线性代数习题

班级班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线课程代码2100024课程名称线性代数B考试时间120分钟注意：1．答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名；2．请将填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。一、填空题（每空4分，共24分）1．设，则=；2．设，则（是/不是）向量空间；3．已知3阶方阵有特征值-1，1，2，则=；4．设矩阵其中线性无关，且，，则的通解为：；5．设，则的列向量组的一个最大线性无关组为：，=。二、选择题（每小题4分，共24分）6．行列式求=（）（A）（B）（C）（D）7．设，则中的系数为()。(A)-1；(B)1；(C)-17；(D)17。8．设均为阶可逆方阵，下列各式正确的是()。(A)；(B)；(C)；(D)。9．若4阶方阵的行列式等于零，则必有（）(A)中至少有一行向量是其余向量的线性组合(B)中每一行向量都是其余行向量的线性组合(C)中必有一行为零行(D)的行向量组线性无关10．设为阶方阵，则（）(A)的特征值一定都是实数(B)必有个线性无关的特征向量(C)可能有+1个线性无关的特征向量(D)最多有个互不相同的特征值11．设非齐次线性方程组的未知量个数为，方程个数为，则在条件()成立时，一定有解。(A)矩阵的列向量组线性无关； (B)矩阵的列向量组线性相关；(C)矩阵的行向量组线性无关； (D)矩阵的行向量组线性相关。三、计算题（46分）12、计算行列式。（6分）13、设矩阵，矩阵满足，求矩阵。（8分）14、设向量组，向量，问取何值时（1）能由惟一表示？（2）不能由线性表示？（3）能由线性表示但表达式不惟一？（8分）15、已知二次型，记（1）写出该二次型的矩阵；（2）求一个正交矩阵，使得为对角阵；（3）写出该二次型在正交变换下的标准型，其中；（4）该二次型是否为正定二次型，只需回答是或者不是。（14分）16、设，其中，求。（10分）四、应用题（17、18选做1个）（6分）17、某地的道路交叉处通常建成单行的小环岛，如图所示，请求出该网络流通解，并找出的最小可能值。（图上箭头为车行进方向，数字为每小时车流量，为所标路段上的车流量）18、一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C，钙和镁。其中用到了3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出：营养单位食物所含营养（mg）需要的营养总量（mg）食物1食物2食物3维生素C102020100钙504010300镁301040200请设立合适的变量建立并求解方程确定该食谱。（精确到小数点后1位）班级班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线课程代码2100024课程名称线性代数B考试时间120分钟注意：1．答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名；2．请将判断题、填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。一、判断题（每小题3分，共12分；正确的打“√”，错误的打“×”）1、若向量组线性相关，则向量组线性相关。（）2、。（）3、设是对称矩阵A的两个相同的特征值，是对应于的特征向量，则和一定线性相关。（）4、是向量空间。（）二、填空题（每空3分，共15分）5、求函数中的系数为；6、设，则=；7、已知四阶行列式，则；8、若元非齐次线性方程有唯一解，则它对应的齐次线性方程；（填写“只有零解”或“有非零解”）9、设A为阶方阵，且，则。三、选择题（每小题3分，共18分）10、设，则（）（A）（B）（C）（D）11、矩阵，则=（）（A）（B）（C）（D）12、设均为阶方阵，下列各式正确的是().(A)；(B)；(C)；(D).13、设3阶可逆方阵A，且，则（）；（A）4（B）-4（C）16（D）-1614、已知3阶方阵的特征值为1，-2，3，则=（）;（A）-245（B）245（C）49（D）-3515、设矩阵其中线性无关，且，，则的通解为().(A)(B)(C)(D)四、计算题（48分）16、计算四阶行列式（6分）17、设矩阵和满足关系式，其中，求矩阵。