【数学】1.3.3《已知三角函数值求角》课件(新人教B版必修4)

1.3.3已知三角函数值求角我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角。1.已知正弦值，求角例1、已知sinx=，（1）若，求x；（2）若，求x；（3）若x∈R，求x的取值集合。(1)若，求x；解：因为，所以x是第一或第二象限的角，由正弦函数的图象知道sin=或sin=.得在时，x=(2)若，求x；解得x1=，x2=.（3）若x∈R，求x的取值集合。比较（1），（2）得x的取值集合是由例1可知，在函数y=sinx的非单调区间上，对于一个已知的正弦值，有多个角和它对应，如在[0，2π]上，有两个角的正弦值都是，而在R上，有无穷多个角的正弦值都是.但在一个y=sinx的单调区间上，只有一个角和已知的正弦值对应，比如在区间上，只有的正弦值等于一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny(其中－1≤y≤1，)即arcsiny(|y|≤1)表示上正弦等于y的那个角在区间上，如果sinx=,则x=arcsin=如果sinx=0,则x=arcsin0=0如果sinx=0.3485,则x=arcsin0.3485.如果sinx=,则x=arcsin()=－

例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0,2π)，求x；（2）已知cosx=－，求x的取值集合；解：（1）由于cosx=0.5，所以x是第一或第四象限的角.因为cos=0.5，所以符合条件在第一象限的角x=.由诱导公式知cos(2π－x)=cosx，所以cos()=cos=0.5，即在第四象限，符合条件的角x=.（2）已知cosx=－，x不是特殊角，于是可以用反余弦来表示。考察余弦函数知，函数y=cosx在区间[0，2π)上，对于y∈(－1，1)的任何一个值，有两个角与之对应.如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯一值与之对应.在区间[0，π]上符合条件cosx=y(－1≤y≤1)的角x，记为x=arccosy，于是cosx=－，x=arccos(－)=π－arccosx在第二象限若x在第三象限，则x=π+arccos综上得满足cosx=－的角的集合是反余弦举例：若cosx=0.2，x在第一象限，则x=arccos(0.2).若cosx=0.2，x在第四象限，则x=－arccos(0.2)或x=2π－arccos(0.2)解集为{x|x=2kπ+arccos0.2,k∈Z}∪{x|x=2kπ－arccos0.2,k∈Z}若cosx=－0.7，x在第二象限，则x=arccos(－0.7)=π－arccos0.7.若cosx=－0.7，x在第三象限，则x=π+arccos(0.7)解集为{x|x=2kπ+π－arccos0.7,k∈Z}∪{x|x=2kπ+π+arccos0.7,k∈Z}例3.已知tanx=，且x∈,求x的值.解：因为正切函数在上是增函数，所以正切值等于的角x有且只有1个.由tan()=－tan=－

,所以x=－一般地，对于tanx=a(a>0)，则x=kπ+arctana，k∈Z.如tanx=2，则x=kπ+arctan2.k