数系的扩充与复数的概念教案

7.1.1数系的扩充与复数的概念

绍兴一中俞一凡

一、教学目标

1、知识与技能

了解引入复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律.理解并掌握复数

的有关概念（复数集、复数的代数形式、实部、虚部、虚数、纯虚数、复数相等），通过复

数概念的引入，培养数学抽象、数学运算等核心素养。

2、过程与方法

通过问题情境，回顾数学史，了解扩充数系的必要性，感受数系扩充的过程，体会引入

虚数单位i和复数形式的合理性，使学生通过类比学习对复数的概念有一个初步的、完整的

认识.

3、情感态度与价值观

通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性

思维的作用以及数与现实世界的联系.激发学生的求知欲。

二、教材分析

“7.1.1数系的扩充与复数的概念”是《人教A版第二册》第七章复数的起始课。教材

通过三个环节完成了对实数系的扩充过程:（1）提出问题（用什么方法解决方程在实数集中无

解的问题），引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望（2）回顾从自然数集逐步扩充

到实数集的过程和特点（添加新数;满足原来的运算律）;（3）类比、设想扩充实数系的方向及引

入新数i所满足的条件（使=-1成立，满足原来的运算律）.由于学生对数系扩充的知识并不熟

悉，教学中教师需多作引导.复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复

数的代数表示形式展开的.虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯

虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解。

三、学情分析

学生从小到大已经经历过多次数系的扩充，所以对数系如何进行扩充有一定的知识方法

基础，在学生高中学习的过程中也已经多次运用过类比归纳的方法，有一定的方法基础。学

生在第六章学习了向量的知识，也为学生了解复数的本质打下铺垫。

四、教学重难点

重点:复数的概念，虚数单位i，复数的分类（实数、虚数、纯虚数）和复数相等等概念

难点:虚数单位i的引进及复数的概念

五、教学过程

环节教学流程设计意图

环节一怎样解方程/+21+2=0?提出一个负数是否存在平方

限的问题。了解历史上虚数

情景引数学家们通过时光机来到课堂中，演绎一段对话真正引入原因，是

入，抛出15世纪意大利卡尔丹数学家在解三次

问题方程时用求根公

%式时的矛盾冲突。

我思考了一个问题，如果把10分成两部分，使其乘积等让学生体会到引

入虚数的必要性，

于40,方程是x(10-x)=40,那它的两个解就是5+Q?

激发学生的学习

兴趣。

和5-7^15，我不能接受这样的结果。

16世纪意大利邦贝利

©

卡兄，我用了你的三次方程求根公式，

在求V=15x+4的解时，得到了

也+J-⑵+也-J-⑵=4,让人难以置信。

17世纪法国笛卡尔

Q■不，我不承认负数

这类数的存在，它是虚幻的数，imaginarynumber.

18世纪瑞士欧拉

1■笛卡尔大哥,起初我还说负数的平方根不可能包括

在可能的数(实数)中，它们只存在于想象之中。深入研究

后就发现它们世界好精彩！

环节二回顾以往熟悉扩充的经历当我们遇到一个

在原有数系中无

温故知法找到答案的问

新，新知题，就通过引入一

探究类新数将数系进

行扩充，从而使得

问题得以解决。

自然数

整数

有理数

x2=21则x=?

京

x2=n，则x=?

让学生讨论现在将如何将数系进一步扩充

教师给出数学家引入新数的规定

（1）『=—1（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则

运算时，原有的加法与乘法的运算律（包括交换律、结合律和

分配律）仍然成立.

环节三有了虚数单位i后，从四个方程的两

课堂活组结果中归纳出

动、概念先让学生解丁+4=0和/+5=0两个方程，归纳统一形复数的代数形式

生成了解复数的实部、

式瓦（leR）虚部等概念

再解f+2x+5=0和f+2x+3=0两个方程，归纳统一

形式。+4从而得出了复数的代数形式。

定义：形如a+4Q/eR）的数叫复数，复数集

C=[a+b^a,b^火｝.复数通常用z表示，其中。与匕分别叫

做复数实部与虚部.

环节四讨论：复数集C和实数集R之间有什么关系？让学生思考实数

集和复数集的关

形式探

得出复数的分类z=。+端，上L亡会人系引出复数的分

究、新课b00,虚数（〃:0,纯虚数）

类问题。

讲解

怎样判断两个复数相等？让学生思考两个

复数相等的条件，

.\a-c

a+bi=c+di并给出规定。

b-d

环节五例1完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）通过一些例题和

新知应练习，让学生熟练

用1-3;02+V7i扬+乎掌握复数的实部、

虚部等概念。会对

实部

复数进行分类，保

虚部

证复数在哪一类

分类中。利用两个复数

相等的等价条件

例2实数m取什么值时，复数z=m+l+（m―是下列

求解两个带参数

数？的复数相等的问

题。

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

池中试水

若复数（。2-3.+2）+（“-1》是纯虚数，求实数4的值.

例3已知（2x-l）+i=y—（3-y）i,其中求x与

江河搏水

若（3—10i）y+（-2+i）x=l-9i,求实数x,y的值.

大海踏浪

已知关于x的方程/+（女+2『卜+2+内=0有实根，求实

数K的值.

环节六以提问的形式让学生归纳总结这节课的学习内容，教师在学培养学生自觉回

课堂小生归纳的基础上进行梳理。顾、善于总结的习

结惯，使学生能主动

知识：复数的代数形式2=。+初，复数的分类，复数相等

构建方法体系

方法：类比，归纳

思想：分类讨论，化归和转化

作业与课后学习：自行查阅文献资料深入了解复数在其他领域的应培养学生文献阅

思考用价值