（6分）18、设向量组，求向量组的秩及一个最大线性无关组，并把其余向量用最大线性无关组线性表示。（12分）19、设有线性方程组，问取何值时，此方程（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解。（12分）20、求一个正交变换，把二次型化为标准形。（12分）五、证明题：（7分）21、设有向量组，试证向量组线性无关。其中：为个互不相等且不为零的常数。《线性代数B》模拟试卷一一、选择题1、行列式的值为（）（A）（B）（C）（D）2、（）（A）（B）（C）（D）均不对3、矩阵的秩为（）（A）（B）（C）（D）4、已知非齐次线性方程组的三个解为，则下列哪个仍是的解为（）（A）（B）（C）（D）5、下列关于矩阵的秩的说法正确的是（）（A）秩为的矩阵中一定有不等于的阶子式；（B）秩为的矩阵中一定没有不等于的阶子式；（C）秩为的矩阵中一定没有等于的阶子式；（D）秩为的矩阵中一定有不等于的阶子式二、填空题1、2、设3元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，是它的两个不同的解向量，则该方程组的通解为3、设，则中的系数为4、向量组的秩为5、已知3阶方阵的三个特征值为，则6、二次型是否正定：三、计算阶行列式（）四、解方程组五、解矩阵方程：六、问取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时，求出其通解。七、已知二次型，求一个正交线性变换，将二次型化成标准型，并判断其正定性。八、证明题设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，证明：线性无关。《线性代数B》模拟试卷二一、填空题（每空3分，共30分）1．设，，则；；2．设，则的行列式;方阵的秩为;3．设向量组：，，，，则的秩为：；的一个最大线性无关向量组为：；4．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知，，是它的三个解向量，且，，则方程组的通解为：;5．设二次型，则二次型对应的矩阵为：；它是（正/负）定二次型。６．设非奇异方阵有一个特征值，则矩阵必有一个特征值为：。二、举例说明下列命题是错误的（每小题5分，共10分）1．若，则。2．若有唯一解，则有唯一解。三、计算题（共50分）1．计算行列式。（６分）2．设，问是否可逆？若可逆，求其逆阵。（８分）3．解矩阵方程。（８分）4．已知，，，，问(1)，为何值时，不能用线性表示？(2)，为何值时，可由线性表示，且表示式唯一，并写出表达式；(3)．，为何值时，可由线性表示，且表示式不唯一，并写出表达式。（1６分）5．设，求一个正交阵,使为对角阵，并写出对角阵。（1２分）四、证明题（共10分）1．设阶方阵满足，则。(5分)2．设实对称阵的所有特征值的绝对值都等于１。证明：为正交阵。（５分）《线性代数B》模拟试卷三一、选择题（每题4分，共24分）1、行列式的值为：（）(A)0(B)2(C)4(D)82、(A)(B)(C)(D)均不对3、矩阵的秩为：（）(A)1(B)2(C)3(D)44、下列说法正确的是：()(A)(B)(C)(D)5、已知非齐次线性方程组的三个解为,则下列哪个仍是的解()(A)(B)(C)(D)6、已知三阶方阵的行列式，则()(A)3(B)9(C)27(D)81二、填空题（每空4分，共24分）1、；2、设与相乘有意义，则=；3、，，则与的夹角为：；4、设方阵满足，则；5、向量组，，的秩为：；6、已知三阶方阵,这里为3阶可逆方阵，则；三、计算阶行列式（10分）四、（10分）解方程五、（12分）设，，求。六、（12分）求矩阵的特征值及特征向量。七、证明题（8分）设，且向量组线性无关，证明向量组也线性无关。《线性代数B》模拟试卷四一、填空题：（每空4分，共24分）1、.2、设，则中的系数为；3、已知三阶方阵的三个特征值为:，则；4、已知是三阶方阵,且,则；5、设三元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵的秩为，且它的三个解向量满足，,则的通解为；6.设,问是不是向量空间？回答：。二、选择题:（每小题4分，共24分）1、行列式的值为()(A)(B)(C)(D)2、()(A).(B).(C).(D).。