空间向量的运算北师大选修

在射击时，为保证准确命中目标，要考虑风速、温度等因素．其中风速对射击的精准度影响最大．如某人向正北100m远处的目标射击，风速为西风1m/s.问题1：射手能否直接瞄准目标射击？

提示：不能．

问题2：射手应怎样瞄准目标？提示：瞄准方向为北偏西一定角度．问题3：问题2的原因是什么？提示：在射击过程中，子弹运行的实际位移是子弹与风位移的合成．问题4：空间向量的加法与平面向量类似吗？提示：类似，满足平行四边形法则．相等OC(2)空间向量的减法：a与b的差定义为a＋(－b)，记作

，其中

是b的相反向量．(3)空间向量加减法的运算律：①结合律：(a＋b)＋c＝

．②交换律：a＋b＝

.a－b－ba＋(b＋c)b＋aa为一空间向量．问题1：空间向量a与一个实数λ的乘积为λa，λa是向量吗？提示：是．问题2：当λ＝0时，λa＝0对吗？提示：不对，应为0.问题3：若a与λa方向相反，λ的取值范围是什么？提示：(－∞，0)．空间向量的数乘(1)定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个

，记作

.(2)向量λa与a的关系：向量λ的范围方向关系模的关系λ＞0

方向

λa的模是a的模的

倍λ＝0λa＝

，其方向是λ＜0

方向相同0任意的相反|λ|λa(3)空间向量的数乘运算律：①交换律：λa＝

(λ∈R)；②分配律：λ(a＋b)＝

，(λ＋μ)a＝λa＋μ

a(λ∈R，μ∈R)；③结合律：(λμ)a＝

(λ∈R，μ∈R)．aλλa＋λbλ(μa)(4)定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得

.a＝λb空间向量的数量积(1)空间两个向量a和b的数量积是一个

，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作

.(2)运算律：①交换律：

；②分配律：

；③λ(a·b)＝

(λ∈R)．a·ba·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·c(λa)·b数a·b＝0同与平面向量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算有如下特点1．空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则，结果仍是一个向量．2．空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行．4．空间向量数量积运算的结果是一个实数．[一点通]

空间向量的线性运算即为向量的加减、数乘运算．在进行向量的线性运算时，应注意结合图形的特点，利用三角形法则、平行四边形法则及数乘运算的运算律来进行化简、计算．要特别注意把某些向量平移后转化为同一平面内进行相关计算．答案：A[一点通]

(1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出a＝λb，从而得到a∥b.(2)共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线．在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行．当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线．答案：B[例3]

(12分)已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.7．若|a|＝|b|＝4，a·b＝3，则cos〈a，b〉＝________.1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到