[2023西安长安区月考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝eq\f(1,2)，若将△ABC各边都扩大5倍，则tanA的值为()A.eq\f(5,2) B.eq\f(1,10) C．5 D.eq\f(1,2)变式1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝eq\f(3,4)，AC＝12，则BC＝________．知识点2特殊角的正切值[2023邯郸期中]能与tan60°相加得0的是()A.eq\r(3) B．－eq\r(3) C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)变式2－1计算：3tan30°－tan45°＋2tan60°.变式2－2[2023长沙三模如图，已知△ABC，AC＝6.(1)尺规作图：作出线段AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交BC于点E(不写作法，但保留作图痕迹)；(2)在(1)的条件下，若∠C＝60°，连接AE，求△AEC的面积．第二十六章解直角三角形26.1锐角三角函数第2课时正弦、余弦1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝eq\f(3,7)，BC＝14，则AC的值为________．3．[2023邢台期中]满足tanα＝eq\f(\r(3),3)的锐角α的度数是______．4．已知eq\r(3)－tanA＝0，则锐角∠A＝__________°．1．在Rt△ABC中，∠C＝90°.锐角∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值．∠A的________与______的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝______＝______．∠A的________与________的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝________＝________．2．sin30°＝__________，sin45°＝__________，sin60°＝__________；cos30°＝__________，cos45°＝__________，cos60°＝__________．3．我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的______________．4．[2023成都期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则sinB＝()A.eq\f(1,3) B．3 C.eq\f(\r(10),10) D.eq\f(3\r(10),10)(第4题)(第5题)5．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是________．6．计算：tan45°－sin30°cos60°－cos245°.知识点1正弦的概念在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是()A.eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(\r(10),10) C．3 D.eq\f(1,3)变式1在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝eq\f(1,3)，求sinB的值．知识点2余弦的概念[2023唐山路北区月考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cosA的值为()A.eq\f(1,2) B．2 C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2,5)eq\r(5)变式2如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E，设∠ADE＝α，且cosα＝eq\f(3,5)，AB＝9.求AD的长．知识点3特殊角的三角函数[2023松原期末]eq\r(3)tan60°的值等于()A．1 B.eq\f(\r(3),2) C．3 D.eq\r(3)变式3(－1)2023＋2sin45°－cos30°＋sin60°＋tan260°.第二十六章解直角三角形26.2锐角三角函数的计算1．用计算器求－53，按键的顺序正确的是()2．用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是()A．0.1(精确到0.1) B．0.06(精确到百分位)C．0.061(精确到千分位) D．0.0605(精确到0.0001)3．在下面的表中，填出30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值．30°45°60°sinαcosαtanα1．用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的是()A.eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(4)eq\x(＝) B.eq\x(2)eq\x(4)eq\x(sin)eq\x(＝)C.eq\x(SHIFT)eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(4)eq\x(＝) D.eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(4)eq\x(SHIFT)eq\x(＝)2．如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC＝12m，上弦AB＝BC，∠BAC＝25°.若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是()A.eq\x(6)eq\x(÷)eq\x(cos)eq\x(25)eq\x(＝) B.eq\x(6)eq\x(×)eq\x(sin)eq\x(25)eq\x(＝)C.eq\x(6)eq\x(÷)eq\x(tan)eq\x(25)eq\x(＝) D.eq\x(12)eq\x(÷)eq\x(cos)eq\x(25)eq\x(＝)3．