全国新高考数学冲刺复习 导数及其应用

2021届全国新高考数学冲刺复习

导数及其应用

-1一

课前篇自主梳理

知识网络要点梳理思考辨析

I变化率问题

变化率与导数4导数的①

导数的②

—

几个常用函数的导数

导数的计算基本初等函数的导数公式及导数的

运算法则

（函数的③与导数

导数在研究N将rVi小上曰知

函数的④____与导数

（函数的⑤与导数

生活中的优化问题举例

答案：①概念；②几何意义；③单调性；④极值；⑤最大（小）值

课前篇自主梳理

知识网络思考辨析

1.导数的运算

导数的运算法

则：[f(x)±g(x)]‘才(X)土g'(x),[f(x)・g(x)]'寸(x)g(x)+f(x)g'(x),

r/(x)1，=/U)g(办(fx)g'(x)

L(x)Jq2W

2.导数的几何意义

⑴函数y=f(x)在x=x()处的导数，就是曲线y=f(x)在点(xof(x0))处的切

线的斜率；

⑵曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.

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知识网络思考辨析

3.利用导数研究函数单调性

⑴利用导数求函数单调区间的步骤：

①确定函数的定义域；②求导数f(x);③在定义域内，解不等式f(x)〉O

得到函数的递增区间；解不等式f(x)〈O得到函数的递减区间.

⑵根据单调性求参数取值范围：

函数f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f(x)(f(x)<0)在

区间I上恒成立.

课前篇自主建

知识网络思考辨析

4.利用导数研究函数的极值与最值

⑴应用导数求函数极值的一般步骤：

①确定函数f(x)的定义域；

②解方程f(x)二0的根；

③检验f(x)=0的根的两侧f(x)的符号.

若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；

若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；

否则，此根不是f(x)的极值点.

⑵求函数f(x)在闭区间［a,b］上的最大值、最小值的方法与步骤：

①求f(x)在(a,b)内的极值；

②将①求得的极值与端点值f(a),f(b)相比较，其中最大的一个值为最

大值，最小的一个值为最小值.

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知识网络1点梳理思考辨析

5.利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题

利用导数研究下列问题：（1）函数的零点个数问题；（2）方程的根的问

题；⑶不等式恒成立问题；⑷证明不等式问题；⑸解不等式问题；⑹

比较大小问题.

课前篇自

知识网络要点梳理思考

判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“J”，错误的打

“X”.

⑴经过点A(xoy。)作曲线尸f(x)的切线，则切线斜率等于f(x。).()

⑵若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则在区间(a,b)上必有f(x)<0.

()

⑶可导函数在极值点处的导数必为0.()

(4)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象与x轴最多有3个交点.()

⑸若不等式a〉f(x)恒成立，则a〉［f(xXminx)

答案：(1)X⑵X(3)V(4)V⑸X

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专题归自高考体验

专题一导数的运算

例1已知f(x)m+f⑵(InX-X)，则=

分析先对函数求导数，然后求出f⑵的值，最后1

解析：因为f(x)m+f⑵(Inx-x),

所以人%)=2广叭2)(；1)•

于是八2)=4tf(2)G-l),

解得八2)考即八*g-1)

故心)=2、升如)岑

答案片

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专题归纳高考体验

反思感悟本题关键是求导后先令x=2,建立关于f(2)的方程求得f(2)的

值，再计算

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专题归自高考体验

变式训练1设函数心)=/，+〃((go),若f(3)=3f(xo)，则xo=()

A.±lB.±<3

C.±42D.2

解析；f(x)=ax2+b,依题意有9a+3b=3(ax6+b),

因止fep±J3

答案：B

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专题归纳高考体验

专题二导数的几何意义

例2(1)曲4y=5叶3布0(0,-2)处的切线方程

为__________________

⑵已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相

切,则a二

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专题归纳高考体验

解析：(Dy=-5e,则k=y'x=0=-5Xe0=-5,

所以所求切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.

⑵・.・)三1+；,・・.k=yix=l=2,

・••切线方程为y=2x-1.

由y=2x-1-^y=ax2+(a+2)x+1联立，^#ax2+ax+2=0,再由相切知△=a2-

8a=0,解得a=0或a=8.

