广东省揭阳市揭西县九年级（上）期末数学试卷（解析版）

广东省揭阳市揭西县九年级(上)期末数学试卷

一、选择题

2

1.点P(-2,b)是反比例函数y=q的图象上的一点，则b=()

A.-2B.-1C.1D.2

2.用因式分解法解一元二次方程x(x-3)=x-3时，原方程可化为()

A.(x-1)(x-3)=0B.(x+1)(x-3)=0

C.x(x-3)=0D.(x-2)(x-3)=0

3.准备两组相同的牌，每组两张且大小相同，两张牌的牌面数字分别是0,1,从每组牌中

各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为1的概率为()

3111

A.4B.gC.2D.q

4.关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+l=0有两个相等的实数根，则m的值是()

A.0B.8C.4±272D.0或8

5.如图是同一时刻学校里一棵树和旗杆的影子，如果树高为3米，测得它的影子长为1.2

米，旗杆的高度为5米，则它的影子长为()

D.3.6米

6.如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB,AC,BC上的点，且DEIIBC,EFIIAB,

A.10cmB.20cmC.5cmD.6cm

7.如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图

是（）

A-DnB-oRc-rFhD-Hi~i

8.已知点P（l,2）在反比例函数y=上的图象上，过P作x轴的垂线，垂足为M,则A0PM

x

的面积为（）

A.2B.4C.8D.1

9.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,

Q,S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点

T,PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS=60m,ST=120m,QR=80m,

T

A.40mB.60mC.120mD.180m

10.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DEIIAC,且DE=5AC,连接CE、

2

OE,连接AE,交OD于点F.若AB=2,NABC=60。，则AE的长为（）

A.炳B.V5C.V?D.2V2

二.填空题

11.方程（x-2）2=9的解是.

12.反比例函数y=*经过点（-2,1）,则一次函数y=x+k的图象经过点（T,）.

X

13.两位同学玩〃石头、剪子、布〃游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是

乡陷

14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE±BD,垂足为E,ED=3BE,

则NAOB的度数为

15.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点，AE=CF,连接EF、BF,EF

与对角线AC交于点0,且BE=BF,ZBEF=2ZBAC,FC=2,则AB的长为.

16.如图，正方形ABCD的边长为3,延长CB到点M,使BM=1,连接AM,过点B作

BN±AM,垂足为N,0是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为

三.解答题

17.解一元二次方程：x2-x-6=0.

18.直线y=x+b与反比例函数丫=上(x>0)的图象交于点A(1,2),写出这两个函数的

X

表达式.

19.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF,求证:

DE=DF.

四.解答题

20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=1<^+6(k/O)的图象与x、y轴交于点A(1,

0),B(0,-1)与反比例函数y=E在第一象限内的图象交于点C,点C的纵坐标为1.

x

(D求一次函数的解析式；

(2)求点C的坐标及反比例函数的解析式.

21.某班从3名男生和2名女生中随机抽出2人参加演讲比赛，求所抽取的两名学生中至少

有一名女生的概率.

22.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E是CD中点，连结OE.过

点C作CFIIBD交线段OE的延长线于点F,连结DF.求证：

(1)AODE空△FCE；

(2)四边形ODFC是菱形.

B

五.解答题

23.某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同

的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如

图T所示)，求人行通道的宽度.

8米

工

24.如图，正万形ABCD中，AB=4,E为BC的中点，F为AE的中点，过点F作GHJ_AE,

分别交AB和CD于G、H,求GF的长，并求黑的值.

25.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E,交BA的

延长线于点F.

(1)求证：△APD2△CPD；

(2)求证：△APE-△FPA；

(3)猜想：线段PC,PE,PF之间存在什么关系？并说明理由.

广东省揭阳市揭西县九年级(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1.点P(-2,b)是反比例函数y=2的图象上的一点，则b=()

x

A.-2B.-1C.1D.2

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】直接将点P(-2,b)代入y=2即可求出b的值.

x

【解答】解：•.•点P(-2,b)是反比例函数y=2的图象上的一点，

x

-2b=2,

解得：b=-1,

故选B.

【点评】题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标

的积应等于比例系数.

2.用因式分解法解一元二次方程x(x-3)=x-3时，原方程可化为()

A.(x-1)(x-3)=0B.(x+1)(x-3)=0C.x(x-3)=0

D.(x-2)(x-3)=0

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先移项，再分解因式，即可得出选项.

【解答】解：X(X-3)=x-3,

x(x-3)-(x-3)=0,

(x-3(x-1)=0,

故选A.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确分解因式是解此题的关键.