用科学计算器计算：eq\r(31)＋3tan56°(结果精确到0.01)．知识点1用计算器求三角函数值[2023威海一模利用科学计算器计算eq\f(1,2)cos35°，下列按键顺序正确的是()A.B.C.D.变式1用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.知识点2已知三角函数值用计算器求角度已知sinA＝0.5018，用计算器求∠A的度数．(结果精确到1″)变式2利用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序依次输入：eq\x(2ndF)eq\x(tan－1)eq\x(3)eq\x(6)eq\x(·)eq\x(7)eq\x(9)eq\x(＝)，显示屏显示的结果为88.44300964.将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是()A．36.79°的正切函数值约为88.4B．正切函数值为36.79的角约是88.4°C．36°79′的正切函数值约为88.4D．正切函数值为36.79的角约是88°4′第二十六章解直角三角形26.3解直角三角形1．如图，某游乐园彩虹滑梯的高度为h，滑梯的坡角为α，那么该彩虹滑梯的长度l为()(第1题)A.eq\f(h,cosα) B．h·sinα C.eq\f(h,tanα) D.eq\f(h,sinα)2．[2023烟台期中]如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则下列结论错误的是()(第2题)A．cosC＝eq\f(\r(5),5)B．tanB·tanC＝1C．sinB＝sinCD．tanB＝eq\f(1,2)3．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝eq\f(\r(2),2)，BC＝10，则AB＝________．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA＝eq\f(3,4)，求AB的值．1．在直角三角形中，除直角外，还有________和__________共五个元素．由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形．知识点1解直角三角形[2023广州越秀区二模在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝eq\f(3,5)，则BC等于()A．25 B．12 C．9 D．16变式1如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝eq\f(12,13).(1)求BD的长；(2)求tanC的值．知识点2解非直角三角形如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB和BC的长．变式2[2023北京海淀区期末]已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1＋eq\r(3)，AC＝2，则∠C＝()A．45° B．75° C．90° D．105°第二十六章解直角三角形26.4解直角三角形的应用第1课时俯仰角、方向角1．如图，下列角中为俯角的是()A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4(第1题)(第2题)2．直角梯形ABCD按如图所示方式放置，AB，CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，那么从A处看向C处，点C在点A的()A．俯角67°方向B．俯角23°方向C．仰角67°方向D．仰角23°方向3．如图所示，下列说法错误的是()A．图①中的方向角是南偏西20° B．图②中的方向角是北偏西30°C．图③中的方向角是东北方向 D．图④中的方向角是南偏西45°1．如图，在距旗杆15eq\r(3)m的A处，用测角仪测得旗杆顶点C的仰角为30°，已知测角仪AB的高为1m，则旗杆CD的高为______m.2．[2023大连期中]如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是__________．知识点1仰角、俯角[2023岳阳中考][2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC约是________米(结果精确到0.1米．参考数据：sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000)．变式1如图，某测量队采用无人机技术测量无法直达的A，B两处的直线距离，已知在无人机的镜头O处测得A，B两处的俯角分别为45°和50°，无人机的飞行高度OC为238米，点A，B，C在同一直线上，求AB的长度(结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．知识点2方向角如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是()A．15eq\r(3)海里 B．30海里 C．45海里 D．30eq\r(3)海里变式2如图，一艘海轮在位于灯塔P的北偏东64°方向上，距离灯塔200海里的A岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的东南方向上的B岛，求A，B两岛之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin64°≈0.899，cos64°≈0.438，tan64°≈2.050)第二十六章解直角三角形26.4解直角三角形的应用第2课时坡度、坡角及其他问题1．[2023济南期中]如图，电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为()A.eq\f(5,tan52°) B.eq\f(5,cos52°) C．5·cos52° D.eq\f(5,sin52°)2．[2023杭州期中]小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，如图所示，求该建筑物BC的高度．