高考数学一轮复习 第八章 第2讲 平面的基本性质与异面直线配套限时规范训练 理 苏教版

第2讲平面的基本性质与异面直线分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．给出下列四个命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的序号为________．解析①④错误，②③正确．答案②③2．(·四川理)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________(填写序号)．①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l2；②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3；③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面．解析①若l1与l3还可能相交或成异面直线，故①错；②∵l2∥l3，∴l2、l3与l1成的角相等，又∵l1⊥l2，∴l1⊥l3，故②正确；由三棱柱和三棱锥可知③④错误．答案②3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1解析如图，用列举法可知符合要求的棱为：BC、CD、C1D1、BB1、AA1，共5条．答案54．(·南通调研)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则给出四个命题：①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面；上述命题中正确的是________(填序号)．解析对于①，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．对于②，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．对于③，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条．对于④，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．答案②5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论：①EF与CC1垂直；②EF与BD垂直；③EF与A1C1异面；④EF与AD1解析连结A1B，在△A1BC1中，EF∥A1C1，所以①，②，④正确，③错．答案③6．(·泰州调研一)设α、β、γ表示三个不同的平面，a、b、c表示三条不同的直线，结出下列五个命题：①若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；②若a∥α，b∥α，β∩α＝c，a⊂β，b⊂β，则a∥b；③若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α⊥β.其中正确命题的序号是________．解析①中α、β可能相交；③中缺少条件：b与c相交；④中可有反例：α和β相交．综上可知正确命题只有②.答案②二、解答题(每小题15分，共30分)7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱D1C1、B1C1的中点，求证：EF∥BD，且EF＝eq\f(1,2)BD.证明连接B1D1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD綉B1D1.在△C1D1B1中，∵E、F分别是D1C1与B1C1的中点，∴EF綉eq\f(1,2)B1D1，∴EF∥BD，且有EF＝eq\f(1,2)BD.8.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．证明∵M∈PQ，直线PQ⊂面PQR，M∈BC，直线BC⊂面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在面PQR与面BCD的交线l上．同理可证：N、K也在l上．∴M、N、K三点共线．分层训练B级创新能力提升1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB的延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分图形．同理延长PQ交CD的延长线于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案六边形2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点①A1、M、O三点共线；②M、O、A1、A四点共面；③A、O、C、M四点共面；④B、B1、O、M四点共面．其中正确结论的序号是________．解析因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A1C的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以①②③正确．答案①②③3．如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④4．(·广雅中学)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE＝D1F＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜λ≤\f(1,2)))，设EF与AB所成的角为α，与BC所成的角为β，则α＋β的最小值________．解析当EF∥BD时，α＝β＝45°，α＋β＝90°即为a＋β的最小值，故填90°.答案90°5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，证明∵C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1，∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．又∵M∈AC，∴M∈平面A1ACC1.∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．∵O为A1C与截面DBC1的交点，∴O∈平面A1ACC1且O∈平面DBC1，即O也是两平面的公共点，∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线．6．(·如东二模)如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E是AC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如图(2)．(1)求异面直线AB与DE所成的角；(2)若M、N分别为棱AC、BC上的动点，求△DMN周长的平方的最小值．解(1)如图，取BC的中点F，连结EF、DF，则AB∥EF，AB与DE所成的角即为EF与DE所成的角．∵AD＝BD＝2eq\r(2)，∠ADB＝90°，∴AB＝4.∴EF＝2.又∵DE＝DF＝2，∴异面直线AB与DE所成的角为60°.(2)如图是以C为顶点沿CD展开的侧面展开图，依题意即求DD1的长．∵∠AC