新高考数学一轮复习精讲精练7.2 空间几何中的垂直（基础版）（解析版）

7.2空间几何中的垂直（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一线线垂直【例1】（2022·河南）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD为平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABCD．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，E为AD的中点，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）证明:在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又因为平面SKIPIF1<0平面ABCD，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面PAC,又因为SKIPIF1<0平面PAC，所以SKIPIF1<0．(2)由（1）可知SKIPIF1<0，而E为AD的中点，故SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面PEC．又SKIPIF1<0平面PEC，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABCD，故SKIPIF1<0平面ABCD．因为SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0．【一隅三反】1．（2022·北京）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，指出点SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点【解析】(1)因为平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)解：存在，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点.连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图所示：因为底面SKIPIF1<0为平行四边形，所以点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.在SKIPIF1<0中，因为点SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点.所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·吉林·东北师大附中）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，平面SKIPIF1<0平面ABCD.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求三棱锥SKIPIF1<0的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0.3．（2022·四川成都）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内的射影分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】因为SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内的射影为SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0面SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0即SKIPIF1<0；考点二线面垂直【例2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为梯形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等边三角形SKIPIF1<0所在的平面垂直于底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；.【一隅三反】1（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】证明见解析.【解析】连接BD交AC于O，如图，四边形SKIPIF1<0为菱形，所以SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，如图1，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置.如图2.证明：直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】证明见解析【解析】证明：图1中，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0也是直角三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在图2中，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AF，由题意知SKIPIF1<0为等腰三角形，而SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0．又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是平行四边形，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．考点三面面垂直【例】（2022·全国·高三专题练习）在如图1所示的等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，将它沿着两条高SKIPIF1<0折叠成如图2所示的四棱锥SKIPIF1<0（SKIPIF1<0重合），点SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)证明：取EC的中点G，连接NG，BG，因为点SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0的中点.所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四边形MBGN是平行四边形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)证明：因为等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为SKIPIF1<0．(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：SKIPIF1<0平面ABC；(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因平面ABED⊥平面ABC，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·四川成都）如图，三棱锥SKIPIF1<0中，等边三角形SKIPIF1<0的重心为O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面DEF；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面PBC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接PE，因为SKIPIF1<0为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且SKIPIF1<0，因为M为PA中点，D是线段AM的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面DEF，SKIPIF1<0平面DEF，所以SKIPIF1<0平面DEF(2)连接AE、BD，如图所示因为SKIPIF1<0为等边三角形，E为BC中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为BC中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面PAE，所以SKIPIF1<0平面PAE，因为SKIPIF1<0平面PAE，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面PBC，所以SKIPIF1<0平面PBC，因为SKIPIF1<0平面DEF，所以平面SKIPIF1<0平面PBC3．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若三棱柱SKIPIF1<0上下底面为正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0相交于点F，连接MF，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以MF是SKIPIF1<0的中位线，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)因为直三棱柱SKIPIF1<0上下底面为正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由三线合一可得：SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<04．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)SKIPIF1<0【解析】(1)因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为底面SKIPIF1<0为菱形，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)取SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，联结SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.因为底面SKIPIF1<0为菱形，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形.所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(3)因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因为底面SKIPIF1<0为菱形，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0是等边三角形.所以SKIPIF1<0.7.2空间几何中的垂直（精练）（基础版）题组一题组一线线垂直1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，E，F分别是SKIPIF1<0的中点，G是SKIPIF1<0的重心，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使点A到达点P的位置，点P在平面SKIPIF1<0的射影为点G．证明：SKIPIF1<0【答案】证明见解析；【解析】连接SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影为点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为等边三角形，且平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0【答案】证明见解析【解析】证明：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为等边三角形，且SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且它们的交线为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0【答案】证明见解析；【解析】证明：在四边形SKIPIF1<0中，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上．(1)求四棱锥SKIPIF1<0的全面积；(2)求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析.【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∴BC⊥BP，∴SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在斜三棱柱SKIPIF1<0中，底面是等腰三角形，SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0底面ABC．(1)若D是BC的中点，求证：SKIPIF1<0；(2)过侧面SKIPIF1<0的对角线SKIPIF1<0的平面交侧棱于M，若SKIPIF1<0，求证：截面SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：∵SKIPIF1<0，D是BC中点，∴SKIPIF1<0，∵底面SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0，交线为BC，∴SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；(2)证明：取SKIPIF1<0中点E，连接DE，ME，在SKIPIF1<0中，D，E分别是BC，SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴四边形AMED是平行四边形，∴SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴面SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0．6．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为矩形，点E在AD上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）证明：如图所示，连接SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0AB的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：设SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.7．（2022·河南安阳）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，底面ABC是直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为AB的中点．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求点A到平面PDC的距离．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)证明：取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为底面SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为D为AB的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1），因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为直角三角形SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0边上的高为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设点A到平面PDC的距离为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点A到平面PDC的距离为SKIPIF1<0.8．（2022·四川成都）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内的射影分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)因为SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内的射影为SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0面SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0即SKIPIF1<0；(2)在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0.把SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离看作三棱锥SKIPIF1<0的高h，由等体积法得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．题组二题组二线面垂直1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若侧面SKIPIF1<0为菱形，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为三棱柱，则SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，故在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由侧面SKIPIF1<0为菱形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·山东省莱西市第一中学）如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)证明：（1）取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，从而SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)证明∵SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由（1）可知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．3．（2022·山东菏泽）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是梯形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若F为PA的中点，求证SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面PCD(2)求证SKIPIF1<0平面PCD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)取PD中点E，连接EF、EC，如图所示因为E、F分别为PD、PA中点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四边形EFBC为平行四边形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面PCD，SKIPIF1<0平面PCD，所以SKIPIF