2025年高考数学复习大题题型归纳：专题03 分组（并项）法求数列前n项和（解析）

专题03分组（并项）法求数列前n项和1．在等差数列{an}中，已知公差d=2，a2是a（1）求数列{a（2）设bn=an(n+1)2【答案】（1）an=2n.（2）【详解】试题分析：（1）由题意知(a解得a1（2）由题意知bn从而得到Tn由于bn+1具体的，当n为偶数时，T=4+8+12+⋯+2n=当n为奇数时，T=−(n+1)试题解析：（1）由题意知(a即(a解得a1所以数列{an}（2）由题意知bn所以Tn因为bn+1可得，当n为偶数时，T=4+8+12+⋯+2n==当n为奇数时，T==−所以Tn考点：等差数列、等比数列，数列的求和，分类讨论思想.2．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{（1）求数列{an}（2）求数列{bn}【答案】（1）an=3n(n=1,2,⋯)，b【详解】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列{b试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得d===3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=3n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1，∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{bn}的前n项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．3．已知递增等差数列an满足a1+a5=10，（1）求bn的前n项和S（2）若Tn=nb【答案】（1）Sn=2【解析】（1）根据等差数列公式，列出方程组，求得a1,d的hi，得到an（2）由（1）得到Sn=2【详解】（1）设数列{an}公差为d(d>0)解得a1=1d=2所以an则2log2bn=2n−2所以数列bn的前n项和S（2）由（1）知Sn又由TnT==(2+2【点睛】本题考查了等差、等比数列通项公式，等比数列的前n和公式，以及“分组法”求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式，以及合理利用“分组法”求和，准确计算是解答的关键，注重考查推理与运算能力，属于中档试题.4．已知an为等差数列，bn为单调递增的等比数列，a1=b（1）求an与b（2）求数列an+bn【答案】（1）an=n，bn【分析】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，根据题意求得d和q的值，进而可求得数列an（2）求得数列an+b【详解】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为由a2+a4=6，可得2所以an由a3b3=12，可得b3又因为数列bn为单调递增的等比数列，则q>0，故q=2，所以b（2）由（1）可知an数列an的前n项和为1+2+⋯+n=数列bn的前n项和为1+2+⋯+故Sn【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的求解，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于基础题.5．已知数列an的前n项和为S（1）求数列an（2）数列bn=lgan，x表示不超过x【答案】（1）an=3n−2；（2）【分析】（1）利用an（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当n=1时，a1当n≥2时，an将n=1代入上式验证显然适合，所以an（2）因为a4=10，a34=100，所以bn所以T1000【点睛】本题考查an和S6．已知数列an的前n项和为Sn,a1（1）求数列an（2）若数列bn满足bn=an+log【答案】（1）an=【分析】（1）由条件得到an=Sn−1+2n≥2，结合已知两式相减得到（2）由（1）可知bn【详解】（1）∵an+1∴an=①-②得an+1−a又a1=2,∴∴{a∴a（2）由（Ⅰ）得a∴b∴=(2=(=2(1−=【点睛】本题考查已知Sn求an，以及分组转化法求和，重点考查基本方法，计算能力，属于基础题型，本题容易忽略验证7．已知数列an满足a（1）证明an+1是等比数列，并求（2）求数列an的前n【答案】（1）证明见解析，an=【分析】（1）由已知得an+1+1=2（an+1），a1+1=2，从而能证明{an+1}是首项为（2）利用分组求和可求解【详解】(1)由an+1=2an所以an所以an+1=(2)S==【点睛】本题考查等比数列的证明，考查等比数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和的合理运用．8．设an是等差数列，bn是等比数列.