(结果保留根号)1．我们通常把坡面的________h和________l的比eq\f(h,l)叫做坡面的坡度(或坡比)，坡面与水平面的夹角α叫做__________．显然，tanα＝eq\f(h,l).2．如图所示．(第2题)(1)若斜坡的坡度是1∶eq\r(3)，则坡角α＝__________；(2)若斜坡的坡角是45°，则坡比是__________；(3)若斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是________；(4)特别注意，坡度不是一个度数，而是一个________，是坡角的__________值．3．[2023泉州期中]如图，在一坡度i＝1∶eq\r(3)的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，则木箱升高了________米．(第3题)知识点1坡度和坡角如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶CD的宽是8米，坝高(DE，CF)为30米，斜坡AD的坡度为eq\r(3)∶3，斜坡CB的坡度为3∶2，则坝底AB的宽为________米．变式1[2023沈阳期中]如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB(与水平地面BF垂直)形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，若BC＝2米，CD＝8米，斜坡的坡角∠ECF＝30°.请解决下列问题，如果结果有根号请保留根号．(1)求点D到地面的距离；(2)求立柱AB的高为多少米．知识点2其他问题如图所示的是某高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AB＝8m，BC＝4m，∠DAC＝30°，∠EBC＝45°，∠DCA＝90°，则警示牌DE的高度约为________．(结果精确到0.1m．参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)变式2[2023济南期中]如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2m，窗台的高度CF＝1m，CP＝eq\f(5,2)eq\r(3)m，AD为窗外水平遮阳篷．(1)求BC的长；(2)求遮阳篷AD的宽度(eq\r(3)≈1.732，结果精确到0.1m)．第二十七章反比例函数27.1反比例函数1．已知某种铅笔的购买单价是0.4元，设购买这种铅笔的数量为x支，所花费的总金额为y元．则用含x的代数式表示y的关系式为____________．2．一个长方形的长为a，宽为b，这个长方形的面积S＝________；3．周六小明在长为1000m的路段上进行自行车骑车训练，行驶全程所用时间为ts，行驶的平均速度为vm/s，则vt＝__________．4．一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么就称y是x的________，x叫做____________．5．一般地，我们把形如y＝kx(k为常数，k≠0)的函数叫做__________函数，其中非0常数k叫做__________________．1．一般地，如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成________(k为常数，且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，k称为________．2．下列函数中，是反比例函数的是()A．y＝－eq\f(x,2) B．y＝eq\f(1,x)－1C．y＝－eq\f(2,x) D．y＝－eq\f(1,x2)3．若函数y＝(m－1)xm2－2是反比例函数，则m的值为________．4．已知y－3与x＋2成反比例，且当x＝2时，y＝7，则当y＝1时，x的值为__________．5．[2023重庆九龙坡区期末]若某城市市区人口为x万人，市区绿地面积为100万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为__________．6．已知y是x的反比例函数，当x＝5时，y＝－1.(1)写出这个反比例函数的表达式；(2)当x＝－5时，求y的值．知识点1反比例函数的概念[2023怀化期末]下列函数不是反比例函数的是()A．y＝3x－1 B．y＝－eq\f(x,3) C．xy＝5 D．y＝eq\f(1,2x)变式1－1[2023宜春期中]若函数y＝(m＋2)·x|m|－3是反比例函数，则m的值是______．变式1－2下列函数中，y是x的反比例函数的有________________(填序号)．(1)y＝－eq\f(x,7)；(2)y＝－eq\f(5,x)；(3)y＝eq\f(－4,3x)；(4)xy＝eq\f(1,6)；(5)y＝x－3；(6)y＝x－1；(7)eq\f(y,x)＝4；(8)y＝eq\f(2,x＋1)；(9)y＝eq\f(a－5,x)(a为常数，a≠5)．知识点2确定反比例函数表达式已知y是x的反比例函数，并且当x＝－3时，y＝4.(1)求y关于x的函数表达式；(2)当x＝2时，求y的值．变式2笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化，已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：频率f/MHz101540波长λ/m24166(1)求波长λ关于频率f的函数关系式；(2)当λ＝8m时，求此电磁波的频率f.第二十七章反比例函数27.2反比例函数的图像和性质第1课时反比例函数的图像1．正比例函数y＝kx(k≠0)的图像如图所示，则一次函数y＝kx－k的图像大致是()2．已知反比例函数y＝eq\f(6,x)，那么下列各点中在此函数图像上的是()A．(－2，3)B．(－3，2)C．(－3，－2)D．(4，1)3．画函数图像的步骤：________、________、________．1．反比例函数y＝eq\f(k,x)(k为常数，且k≠0)的图像由分别位于________象限内的两条________组成，这样的曲线叫做双曲线．2．反比例函数y＝－eq\f(6,x)的图像大致是()3．在如图所示的坐标系中，画出反比例函数y＝－eq\f(4,x)的图像．