•.,当a=0时，y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线，

**.a=0舍去，故a=8.

答案：⑴5x+y+2=0(2)8

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专题归纳高考体验

反思感悟利用导数研究曲线的切线问题，务必要注意所给点是否在

曲线上，若点在曲线上，则函数在该点处的导数值就是曲线在该点

切线的斜率，如果所给点不在已知曲线上，则应先设出切点坐标，再

结合两点连线的斜率公式建立联系求解.

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?题归自高考体验

变式训练2若曲线广式-Inx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则

C=__________

解析：•.•点(1,a)在曲线y=ax2-Lnx上，

・•・切线与曲线在点(l,a)处相切.

又Vf(x)=y-2ar-^,«'*f(l)=2a-1.

・・・切线的斜率为2a-1.

又由切线与x轴平行，

A2a-1=0.

繇

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专题归高考体验

专题三利用导数研究函数单调性

例3已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)Inx,a£R.

(1)当午8时，求Kx)的单调区间；

⑵若Kx)在［2,制内单调递增，求a的取值范围；

(3)若月x)存在单调递减区间，求a的取值范围.

分析(1)将a的值代入，确定定义域，求导数，然后解不等式即得；⑵转

化为gx闫)在(2,+o)恒成立求解；⑶转化为不等式f(x)<0在定义域

上有解进行处理.

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专题归纳高考体验

解：⑴当a=8时，^x)=x2-4x-6tax,

f(x)=2x-4-；=空产

令f(x)>0,得x〉3;令f(x)<0,得0<x<3,

所以f(x)的单调递增区间是(3,+o),单调递减区间是(0,3).

⑵由题意知八x)=2x-4+午NO在［2,+o］上恒成立，即aW2x2-4x+2.

^g(x)=2x2-4x+2=2(x-1)2,

则g(x)在［2,+o］内的最小值为g(2)=2.

所以W2.

⑶依题意/V)=2x4+竽<0在(0,+o)上有解，即2x2-4x+2-a<0在

(0,+o)内有解，

因此必有^=16-8(2-a)>0,即a>0.

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专题归自高考体验

变式训练3已知函数/㈤=奴3+/(°£R)在产处取得极值.

⑴确定a的值；

⑵若g(x)=f(x)篦讨论g(x)的单调性.

解：(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x,

因为f(x)在上二g处取得极值，所以‘-3=0,

即3〃・£+2X(-1)=等_g=o,,解得

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专题归纳高考体验

⑵由⑴徼(工)二(；炉+%2卜1

故gU)=(江2+x3+x2)er

=Qx3+|x2+2%)廿二)(工+1)(工+4片.

令g(x)=O,解得x=O,x=-1或x=-4.

当x<4时，g(x)O,故g(x)单调递减；

当4<x<-1时,g(x)>0,故g(x)单调递增；

当-l<x4O时,g(x)<0,故g(x)单调递减；

当x>0时，g(x)>0,故g(x)单调递增

综上知g(x)在(6<)和(-1,0)内单调递减，在(4-1)和(0,长)内单调递增.

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专题归纳高考体验

专题四利用导数研究函数的极值与最值

例4已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=l处有极小值T.

⑴求函数f(x)的单调区间；

⑵求函数f(x)在闭区间［-2,2］上的最大值和最小值.

分析⑴根据条件可得f(l)=Of⑴=1,求出a,b的值得到函数解析式，然

后再利用导数解不等式得到单调区间；(2)按照求最值的步骤求

解即可.

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专题归纳高考体验

解：(1)f(x)=3x2-6ax+2b,

\・f(x)在点x=l处有极小值-1,・•・［］：)=?

4(1)=・1,

即［3・6Q+26=0,解得卜二q

(1・3Q+2b=・1,U=

f(x)=x3-x2-x,f(x)=3x2-2x-1.

令f(x)〉0,得x〉l或x<-g;

令f(x)<0,得*x<L

・♦・函数f(x)的单调递增区间是(-8,q)和(i,+。),单调递减区间是

Cr1)

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专题归纳一I高考体验

⑵由⑴，当X变化时f(x),f(x)的变化情况如下表所示:

(-2,W)1(W'l)

-z(1,2)

XR2

f(X)+0_0+

T

f(x)102

27

由表中数据知，函数f(x)在x=2处取得最大值2,在X=-2处取得最小值-

10,

・・・函数f(x)在闭区间［-2,2］上的最大值为2,最小值为-10.

