新教材人教A数学必修第一册课件3.4函数的应用（一）

第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)学习目标素养要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具数学建模2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律数学建模|自学导引|y＝kx＋b

常见的函数模型y＝ax2＋bx＋c

【预习自测】一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为(

)A．y＝20－x(0<x<10)B．y＝20－2x(0<x<20)C．y＝40－x(0<x<10)D．y＝40－2x(0<x<20)【答案】A【解析】由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，又20－x>x，所以0<x<10.故选A．(一)审题；(二)建模；(三)解模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：解决函数应用问题的步骤【答案】2500|课堂互动|

商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？题型1一次函数、二次函数模型素养点睛：考查数学运算和数学建模的核心素养解：(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)．因为0＝300k＋b，即b＝－300k，所以n＝k(x－300)．所以利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])．因为k<0，所以x＝200时，ymax＝－10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150.所以商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．一次函数、二次函数模型问题的两个注意点(1)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．1．加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，求最佳加工时间．题型2分段函数模型素养点睛：考查数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养．(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]递增，在t∈(5，10]递减，所以ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝1200(当t＝0或10时取得)．②当10<t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]递减，所以ymax＝1200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．由①②知ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．2．某市营业区内住宅电话通话费用为前3min0.20元，以后每分钟0.10元(前3min不足3min按3min计，以后不足1min按1min计)．(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6min内(包括6min)的话费y(元)关于通话时间t(min)的函数图象；(2)如果一次通话tmin(t>0)，写出话费y(元)关于通话时间t(min)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数)．解：(1)如下图所示．

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？素养点睛：考查数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养．题型3幂函数模型的应用

所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．幂型函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式．(2)利用函数关系式解决相关问题．(3)回归到应用问题中去，给出答案．3．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其流量R的函数解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量．|素养达成|1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化(体现了数学建模的核心素养)．4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．1．(题型1)一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是 (

)A．y＝2t B．y＝120tC．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)【答案】D【解析】90min＝1.5h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0)．【答案】D【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．4．(题型3)某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图①)，B产品的利润与投资额的