知识点1反比例函数的图像及画法画出反比例函数y＝－eq\f(4,x)的大致图像，结合图像回答：(1)当x＝2时，y的值；(2)当1<x≤4时，y的取值范围；(3)当－1≤y<4且y≠0时，x的取值范围．变式1已知反比例函数y＝－eq\f(4,x).(1)画出这个反比例函数的图像；(2)利用所画图像求当y<2时，x的取值范围；(3)已知(－3，y1)，(－15，y2)，(1，y3)是所画图像上的三个点，比较y1，y2，y3的大小．知识点2反比例函数图像上点的坐标特点[2023渭南一模已知正比例函数y＝ax(a为常数，a≠0)与反比例函数y＝eq\f(－2,x)的图像的一个交点坐标为(1，m)，则另一个交点的坐标为______________．变式2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x与双曲线y＝eq\f(m,x)(m≠0)交于A，B两点，若点A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝________．第二十七章反比例函数27.2反比例函数的图像和性质第2课时反比例函数的性质1．关于一次函数y＝－2x－3，下列说法正确的是()A．图像经过第一、二、四象限B．当x>0时，y<－3C．函数值y随自变量x的增大而增大D．图像与y轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))2．已知一次函数y＝kx＋b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb<0，则函数y＝kx＋b的图像大致是()1．对于反比例函数y＝eq\f(k,x)，请完成以下表格．表达式图像的位置y随x的变化情况y＝eq\f(k,x)(k＞0)图像在第______、______象限内在每个象限内，y的值随x值的增大而______y＝eq\f(k,x)(k＜0)图像在第______、______象限内在每个象限内，y的值随x值的增大而______2.[2023哈尔滨期末]对于反比例函数y＝eq\f(2,x)，下列说法不正确的是()A．点(2，1)在它的图像上B．它的图像在第一、三象限C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x<0时，y随x的增大而减小3．已知反比例函数y＝eq\f(k＋1,x)(k为常数)的图像在第二、四象限，写出一个符合条件的k的值：________．4．若点A(x1，－6)，B(x2，－2)，C(x3，2)在反比例函数y＝eq\f(12,x)的图像上，则x1，x2，x3的大小关系是________________．知识点1反比例函数的性质[2023沈阳期末]关于反比例函数y＝－eq\f(2024,x)，下列说法不正确的是()A．点(2024，－1)在它的图像上B．它的图像在第二、四象限C．当x<0时，y随x的增大而增大D．当x>2时，y<－1012变式1－1反比例函数y＝eq\f(m＋2,x)的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是()A．m>－2 B．m≥－2 C．m<－2 D．m≤－2变式1－2[2023宜昌中考]某反比例函数图像上四个点的坐标分别为(－3，y1)，(－2，3)，(1，y2)，(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为()A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2知识点2反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的比例系数k的几何意义[2023邵阳中考]如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图像上，点B的坐标为(2，4)，则点E的坐标为()A．(4，4) B．(2，2) C．(2，4) D．(4，2)变式2如图，矩形ABCD的边CD在x轴上，顶点A在双曲线y＝eq\f(1,x)上，顶点B在双曲线y＝eq\f(3,x)上，求矩形ABCD的面积．第二十七章反比例函数27.3反比例函数的应用1．若点(2，－4)在反比例函数y＝eq\f(k,x)的图像上，则k＝________．2．若反比例函数y＝eq\f(k,x)的图像在第二、四象限，则k的取值范围是__________．3．反比例函数的图像既是________对称图形，又是________对称图形．4．香涛公园要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x变化的表达式为____________．1．某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是2.5h，则该高铁的平均速度为()A．180km/hB．240km/hC．280km/hD．300km/h2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图像如图所示．(1)这个反比例函数的表达式是________(R>0)．(2)若使用时电阻R＝12Ω，则电流I是________．(3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？知识点利用反比例函数解决实际问题驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克且小于800微克即为酒驾，某研究所经实验测得成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)．下列说法不正确的是()A．饮酒时间在4小时以内时，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越高B．当x＝5时，血液中酒精浓度y的值为320C．当x＝9时，该驾驶员为非酒驾状态D．血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间为7小时变式1[2023济南期中]某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将20℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100℃，此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50℃，则水温下降到50℃后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温y(℃)与通电时间x(min)之间的函数关系如图所示．