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专题归自高考体验

变式训练4已知函数｛

⑴若函数"x让x=2处取得极小值，求a的值；

⑵若a20,求f(x)在［0,1］上的最大值.

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专题归名高考体验

解：⑴fi^x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)

=(x-a)[x-(a+l)].

当X变化时f(x),f(x)的变化情况如下表:

X(-0,a)a(a,a+1)a+1(a+1,+oo)

f(x)+00十

单调递单调递单调递

f(x)极大值极小值

增7减、增7

/.a+l=2,/.a=l.

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专题归名高考体验

⑵由⑴知，

①当目时，仅盾［0,1］上单调递增，

•V/Wmaxy1)二〃*；

n

②当好o时Kx)在［0,1］上单调递减，

f(x)max=f(0)=0;

③当0<豕1时，(x)在Qa］上单调递增，在⑶1］上单调递减,

:・Hx)max=«/(〃)=53+；〃2

卜2.Q>1,

综上0,a=0,

(那+),0vQVI.

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专题归纳

专题五利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题

例5设函数x^a,v-2hx.

⑴当m时，求函数f（x）的最大值；

⑵当。二0力=3盟＞1时，方程f（x）二mx有唯一实数解，求m的值.

分析⑴将a,b的值代入，然后研究函数的极值，并结合单调性求出最

值；⑵方程有唯一实数解，亦即相应函数图象与x轴只有一个交点，可

先研究函数的极值情况，并结合图象分析，得到m的值.

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专题归自高考体验

解：(1%衣题意，f(X)的定义域为(0,+o),当

a=3,b=10t./(x)=lnx-|x2-2x.

ii

f(.r)=-3x-2=-•

XX

由f(x)〉0,得3x2+2x-l<0,解得/q；

由f(x)〈0,得3x2+2x-i>o,解得<，或x<-l.

因为x>0,所以f(x)在(01)内单调递增，在0，+8)内单调递减.

所以f(x)的极大值为噌)=.1!13年此即为最大值.

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专题归纳高考体验

⑵因为方程f(x)『IX有唯一实数解，所以Inx+XFX=O有唯一实数解,

设g(x)=lnx+x(l-m),贝!|gr(x)=—

因为所以由g(x)>0,得六二-,

m-1

由g(x)<。,得

m-l

所以g6网O,*)内单调递增，蛎)在(*,+8)内单调递

减,g(X)nwc=g(高)•

若Inx+x-mx=O有唯一实数解，

则必有+如上0,化简得1二e,解得，〃二14A

\yn-l/m-lm-lp

所以当〃时，方程f(x)FX有唯一实数解.

P

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专题归自高考体验

变式训练5已知函数./U)=Inx+：2.

⑴若岖)在⑵5］上单调递减，求实数a的取值范围;

⑵若f(x)NO对任意x〉0恒成立，求实数a的最小值.

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专题归纳高考体验

解：(第内

所以由题意知f(x)WO在［2勺上恒成立，

艮中1一与《)恒成立，

因止匕xWa恒成立.因为x£［2,5］,所以实数a的取值范围是aN5.

(2)由题知］nx—.2X)对任意x〉0恒成立，即a三2x-xlnx,

X

令g(x)=2x-xlnx,因止匕g'(x)=2-(Inx+1)=1-Inx,

显然当0<x<e时，g(x)>0,即得g(x)在(O,e)内单调递增；

当xee时，g(x)<0,即得g(x)在［e,+o］内单调递减.所以g(x)nwFg(e)=e.

故aNe,即a的最小值为e.

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专题归纳I高考体验

考点一：导数的运算

1.(2016天津高考)已知函数Kx)=(2x+l£Kx)为Kx)的导函数，贝依O)的值

为_____

角惭：*/f(x)=(2x+3)et,

：.i(0)=3.

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专题归纳导)考体验

考点二：导数的几何意义

2.(2017全国I高考)曲线在点(1,2)处的切线方程

为•

解析：设y=f(x),则(x)=2rW

所以f(l)=2-l=l.所以曲线v,三F+1在点(L2)处的切线方程为

y-2=lx(x-1),即y=x+l.

答案：y=x+l

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专题归纳高考体验

3.(2017天津高考)已知a£此设函数WBax-Inx的图象在点(l,f⑴)

处的切线为1,贝队在y轴上的截距为___________

解析：・.・KxAax-l仃,・・./。)=41/(1)=4-1<1)=4则切线1方程为丫-

a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,则1在y轴上的截距为1.