已知（Ⅰ）求an和b（Ⅱ）设数列cn满足c1=1,（i）求数列a2（ii）求i=1n【答案】（Ⅰ）an=3n+1；bn=3×【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列a2nc【详解】(Ⅰ)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为依题意得6q=24+d−2=6+2d6故an=4+(n−1)×3=3n+1，所以，an的通项公式为an=3n+1，b(Ⅱ)(i)a2所以，数列a2nc(ii)i=1na=n+2==12×4【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.9．已知数列{an}，Sn（1）求证：数列an（2）记Tn=S【答案】（1）见解析；（2）3n+2【分析】（1）n≥2时，由3an=2Sn+n,得3an−1=2Sn−1+n−1，然后利用Sn−S【详解】（1）n=1时，3a1=2当n≥2时，由3an=2则3a即an所以an+1故an+1则an+1（2）将an=32⋅所以T

=34【点睛】分组求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和，例如对通项公式为an10．设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d（1）求数列an（2）若bn=−1n⋅an【答案】（1）an=2n−1；（2）【分析】（1）根据条件，结合等差数列求和公式，可求得d值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得bn【详解】解：（1）由题意得S3=3a数列an的通项公式为a（2）b当n为奇数时，T=21+3+5+7+⋅⋅⋅+2n−3当n为偶数时，T=2∴11．已知正项数列an和bn,Sn为数列an（1）分别求数列an和b（2）将数列an中与数列bn相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列cn，记数列cn的前n项和为【答案】（1）an=2n，【分析】（1）由4Sn=an2+2an，利用a（2）先看数列{an}中前100项内有多少项是{bn}中的项，从而可以确定{c【详解】（1）因为4S所以n≥2时，4S两式相减得4an=因为an>0，所以又4a1=a12+22n=2log2b（2）a100=200，又27=128，所以T100【点睛】易错点睛：本题考查由Sn求数列的通项公式，考查分组求和法．在应用公式an=Sn−Sn−1求an时要注意n≥212．已知数列{an}是一个公比为q(q>0,q≠1)的等比数列，a1=1,Sn是数列{an（1）求数列{a（2）令bn=2log2an−7条件①：4a2,3a3,2a4成等差数列；条件注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）an=2【分析】（1）根据所选条件求公比q，写出等比数列通项公式.（2）由（1）得到bn=2n−9，应用分组、等差数列前n项和公式求【详解】（1）选①：6a3=4a2+2a4，即选②：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2(a选③：S3=a1(1−q3)1−q∴{an}（2）由（1）知：bn∴Tn∴当n=4时，Tn的最小值为−16【点睛】关键点点睛：（1）由所选条件求公比，写出等比通项公式.（2）利用分组求和、等差数列前n项和公式求Tn13．已知等差数列an的前n项和为Sn，S5=25，且a3（Ⅰ）求数列an（Ⅱ）若bn=−1nan+1，T【答案】（Ⅰ）an=2n−1；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由S5=25，求得a3=5，再根据a3−1，a4（Ⅱ）由题意得到bn【详解】（Ⅰ）由题意，等差数列{an}的前n因为S5=25，可得S5设数列{an}的公差为d，由a3−1可得(6+d)2=4(8+4d)，整理得d2所以an（Ⅱ）由bn所以T=[-1-5-=−1−(4n−3)14．已知数列{an}的前n项和Sn满足（1）证明：数列{a（2）设bn=13an【答案】（1）证明见详解；（2）T【分析】（1）首先利用an=Sn−（2）根据等比数列求出数列{an}【详解】（1）因为4所以n≥2时，4两式相减得到：4(an−又4a1数列{a（2）由（1）可知：an所以bnT=(=1−所以数列{bn}15．已知数列an中，a1=1（1）求证：数列a2n（2）记Sn是数列an的前①求S2n②求满足Sn>0的所有正整数【答案】（1）证明见详解；（2）①S2n=13n−3n−12+2【解析】（1）设bn=a2n−（2）①推导出a2n−32=−16⋅13n−1=−12②：由①的求和式子由此能求出满足Sn＞0的所有正整数n的值．【详解】（1）设bn因为b=13a所以数列a2n−32是以a2（2）①由（1）得bn=a即a2n=−1得a2n−1=3a所以a2n−1+aS=−213=−2⋅13=13n②显然当n∈N∗时，又当n=1时，S2当n=2时，S4=−89<0S2n−1=S同理，当且仅当n=1时，S2n−1综上，满足Sn>0的所有正整数n为1和【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前n项和的正整数的最大值的求法，解题的关键是根据等比数列的通项公式得出a2n=13a16．