(1)水温从20℃加热到100℃需要____min；加热过程中水温y与通电时间x之间的函数关系式为____________．(2)观察判断：在水温下降过程中，y与x的函数关系是________函数，并尝试求该函数的表达式．(3)已知冲泡奶粉的最佳温度在40℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为40℃.现将20℃的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，至少需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？第二十八章圆28.1圆的概念及性质1．在同一个圆里，所有的半径都________，所有的直径都________，且________是________的2倍．2．有一个圆形花池的半径是10米，如果绕其周围走一圈，至少需要走________米．(π取3.14)1．平面上，到________的距离等于________的所有点组成的图形，叫做圆，这个________叫做圆心，这条________叫做圆的半径．2．以点O为圆心的圆，记作“________”，读作“________”．3．圆是轴对称图形，过圆心的每一条________都是它的对称轴．圆也是中心对称图形，________是它的对称中心．4．与圆有关的概念：(1)圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条________，如图，线段AC，AB；(2)经过圆心的弦叫做这个圆的________，如图，线段AB；(3)圆上任意两点间的部分叫做________，简称________，圆的直径将这个圆分成能够______的两条弧，这样的弧叫做________；(4)大于半圆的弧叫做________，小于半圆的弧叫做________．以AB为端点的弧记作eq\o(AB,\s\up8(︵))，读作“圆弧AB”或“弧AB”．(第4题)(第6题)5．能够________的两个圆叫做等圆．能够完全重合的两条弧叫做________．6．图中有________条直径，________条弦，以A为一个端点的优弧有________条，劣弧有________条．7．下列说法不正确的是()A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D．圆的每一条直径都是它的对称轴知识点1圆的定义下列条件中，能确定一个圆的是()A．以点O为圆心B．以2cm长为半径C．以点O为圆心，10cm长为半径D．经过点A变式1如图，一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的一角A处，绳长为6米，请用图形表示出狗能到达的区域．知识点2圆的对称性如图所示的三个圆是同心圆，那么图中阴影部分的面积为______．(结果保留π)变式2如图⊙A，⊙B，⊙C，两两不相交，且半径都是0.5cm.则图中三个阴影扇形的弧长之和为()A．πcm B.eq\f(π,2)cm C.eq\f(π,4)cm D.eq\f(π,8)cm知识点3与圆有关的概念下列命题中，正确的有()(1)直径是弦，但弦不一定是直径；(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；(3)半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；(4)一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式3－1如图，在⊙O中，点A，O，D和点B，O，C分别在一条直线上，图中共有______条弦，它们分别是____________．(变式3－1)(变式3－2)变式3－2如图，CD是⊙O的直径，E为⊙O上一点，∠EOD＝48°，A为DC延长线上一点，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为________．第二十八章圆28.2过三点的圆1．已知A，B，C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线()A．一定有三条B．只能有一条C．可能有三条，也可能只有一条D．以上结论都不对2．线段BC上有3个点P1，P2，P3(不与点B，C重合)，直线BC外有一点A，把A分别和B，P1，P2，P3，C中的任意两点连接起来，可以得到的三角形个数为()A．8 B．10 C．12 D．203．已知⊙O的半径为2，则⊙O中最长的弦长为()A．2 B.eq\r(3) C．4 D.eq\r(5)1．不在____________的三点确定一个圆．2．我们把经过三角形三个________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的________叫做三角形的外心．3．[2023邢台期中]如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A．12 B．8 C．6 D．4(第3题)(第4题)4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，连接AB，AE，DE，CF，下列三角形中，外心是点O的是()A．△ABF B．△ACF C．△ADE D．△AEF5．[2023绍兴月考]如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)三个格点，请在网格中进行下列操作：(1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置；(2)D点的坐标为________，求⊙D的半径长．知识点1过三点的圆平面直角坐标系内的三个点A(4，－3)，B(0，－3)，C(2，－3)，________确定一个圆(填“能”或“不能”)．变式1下列条件中能够确定一个圆的是()A．已知圆心B．已知半径C．已知三个点D．