3.准备两组相同的牌，每组两张且大小相同，两张牌的牌面数字分别是0,1,从每组牌中

各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为1的概率为()

A.-B.-C.-D.-

4324

【考点】列表法与树状图法.

【分析】根据题意列出表格，得到所有的可能情况，找到两张牌的牌面数字和为1的情况个

数，即可求出所求的概率.

【解答】解：根据题意列得：

10

121

010

所有的情况有4种，其中两张牌的牌面数字和为1的有2种，

所以两张牌的牌面数字和为1的概率=3=《，

42

故选C.

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注

意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

4.关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+l=0有两个相等的实数根，则m的值是()

A.0B.8C.4±2亚D.0或8

【考点】根的判别式.

【专题】计算题.

【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，由程x2+(m-2)x+m+l=0有两个相等的

实数根，则有△=(),得到关于m的方程，解方程即可.

【解答】解：,••一元二次方程x2+(m-2)x+m+l=0有两个相等的实数根，

2

A=0,即(m-2)-4xlx(m+1)=0,

整理，得n?-8m=0,

解得mi=0,m2=8.

故选D.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)的根的判别式△=b?-4ac：当△>0,

方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没有实数

根.

5.如图是同一时刻学校里一棵树和旗杆的影子，如果树高为3米，测得它的影子长为L2

米，旗杆的高度为5米，则它的影子长为()

能杆及离子树及身子

A.4米B.2米C.1.8米D.3.6米

【考点】相似三角形的应用；平行投影.

【分析】设旗杆的影长为x米，根据在同一时刻物高与影长成正比例得出比例式，即可得出

结果.

【解答】解：设旗杆的影长为x米，

根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同得：

x1.2

解得：x=2.

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是了解在同一时刻同一地点任何物体的高

与其影子长的比值相同.

6.如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB,AC,BC上的点，且DEIIBC,EFIIAB,

AD：DB=1：2,BC=30cm,则FC的长为()

【考点】平行线分线段成比例.

【分析】先由DEIIBC,EFIIAB得出四边形BDEF是平行四边形，那么BF=DE.再由AD：

DB=1：2,得出AD：AB=1：3.由DEIIBC,根据平行线分线段成比例定理得出DE：BC=AD：

AB=1：3,将BC=30cm代入求出DE的长，即可得FC的长.

【解答】解：DEIIBC,EFIIAB,

•四边形BDEF是平行四边形，

BF=DE.

•••AD：DB=1：2,

■.AD：AB=1：3.

•••DEIIBC,

DE：BC=AD：AB=1：3,即DE：30=1：3,

DE=10,

BF=10.

故FC的长为20cm.

故选B

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，比例的性质，难

度不大，得出BF=DE,从而利用转化思想是解题的关键.

7.如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图

Bc

叩-oH-rftiD-P|

【考点】简单组合体的三视图.

【专题】压轴题.

【分析】找到从左面看所得到的图形即可.

【解答】解：从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中

间.

故选C.

【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

8.已知点P(l,2)在反比例函数y-的图象上，过P作x轴的垂线，垂足为M,则AOPM

x

的面积为()

A.2B.4C.8D.1

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【分析】先根据待定系数法求得k的值，然后根据反比例函数k的几何意义即可得出:

【解答】解：1.点P(1,2)在反比例函数y=K的图象上,

X

k=1x2=2,

根据反比例函数k的几何意义可得：SAoPM=-1k=l.

故选D.

【点评】此题考查了反比例函数的几何意义，属于基础题，关键是掌握在反比例函数的图象

上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是£lkl,且

保持不变.

9.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,

Q,S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点

T,PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS=60m,ST=120m,QR=80m,

则河的宽度PQ为（）

A.40mB.60mC.120mD.180m

【考点】相似三角形的应用.

【专题】计算题.

【分析】先证明APQRs△PSR,利用相似比得到苴黑=黑，然后根据比例的性质求PQ.

rU+oU120

【解答】解：RQ±PS,TS±PS,

「•RQIITS,

「.△PQR~△PSR,

.PQ_QR即PQ_80

"PS-ST，PQ+60一诬'

PQ=120（m）.

故选C.

【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度

（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度.

10.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DEIIAC,且DE=5AC,连接CE、

2

OE,连接AE,交OD于点F.若AB=2,ZABC=60。，则AE的长为（）

C.V?D.272

【考点】菱形的性质.

【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出NCOD=90。,

证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB,再根据勾股定理得出AE的长

度即可.