3、矩阵的秩为()(A)(B)(C)(D)4、设为矩阵，齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是A的（）(A)列向量组线性无关；(B)列向量组线性相关；(C)行向量组线性无关；(D)行向量组线性相关。5.设线性方程组有个未知量，个方程，且，则此方程组（）(A)时，有解；(B)时，有唯一解；(C)时，有唯一解；(D)时，有无穷多解。6、与向量正交的向量是()(A)(B)(C)(D)三、计算行列式:（6分）四.求向量组，，的秩和一个最大无关组。（8分）五、解矩阵方程：（8分）六、解非齐次线性方程组：（12分）七、设，求一个正交矩阵，使为对角阵。（12分）八、证明题：（6分）设阶方阵满足，其中，为阶单位阵，证明可逆并求。《线性代数B》模拟试卷五一、填空题（每空3分，共18分）1．设，，则=；2．设，，则向量与的夹角为；3．设向量组，则的一个最大线性无关组为：4．已知3阶方阵有特征值-1，1，2，则=。5．设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,且它的三个解向量满足，,则的通解为：；6．设，则（是/不是）向量空间。二、选择题（每小题4分，共24分）1．行列式=（）（A）（B）（C）（D）2．设，则中的系数为。(A)-1；(B)1；(C)-3；(D)3。3．设均为阶可逆方阵，下列各式正确的是。(A)；(B)；(C)；(D)。4．设是维向量组，下列命题中正确的是（）。（A）零向量不能由线性表示；（B）如不能由线性表示，则线性无关；（C）如线性相关，不能由线性表示，则线性相关；（D）如中，任意个向量都线性无关，则线性无关。5．已知，为3阶非零矩阵，且，则下列叙述正确的是。(A)时，的秩必为1； (B)时，的秩必为2；(C)时，的秩必为2； (D)时，的秩必为1。6．设非齐次线性方程组的未知量个数为，方程个数为，则在条件成立时，一定有解。(A)矩阵的列向量组线性无关； (B)矩阵的列向量组线性相关；(C)矩阵的行向量组线性无关； (D)矩阵的行向量组线性相关。三、计算行列式。（8分）四、设，且，求未知矩阵。（8分）五、问取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解？（2）无解？（3）有无穷多解？并求出通解。（14分）六、已知二次型，记（1）写出该二次型的矩阵；（2）求一个正交矩阵，使得为对角阵；（3）写出该二次型在正交变换下的标准型，其中；（4）该二次型是否为正定二次型，只需回答是或者不是。（14分）七、设，且与相似，求。（7分）八、设均为正交阵，且，证明。（7分）《线性代数B》模拟试卷六一、选择题（每题4分，共24分）1．设，则中的系数为（）。(A)12；(B)2；(C)-2；(D)-12。2．关于矩阵的乘法，下列结论正确的是（）。(A)若且有两列，则有两列；(B)若，则；(C)若和都是矩阵，则和都有意义；(D)若，则或。3．设均为阶方阵，则下列等式正确的是（）。(A)；(B)；(C)；(D)。4．关于线性方程组，下列叙述正确的是（）。(A)如果一个方程组有两个不同的解，则它必然有无穷多解；(B)如果增广矩阵可以通过初等行变换变成行最简形，则方程组有解；(C)含个变量个方程的线性方程组至多只有个不同的解；(D)如果方程组有两个不同的解，则也如此。5．下列向量组中，（）是线性无关的向量组。(A)；(B)；(C)；(D)。6．设为阶矩阵，是其伴随方阵，则下列命题不正确的是（）(A)若可逆，则也可逆；(B)若的秩为，则的秩为；(C)；(D)若可逆，则。二、填空题（每空4分，共24分）7．设，则；8．设，则=；9．设方阵，则；10．设，则矩阵的秩为；11．设3阶方阵有特征值，则方阵有特征值；12．设，则向量的夹角为。三、计算下列各题（7小题，共52分）13．计算行列式。（6分）14．设阶行列式，为的余子式，计算。(6分)15．已知，求A的逆矩阵。（6分）16．设，且，求未知矩阵。（6分）17．解方程组（6分）18．问取何值时，线性方程组（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求出解（12分）19．设，求一正交矩阵，使得，其中为对角阵。（10分）《线性代数B》模拟试卷七一、填空题（每空4分，共24分）1、设，，则2、设，则（是/不是）向量空间3、已知阶矩阵有特征值，则4、设矩阵，其中线性无关，且，，则的通解为：5、设，则的列向量组的一个最大线性无关组为：，二、选择题（每小题4分，共24分）6、设矩阵，则（）（A）（B）（C）