过一个三角形的三个顶点知识点2三角形的外接圆[2023平凉期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)求作：△ABC的外接圆⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AC＝6cm，BC＝8cm，求⊙O的面积．变式2－1如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－2，－2)，C(4，－2)，则△ABC的外接圆圆心的坐标为______．变式2－2小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，如图，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来．(不写作法，保留作图痕迹)第二十八章圆28.3圆心角和圆周角第1课时圆心角及其性质1．找出图中所有的弦、优弧和劣弧．1．顶点在________的角叫做圆心角．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦________，所对的弧__________．3．在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量________，其他两组量就分别________．4．在同圆或等圆中，若eq\o(AB,\s\up8(︵))的长度等于eq\o(CD,\s\up8(︵))的长度，则下列说法正确的有()①eq\o(AB,\s\up8(︵))所对的圆心角等于eq\o(CD,\s\up8(︵))所对的圆心角；②eq\o(AB,\s\up8(︵))和eq\o(CD,\s\up8(︵))是等弧；③eq\o(AB,\s\up8(︵))所对的弦长等于eq\o(CD,\s\up8(︵))所对的弦长．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．[2023丽水期中]如图，若∠AOB＝40°，则eq\o(AB,\s\up8(︵))所对的圆心角的度数是________．6．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，已知∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD.知识点1圆心角的概念下面图形中的角是圆心角的是()变式1下列说法正确的是()A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B．圆心角α的取值范围是0°＜α＜180°C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D．圆心角就是顶点在圆内的角知识点2弧、弦、圆心角之间的关系[2023邢台期末]如图，AB是⊙O的直径，eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∠COD＝50°，求∠AOD的度数．变式2－1已知弦AB把圆周分成1∶3两部分，则劣弧AB所对圆心角的度数为()A．90° B．270° C．45° D．135°变式2－2如图，A，B，C，D是⊙O上的点，如果AB＝CD，∠AOB＝70°，那么∠COD＝________．第二十八章圆28.3圆心角和圆周角第2课时圆周角及其性质1．圆心角指顶点在________的角．2．如图，AB，CD是⊙O的两条弦：①如果AB＝CD，那么____________，____________；②如果eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，那么____________，____________；③如果∠AOB＝∠COD，那么____________，____________．1．顶点在________，两边都与圆________的角叫做圆周角．2．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的________的一半．3．半圆(或直径)所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是________．4．如图，eq\o(BC,\s\up8(︵))所对的圆周角是__________，eq\o(CD,\s\up8(︵))所对的圆周角是__________．(第4题)(第5题)5．[2023无锡期中]如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为()A．100° B．120° C．130° D．150°6．[2023杭州期中]如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若eq\o(BC,\s\up8(︵))所对的圆心角为64°，则∠CBA的度数为()(第6题)A．32° B．64° C．68° D．58°7．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝50°，求∠OAB的度数．知识点1圆周角[2023唐山期末]下列图形中，∠BAC是圆周角的是()变式1如图，△ABC内接于⊙O，弦BD交AC于点P，连接AD.下列角中，是eq\o(AB,\s\up8(︵))所对的圆周角的是()A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC知识点2圆周角定理[2023邢台期末]如图，在⊙O中，∠AOB＝130°，则∠C的度数为________．变式2如图，在⊙O中，∠OBA＝34°，点D是eq\o(ADB,\s\up8(︵))上的一点，则∠ADB的度数为()A．54° B．56° C．58° D．60°知识点3圆周角定理的推论如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则eq\o(BD,\s\up8(︵))所对圆心角的度数为________°.变式3[2023周口期末]将一个含60°角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，∠ACB＝90°，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为30°，连接DC交AB于点E，则图中∠BEC的度数是()A．75° B．65° C．55° D．45°第二十八章圆28.3圆心角和圆周角第3课时圆内接四边形及其性质1．