答案：1

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专题归纳演］考体验

4.(2016全国丙高考)已知*x)为偶函数，当烂0时，f(x)=e-l-x,则曲线

y二f(x)在点(1,2)处的切线方程是

解析：当x>0时，-x<0并xR-1+x.

因为f(x)为偶函数，

所以氏x)=f(-x)=et-l+x.

因为f(x)=et-1+l,所以f(l)=2,

所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

答案：y=2x

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专题归纳高考体验

考点三：利用导数研究函数的单调性

5.(2017浙江高考)函数kf(x)的导函数尸f(x)的图象如图所示，则函

数kf(x)的图象可能是()

CD

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专题归纳图考体验

解析：设导函数y=f(x)的三个零点分别为治后工,且X1<O<X2<X3

所以在区间(-。凶)和(X2,X3)内，f(x)<O,f(x)单调递减，

在区间(X17X2)和(X3,+00)内f(x)>o,f(x)单调递增，

所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.

答案：D

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专题归纳IWJ考体验

6.(2017全国I高考)已知函数f(x)=e】(e=a)-a?x.

⑴讨论f(x)的单调性；

⑵若f(x)20,求a的取值范围.

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专题归纳高考体验

解：⑴函数f(x)的定义域为R,f(x)=2e2t-ae1-a2=(2e!+a)(e1-a).

①若a=0,贝I」f(x)=e2,在R内单调递增.

②若a>0,则由f(x)=O得x=lna.

当x£(-0,Ina)时f(x)<0;当x£(Ina,+o)时,f(x)>0.

故f(x)在区间(-o,lna)内单调递减，在区间(In&+oo)内单调递增.

③若a〈0,则由f(x)=0得户1《号・

当.无£(・1)>时£&)<0;

当y(ln(-*+8)时/(x)x).

故f(x)在区间(.8Jn(・9)内单调递减，在区间但(马，+00)内单调

递增.

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专题归纳

(2)@若a=0,则f(x)=e2r,所以f(x)20.

②若a>0,则由⑴得，当x=lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(In

a)=-a2lna.

从而当且仅当“Ina》0,即时，f(x)20.

③若水0,则由(1得为=山(微)时f(x)取得最小值，最小值为

人(一勃=°喟・ln(・分].从而当且仅当咻・ln(.j)]>0,即aA2如

f(x)>0.

3

绿匕a的取值范围是

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专题归纳I高考体验

考点四：利用导数研究函数的极值与最值

7.(2017北京高考)已知函数f(x)=e'cosx-x.

(1)求曲线尸f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

⑵求函数f(x)在区间|o,外工上的®W直值伸稠嗫网•

课堂篇探究学习

专题归纳高考体验

解：⑴因为f(x)*cosX-X,

所以f(x)=e(cosx-sinx)-1,f(0)=0.

又因为f(0)=1,所以曲线kf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=l.

(2)设h(x)E(cosx-sinx)T,则h(x)E(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2esinx.

*40,加K(x)(0,

所以h(x)在区间［0,外上单调递减.

所以对任意.二£(0国有h(x)<h(0)=0,

即f(x)<0.

所以函数f(x)在区间(0,外上单调递减.

因此fx)在区间［0,外上的最大值为f(0)=1,最小值为詹)=T

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专题归纳高考体验

8.(2017山东高考)已知函数/㈤二#+加同七艮

⑴当a=2时，求曲线月(x)在点(3，出3))处的切线方程；

⑵设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无

极值，有极值时求出极值.

解：⑴由题意f(x)=x2_ax,

所以当a=2时，(3>0,f(x)f2-2x,

所以f⑶二3,因此曲线尸f(x)在点(3,f⑶)处的切线方程是k3(x-3),即

3x-y-9=0.

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专题归纳图考体验

(2)因为g(xMx)+(x-a)cosx-sinx,

所以g(xEx)+cosx-(x-a)sinx-cosx

=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx).

令h(x)=x-sinx,则H(X>=1"€OSXK),

所以h(x)在R上单调递增.

因为h(O>Q所以当xX)时，h(x)X);当x<0时，h(x)<0.

①当a<0时，^(x>(x-aXx-sinx),

当x£(-o,a)时，x-a〈0,g(x)>0,g(x)单调递增；

当xQ(40)时,x-a>0£(x)<0,g(x)单调递减；

当x£(0,+)时，x-a>0,g(x)>0,g(x)单调递增.