【解答】解：在菱形ABCD中，OC.AC,AC±BD,

DE=OC,

,/DEIIAC,

.四边形OCED是平行四边形，

AC±BD,

平行四边形OCED是矩形，

•••在菱形ABCD中，ZABC=60°,

△ABC为等边三角形，

AD=AB=AC=2,OA=-AC=1,

2

在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD=7AD2-AO2=722-12=VS-

在RtAACE中，由勾股定理得：AETAC2+CE2T22+（盗）2='斤；

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边

三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键.

二.填空题

11.方程（x-2）2=9的解是5或-1.

【考点】解一元二次方程-直接开平方法.

【专题】计算题.

【分析】观察方程后发现，左边是一个完全平方式，右边是3的平方，即x-2=±3,解两个

一元一次方程即可.

【解答】解：开方得x-2=±3即：

当x-2=3时，xi=5；

当x-2=-3时，X2=-1.

故答案为：5或-1.

【点评】本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为"左平方，

右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解"来求解.

12.反比例函数y=*经过点（-2,1）,则一次函数y=x+k的图象经过点（-1,-3）.

X

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】先把点（-2,1）代入反比例函数丫=上求出k的值，进而得出一次函数的解析式,

X

把x=-1代入求出y的值即可.

【解答】解：•..反比例函数y=X经过点（-2,1）,

X

e-解得k=-2,

一次函数y=x+k的解析式为y=x-2,

...当x=-1时，y=-1-2=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定

适合此函数的解析式是解答此题的关键.

13.两位同学玩"石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是士.

一3一

【考点】列表法与树状图法.

【分析】画出树状图分析，找出可能出现的情况，再计算即可.

【解答】解：画树形图如下:

第一个人石头剪子布

第二个人石头剪子布石头雪子布石头剪子布

从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，两人手势相同有3种，两人手势相同的

概率='，

故答案为：之

【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE±BD,垂足为E,ED=3BE,

则NAOB的度数为60。.

----------------------------^D

【考点】矩形的性质.

【分析】由矩形的性质和已知条件证得AOAB是等边三角形，继而求得NAOB的度数.

【解答】解：四边形ABCD是矩形，

OB=OD,OA=OC,AC=BD,

/.OA=OB,

,/ED=3BE,

BE：OB=1：2,

,/AE±BD,

/.AB=OA,

/.OA=AB=OB,

即AOAB是等边三角形，

ZAOB=60°；

故答案为：60°.

【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质.熟练

掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键.

15.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点，AE=CF,连接EF、BF,EF

与对角线AC交于点O,且BE=BF,ZBEF=2ZBAC,FC=2,则AB的长为6.

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质.

【分析】先证明AAOEtACOF,RTABFO^RTABFC,再证明△OBC、△BEF是等边三

角形即可就问题.

【解答】解：如图，连接BO,

四边形ABCD是矩形，

DCIIAB,ZDCB=90°

ZFCO=ZEAO,

在△AOE和ACOF中，

rZA0E=ZF0C

-ZFC0=ZEA0，

AE=CF

△AOEV△COF,

OE=OF,OA=OC,

BF=BE,

BO±EF,ZBOF=90",

ZFEB=2ZCAB=ZCAB+ZAOE,

zEAO=ZEOA,

EA=EO=OF=FC=2,

在RTABFO和RTABFC中,

lFO=FC，

；.RTABFC在RTABFC,

BO=BC,

在口T"8(2中，.人0=0(2,

BO=AO=OC=BC,

&BOC是等边三角形,

ZBCO=60°,ZBAC=30°,

ZFEB=2ZCAB=60",：BE=BF,

A△BEF是等边三角形，

EB=EF=4,

AB=AE+EB=2+4=6.

故答案为6.

【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角

三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质就

问题，属于中考常考题型.

16.如图，正方形ABCD的边长为3,延长CB到点M,使BM=1,连接AM,过点B作

BN±AM,垂足为N,。是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为£近.

—5―

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

【分析】由条件可证得△ABN-△BNM-AABM,且可求得AM=6，利用对应线段的

比相等可求得AN和MN,进一步可得到空筌，且NCAM=NNAO,可证得

AMAC

△AON-△AMC,利用相似三角形的性质可求得ON.

【解答】解：：AB=3,BM=1,

••AM=。10,

「ZABM=90°,BN_LAM,

/.△ABN〜△BNM~△AMB,

/.AB2=ANXAM,BM2=MNXAM,

：AN二出MN4

1010

,/AB=3,CD=3,

-M

Ac

AO-3V22

AO革

颂AN诉

AO而二10'

AM

-，

一K且NCAM=ZNAO

△AON-△AMC,

.ON二AO二班

"MC^AM=10'

ON=-^^.

5

故答案为：殳后.

5

【点评】本题主要考查三角形相似的判定和性质，由相似得到线段的比相等再证明相似是本

题的关键.