如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为()A．100°B．160°C．150°D．130°(第1题)(第2题)2．如图，在四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC所夹的∠2＝60°，则∠1＝________，∠B＝________．1．________所对的圆周角相等．2．四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做____________，这个圆叫做四边形的________．3．圆内接四边形的对角________．4．[2023北京西城区期中]如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝30°，D是eq\o(BAC,\s\up8(︵))上的一点，分别连接DB，DC，则∠D的度数为()A．30° B．80° C．90° D．70°(第4题)(第5题)5．[2023北京西城区期中]如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠DAB＝40°，则∠DCB的度数为()A．80° B．100° C．140° D．160°6．在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数．知识点1同弧所对的圆周角相等如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝50°，则∠ABD的度数是()A．50° B．40° C．30° D．25°变式1[2023许昌期末]如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝50°，∠APD＝82°，则∠B的大小是()A．32° B．42° C．48° D．52°知识点2圆内接四边形[2023南京期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A，C的⊙O与BC，AB分别交于点D，E，连接DE.(1)求证：DB＝DE；(2)延长ED，AC相交于点P，若∠P＝33°，则∠A的度数为________°.变式2－1[2023南昌期末]如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C＝100°，则∠O＝()A．110° B．120° C．150° D．160°变式2－2已知在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝eq\r(21)，AD＝2，试判断A，B，C，D四点是否在同一个圆上，并说明理由．第二十八章圆28.4垂径定理*1．已知在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝9∶8∶3，则∠D的度数为()A．15°B．120°C．30°D．60°2．如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，若∠CAB＝36°，则∠ADC的大小是________．(第2题)(第3题)3．[2023安庆期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若BD＝5，则DE的长是________．1．垂直于弦的直径________这条弦，并且________这条弦所对的两条弧．2．[2023嘉兴期中]如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列选项中错误的是()A．∠BOC＝2∠BAD B．BE＝EOC．∠OCE＝50° D．CE＝DE(第2题)(第3题)3．[2023福州期中]绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC＝5m，则水面宽AB为________m.4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若OE＝3，CD＝8.求⊙O的半径．知识点1垂径定理如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为点P，则CP的长等于()A．2 B．2.5 C．3 D．4变式1－1如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点D，延长OD交⊙O于点E，C为eq\o(ACB,\s\up8(︵))上一点，则下列说法错误的是()A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C.eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵)) D．OD＝DE变式1－2如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D.若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为()A．6 B．5 C．4eq\r(2) D．4eq\r(3)知识点2垂径定理的应用一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是()A．3 B．4 C．3eq\r(3) D．6变式2[2023武汉期中]如图是一个高速公路的隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，如果D是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点C，AB＝24，CD＝18，则此圆的半径OA的长为________．第二十八章圆28.5弧长和扇形面积的计算1．[2023保定期末]把半径为5cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8cm，则EF的长为()A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm(第1题)(第3题)2．一个半圆形的半径是8厘米，它的周长是(π取3.14)()A．25.12厘米 B．12.56厘米 C．41.12厘米 D．50.24厘米3．如图，该扇环