所以当x=a时g(x)取到极大值，极大值；是g(q)=1aLsin”,

当x=0时g(x)取到极小值，极小值是g(0)=-a.

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专题归纳

②当a=0时，g(x>x(x-sinx),当xE(~oo,+o)时，g(x",g(x)单调递增；所以

g(x)在(~oo,+o)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.

③当时，g!(xXx-a)(x-sinx)

当xe(~o,0)时，x-a<O,g(x)>O,g(x)单调递增；

当xQ(O0时，x-a<0虱x)<O,g(x弹调递减；

当x£(4+)时,x-a>O,g(x)>O,g(x)单调递增.

所以当x=0时g(x)取到极大值，极大值是g(O)=a;

当x=a时g(x)取到极小值，极小值是〃-sina,

b

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专题归纳高考体验

综上所述：当a<0时，函数g(x)在区间(-o,a)和(0,+)内单调递增，在区

间(a,0)内单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)=

1/■sin极小值是g(0)=-a;

当a=0时，函数g(x)在区间(-o,+o)内单调递增，无极值；

当aX)时，函数g(x)在区间(-0,0)和(4+OO)内单调递增，在(0,a)内单调

递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)=a极小值是

g(a)-la3-sina.

A

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专题归纳

考点五：利用导数解决实际问题

9.（2015江苏高考）某山区外围有两条相互垂直的y

直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划A

修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公

路.记两条相互垂直的公路为1,2,山区边界曲线

为C,计划修建的公路为1.如图所示，M,N为C的两

个端点，测得点M至肛,2的距离分别为5千米和40

千米，点N到L12的距离分别为20千米和2.5千米.°

以2,I所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C

符合函数尸』（其中a,b为常数）模型.

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专题归纳高考体验

⑴求a,b的值；

⑵设公路与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路长度的函数解析式f(t),并写出其定义域；

②当t为何值时，公路的长度最短?求出最短长度.

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专题归纳

解：⑴由题意知，点MN的坐标分别为(5,40),(2025).

羔=40,

将其分别代入v=氤得

品;=25

解得｛；:100°，

⑵①由⑴矢口y=1^2(5M20),

则点p的坐标为.写£),

设在点P处的切线1交x,y轴分别于A,B总产当

则珀昉程为y岁入书x"),

由此得A管,0)上(0,誉)

故刖=隔屋由=:乒曾fG[5,2。].

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专题归纳高考体验

②设g⑺=F+写

则g⑺二2〃竺警

令g'()=0,解得t=10<2.

当t£(5,l(W2)时，⑴单调递减；

当t£(104220)时，g(t)>O,g(l)单调递增.

从而，当t=10J2时，函数g⑴有极小值，也是最4、值，所以g⑴血"300,

止匕时f(t)min=15由.

答：当时，公路1的长度最短，最短长度为15由千米.

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专题归纳局考体验

考点六：利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题

10.(2017全国II高考)设函数f(x)=(l-x2)et.

⑴讨论f(x)的单调性；

⑵当x三0时f(x)<ax+l,求a的取值范围.

解：(1)f(x)=(1-2x-x2)e^.

令f(x)=0得x=-l-V2,x=T+V2.

当xw(-o,-1-12)时f(x)<0;

当xe(-1心1+物时gx)>0;

当x£(-l+d2,+o)时f(x)<0.

所以岖)在(-,-1-42),(-1+e+)内单调递减，在(1位,-1+物内单

调递增.

课堂篇探究学习

专题归纳I高考体验

(2)f(x)=(l+x)(l-x)et.

当aNl时，设函|fch(x)=(1-x)et,h(x)=-xe,<0(x>0),

因此h(x)在［0,+o］内单调递减，

而h(O)=l,故(hx归，

所以f(x)=(x+l)h(x)<x+1<ax+1.

当0<a<l时，设函数g(x尸e］-x-l,g'(x)=er-l>0(x>0),

所以g(x)在［0,+o］内单调递增，而g(0)=0,

故e2x+l.

课堂篇探究学习

专题归纳

当0<x<1时,f(x)>(l-x)(l+x)2,(l-x)(l+x)2-ax-l=x(l-a-x-x?),取

ls-4a-l

沏=2'

则xo£(0,1),(1-xo)(l+xo)2~axo^l=0,

故f(xo)