数列an前n项和为Sn，满足：a1（1）求证：数列Sn（2）求和：S1【答案】（1）证明见解析；（2）3n+1【解析】（1）由递推关系结合an+1=S（2）由（1）求出Sn【详解】（1）由an+1=2Sn+2∵S1=a∴Sn>0，∴∴Sn+1+1S故数列Sn+1是以（2）由（1）知：Sn+1=3⋅3故S1+S17．已知正项等比数列{an}满足(1)求{an(2)求数列{n+an}的前n项和【答案】(1)a(2)S【分析】（1）根据等比数列的性质得到a3【详解】（1）由a1a5=4(又a1=12，所以q2=（2）S=(1+2+⋯+n)+(==18．已知数列an的前n项的和为Sn，且满足(1)求数列an的通项公式an及(2)若数列bn满足bn=Sn−31，求数列【答案】(1)an=(2)T【分析】（1）由a1=S1求出a1，由a（2）根据绝对值的定义按正负分类讨论去绝对值符号，然后分组求和．【详解】（1）由Sn=2an−1由Sn=2an−1即an+1=2a则an=2（2）由（1）知：bn=2则当1≤n≤5时，Tn=32n−2当n>5时，T=2T则Tn19．已知数列an满足：a1=1，且a(1)证明：数列bn+2为等比数列，并求出(2)求数列an的前2n【答案】(1)b(2)数列an的前2n项和为【分析】（1）根据数列的递推公式可得bn+1（2）根据数列的递推公式可得数列的偶数项与奇数项之间的关系，由（1）可得数列的奇数项的通项公式，利用等比数列的求和公式，进而求得答案.【详解】（1）由题意可知：b1bn+1故bn+1+2=2(b故bn+2是以b1且bn故b（2）由（1）知，bn=3⋅2由题意知：an+1=a故数列an的前2n项和S=2(a=2[3(2=6×1−20．在①a3=5，S9=63；②3a2=a已知等差数列an的前n项和为Sn，______，数列bn(1)求数列an和b(2)数列an，bn的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列cn；b1，a1，a2，b2，b3，a3【答案】(1)an=n+2(2)4【分析】（1）根据条件，得出有关数列的方程组通过解方程得到数列{an}（2）通过“分组求和”即可求得．【详解】（1）设等差数列{a选择①a3=5，S9=63，可知又a3所以数列{an}的公差d=选择②3a2=a10S2则{所以an选择③a1=3，S8则{所以an又因为b2=a2=4（2）由题意T4n+3=b1=421．已知数列an满足2a(1)求an(2)设bn=2an−1000，求数列【答案】(1)a(2)66490【分析】（1）依题意an为等差数列，设公差为d，由a1=2,（2）由（1）可知bn=2【详解】（1）解：因为2an=an−1+an+1n≥2，所以an+1−an=（2）解：因为bn=所以bn=1000−2=3×1000−=3000−22．已知an是等差数列，其前n项和为Sn．若(1)求an(2)设bn=2an+2an，数列【答案】(1)a(2)Tn【分析】（1）、利用等差数列通项公式及前n项和求出公差，即可求出an（2）、先求数列bn【详解】（1）设等差数列an的公差为d∵S7=4a2又∵a1=2，∴d=2∴an的通项公式为（2）由（1）可知an∵bn=2∵T∴T∴T23．已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=an+1【答案】(1)an=1【分析】(1)根据Sn与an关系可得(2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.【详解】解：(1)当n＝1时，2S∵a1=1，∴a2=12．可得a2两式相减，得2an+1=故数列an是首项为1，公比为12的等比数列，则(2)由(1)知，bn故Tn24．已知正项等比数列an的前n项和为Sn，a1=2，且a2(1)求数列an(2)设数列bn满足bn=1an【答案】(1)an(2)Tn【分析】（1）设{an}的公比为q（2）写出bn【详解】（1）设{an}的公比为q因为a1=2，且a2，a所以a2+a4=2(所以an（2）由（1）bnTn=(1225．已知数列an的前n项和为Sn，数列bn(1)求数列an和b(2)若c1=b1,c2n【答案】(1)an=−2(2)T2n【分析】（1）求出b1,d即得数列bn的通项公式，利用an与（2）求出c2n−1=−2n+2n+1，再利用分组求和求数列c【详解】（1）解：令n=1,S令n=2,S2=2a2+b2=Sn=2an+n，两式相减得an=2a即an−1是公比为2的等比数列，且所以an（2）解：由c2n=c2n−1=c累加可得c2n−1T=c1+而c=2−2∴T2n26．已知Sn=2n+1−λ(1)求λ及an(2)设bn=1an+log【答案】(1)λ=2，a(2)T【分析】（1）由an与S（2）由分组求和法求解【详解】（1）①当n=1时，a1②当n≥2时，an由题意得a1=4−λ=2，故λ=2（2）bn则Tn得T27．已知数列an满足，an+1=(1)若数列bn为数列an的奇数项组成的数列，cn为数列an的偶数项组成的数列，求出c1，c(2)求数列an【答案】(1)c1(2)−77.