三.解答题

17.解一元二次方程：x2-x-6=0.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：x2-x-6=0,

(x+2)(x-3)=0,

x+2=0,x-3=0,

xi=-2,X2=3.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此

题的关键.

18.直线y=x+b与反比例函数y=K(x>0)的图象交于点A(1,2),写出这两个函数的

x

表达式.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】根据直线y=x+b与反比例函数y=*(x>0)的图象交于点A(1,2),将点A的

x

横纵坐标分别代入两个函数解析式,可以求得k和b的值,从而可以写出两个函数的解析式,

本题得以解决.

【解答】解：1.点A(1,2)在反比例函数y=上的图象上，

X

解得k=2,

一9

即反比例函数的解析式为：y=-(x>0),

x

又;直线y=x+b过点A(1,2),

2=l+b,

解得b=l,

即一次函数的解析式为：y=x+l,

由上可得，反比例函数的解析式为y=?(x>0),一次函数的解析式为y=x+l.

x

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件.

19.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF,求证:

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】由正方形的性质得出AD=CD,ZEAD=ZBCD=ZFCD=90。，由SAS证明

AADE些ACDF,得出对应边相等即可.

【解答】证明：四边形ABCD是正方形，

AD=CD,ZEAD=ZBCD=90°,

ZFCD=90°,

在小ADE和小CDF中，

'AE=CF

-ZA=ZFCD=90°-

AD=CD

△ADE2△CDF(SAS),

DE=DF.

【点评】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质,

证明三角形全等是解决问题的突破口.

四.解答题

20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=1«+5(kxO)的图象与x、y轴交于点A(1,

0),B(0,-1)与反比例函数y=E在第一象限内的图象交于点C,点C的纵坐标为1.

x

(1)求一次函数的解析式；

(2)求点C的坐标及反比例函数的解析式.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】函数及其图象.

【分析】(1)根据一次函数y=kx+b(kxO)的图象与x、y轴交于点A(1,0),B(0,-

1),可以求得k、b的值，从而可以得到一次函数的解析式；

(2)根据一次函数y=x-1与反比例函数y上在第一象限内的图象交于点C,点C的纵坐

x

标为1,可以求得点C的坐标，进而可以求得m的值，从而可以得到反比例函数的解析式.

【解答】解：(1)•.・点A(1,0),B(0,-1)在一次函数y=kx+b的图象上，

(k+b=0

(b=-1,

解得［F1,

b=-1

即一次函数的解析式为y=x-1；

(2)•.•一次函数y=x-l与反比例函数y=E在第一象限内的图象交于点C,点C的纵坐标

X

为1,

将y=l代入y=x-1得，x=2,

•・•点C的坐标为(2,1),

1=彳,

解得m=2,

即点C的坐标是(2,1),反比例函数的解析式是尸Z

x

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件.

21.某班从3名男生和2名女生中随机抽出2人参加演讲比赛，求所抽取的两名学生中至少

有一名女生的概率.

【考点】列表法与树状图法.

【分析】设三名男生记为男1,男2,男3,2名女生记为女1,女2,依据题意先用列表法

或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率.

【解答】解：设三名男生记为男1,男2,男3,2名女生记为女1,女2,则从这5名同学

中随机抽取2名的所有情况为

男1

/男2男3

里1—男3

女1

t-女2

女2

/男2

男2

男2

更31男1

男3

男3

t-女1

男1

女2

男1

女2

所以从这5名同学中随机抽取2名，至少有一名女生的概率是=明=三.

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注

意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E是CD中点，连结OE.过

点C作CFIIBD交线段0E的延长线于点F,连结DF.求证：

(1)△ODE2△FCE；

(2)四边形ODFC是菱形.

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.

【专题】证明题.

【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等可得NODE=NFCE,根据线段中点的定义可得

CE=DE,然后利用"角边角"证明△ODE和小FCE全等；

(2)根据全等三角形对应边相等可得OD=FC,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行

四边形判断出四边形ODFC是平行四边形,根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD,

然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

【解答】证明：⑴・•・CFIIBD,

ZODE=ZFCE,

・•,E是CD中点，

CE=DE,

在小ODE和^FCE中，

fZ0DE=ZFCE

-CE=DE，

ZDE0=ZCEF

:&ODEVAFCE(ASA)；

(2)•••△ODE合△FCE,

OD=FC,

CFIIBD,

•四边形ODFC是平行四边形，

在矩形ABCD中，OC=OD,

四边形ODFC是菱形.

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平

行四边形和菱形的判定方法是解题的关键.

五.解答题

23.某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同

的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2