【分析】（1）由题意bn=a2n−1，cn=a2n，由递推关系计算（2）由递推关系可证明{cn}为等差，求解{【详解】（1）由题意，bn=a故c1=a2=又b=a即bn+1故数列bn（2）由（1）数列bn为等差数列，且公差为−1，首项b即bn又cn+1且c1=a故数列anS2228．已知数列an的首项a1=(1)求证：数列1a(2)若1a1+【答案】(1)证明见解析(2)2022【分析】（1）先取倒数，然后通过构造法可证；（2）由（1）求数列1an−1【详解】（1）由题设可得1a所以1a又1所以1an−1是以1（2）由（1）可得1an−1=所以1显然右边n+1−1易知，当n=2022时，2022+1−1n=2023时，2023+1−1所以满足条件的最大整数是2022.29．已知数列an是等差数列，a1=1，且a1，a2，a5−1(1)求b1，b(2)求最小自然数n的值，使得b1【答案】(1)b1=2，(2)11【分析】（1）利用等比数列的性质求得{an}公差，得通项公式an，写出（2）由（1）可得bn，然后分组求和法求得和b1+b2【详解】（1）设数列{an}的公差为d，由a1，a21×(1+4d−1)=(1+d)2，解得d=1，所以k=1时，集合{n|1≤n≤2,n∈N∗}k=2时，集合{n|2≤n≤4,n∈N∗}（2）由（1）知bkb1n=10时，2(2n−1)−n2记Tn=b所以所求n的最小值是11.30．已知公差不为0的等差数列{an}中，a1=1，a(1)求数列{a(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1(k=1,2,⋯)之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn【答案】(1)a(2)2101【分析】（1）公式法解决即可；（2）ak与ak+1（k=1，2，…）之间插入2k，说明在数列bn中有10项来自【详解】（1）设数列{an}因为a4是a2和所以a42=因为a所以d=1或d=0（舍）所以an所以通项公式a（2）由（1）得an因为ak与ak+1（k=1,2,3......）之间插入所以在数列bn中有10项来自an，10项来自所以T31．已知数列an的前n项和为Sn，(1)求an(2)若bn=2n+1，求数列an+b【答案】(1)a(2)T【分析】（1）令n=1可求得a1的值，令n≥2，由Sn=2an−1可得（2）利用分组求和法可求得Tn【详解】（1）解：当n=1时，a1=S当n≥2时，由Sn=2a上述两个等式作差可得an=2a所以，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，故a（2）解：由题意可知，Sn因为bn=2n+1，则bn+1所以数列bn的前n项和为B所以，T=S32．已知数列an满足：a1=12，a(1)证明：数列{an+1(2)求数列an的前n【答案】(1)证明见解析(2)S【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式求解出数列的通项公式，再利用分组求和即可得到结果.【详解】（1）证明：∵a1=12∵an+2+4an=5a即an+2−an+1an+1−（2）由(1)知，an+1∴an=(a=1当n=1时，a1综上所述，an=设数列an的前n项之和为Sn，则Sn33．已知等差数列{an}的前三项和为15，等比数列{bn}的前三项积为64，且(1)求{an}和{b(2)设cn=a【答案】(1)an=3n−1(2)2336【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；（2）根据（1）的结果求数列cn的通项公式，再利用分组求和法，求数列c【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由条件可知，a1+a2+所以an等比数列中，b1b2b3所以bn（2）cn对数列3n−1,n为奇数时，3所以数列cn对数列2n2,n所以数列cn所以数列cnc=1034．已知Sn为数列an的前n项和，(1)求数列an(2)记bn=an,n【答案】(1)a(2)2772【分析】（1）由题知数列an是等比数列，公比为2，首项为a1=2（2）结合（1）得bn【详解】（1）解：因为Sn所以，当n=1时，S1+2=a当n≥2时，Sn+2=2a所以an=2a所以，数列an是等比数列，公比为2，首项为a所以，数列an的通项公式为a（2）解：由（1）知an所以bn记bn前12项的和为S所以，S=21−235．在数列an中，a1=20(1)求an(2)求an的前n项和S【答案】(1)a(2)S【分析】(1)由条件求数列的前几项，证明n≤7为等差数列，n≥8为摆动数列，再求其通项公式；(2)讨论n，利用等差数列求和公式和分组求和法求和求Sn【详解】（1）因为a1=20所以a2=a1−3=17，a3=a所以当2≤n≤7时，an综上，an是以20为首项，－3为公差的等差数列，则a当n≥8时，a8=a7−3=2−3=1，可得数列an是个摆动数列，则a综上，a（2）当n≤7时，Sn当n≥8，且n为奇数时，Sn当n≥8，且n为偶数时，Sn所以Sn综上，S36．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.【答案】(1)a(2)1809【分析】（1）由an=Sn−（2）考虑到26<a40<27，a【详解】（1）由2Sn=na