第03讲 利用等腰三角形的‘三线合一’作辅助线及构造等腰三角形（拓展提升）（解析版）

第03讲利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线及构造等腰三角形（拓展提升）思维导图1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一）1.过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形2.利用倍角关系构造新等腰三角形考点剖析考点一、等腰三角形中底边有中点时，连中线例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．【解析】（1）连接，∵，，点是的中点∴，且，平分，∴，，又∵∴∴∴（ASA）∴．（2），理由如下：连接，由（1）可知：，，∴在和中，∴（ASA），∴，∵，∴．【变式训练】1．如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为．

【答案】【解析】如图，连接，

∵在中，，，点F是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵为定值，∴要的面积最大，则的面积最小即可，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，则当最小时，的面积最小，当时，最小，此时，∴．故答案为：．2．在中，，，点为的中点．(1)若，两边分别交，于，两点．如图1，当点，分别在边和上时，求证：；(2)如图2，若，当点，分别在和的延长线上时，连接，若，则______;(3)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长．【解析】（1）证明：如图，连接，∵，，点为的中点，∴，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：如图，连接，∵，，点为的中点，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为：18．（3）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点，∵，，点为的中点，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴．考点二、等腰三角形中底边无中点时，作高线例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求证：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【解析】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【变式训练】1．如图，已知，点C在边上，，点D，E在边上，，若，求的长．

【解析】如图，作于，

，，，在中，，，，，．2．已知在中，，且=．作，使得．(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论．【解析】（1）中，，且=,

．（2）如图，过点作于E点，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如图，作于，于，∵与的面积相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如图，作于，作垂直于的延长线于．则．∵，，∴，∵与的面积相等，∴．∴≌．∴．，∴，综上，与相等或互补．考点三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形例题：如图：(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．【解析】（1）∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案为：；（2）如图2，延长交于点F，由（1）可知，，∴，∵，∴，故答案为：；（3），证明如下：如图3，延长、交于点F，则，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由问题情境可知，，∴；（4）如图4，延长交于E，由问题情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面积是．【变式训练】1．中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．

(1)如图1，若平分，，求的值；(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，连接，①求证：；②，，求的值．【解析】（1）如图，分别延长，交于点．

∵，∴，又∵，∴．在和中，∴．∴；∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴；（2），理由如下：如图所示，延长，交于点．

由（1）可得，，∴．∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴．∵．∴．（3）①如图所示，在上截取，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴；

②如图所示，过点C作于G，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∵，∴∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴．

考点四、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形例题：已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

(1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．(2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．(3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系．【解析】（1）∵，∴，，∵、的平分线相交于点，∴，，∴，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴等腰三角形有：，，，，，共个，与、的数量关系是：，故答案为：；．（2）与、的数量关系是：．理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．（3）与、间的数量关系是：．理由如下：∵，∴，，又∵，分别是与的角平分线，∴，，∴，，∴，，∴．【变式训练】1．在中，点，点在直线上，，过点作，交射线于点，过点作，交直线于点．(1)当是的角平分线，点在边延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，相交于点．）(2)当是的角平分线，点在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；(3)在（1）、（2）的条件下，若，则_____________．【解析】（1）证明：如图①，延长、相交于点G，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（2）如图②，设与相交于于点P，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；如图③，延长交于点H，∵是外角的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（3）如图①，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴,∴，∴；如图2，∵不成立，此种情况不存在；如图③，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：2或14考点五、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形例题：如图，在中，D为延长线上一点，且交于点F．

(1)求证：是等腰三角形；(2)在（1）的条件下（如图2），F为中点．求证：．【解析】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）过A作于G，∵，，∴，

又∵，，∴，又∵F为中点,∴，∵，∴，∴，∴．【变式训练】1．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由．（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．【解析】（1），理由如下：，，三角形为等边三角形，，点E为的中点，，，，，，，，；（2），理由如下：过点E作，交于点F，则，∠AFE=∠ACB，，为等边三角形，，，，为等边三角形，，，，，，在和中，，，，；（3）点E在延长线上时，作，同（2）可得为等边三角形，如图所示，同理可得，∵，，∴，，∵，则．考点六、利用倍角关系构造新等腰三角形例题：如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．

【解析】证明：方法一：（截长）在上截取，连接．

在和中，，，，，，，，；方法二：（补短）延长到点使得，连接．

在和中，，，，，，，；方法三：（补短）延长到点使得，连接，

，，，，，，，．【变式训练】1．在中，，(1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接．请证明；(2)①如图②，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当，为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【解析】（1）∵为的角平分线，∴，在和中，∵∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①猜想：．证明：如图，在上截取，连接，∵为的角平分线时，∴，∵，∴，∴，，∵，∴．∵，∴，∴，∴．②猜想：．证明：在的延长线上截取，连接．∵平分，∴．在与中，，，，∴．∴，．∴．又，，．∴．∴．∴．过关检测一、解答题1．如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，求的长．【解析】过点作于点，2．如图，点是内部一点，且，，连接．(1)求证：；(2)若，直接写出的面积．【解析】（1）证明：在和中，，∴，∴；（2）如图所示，延长交于D，∵，∴∵，∴，∵，即，∴．3．在中，点是边上的两点．

(1)如图1，若，．求证：；(2)如图2，若，，设，．①猜想与的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，，请直接写出的度数．【解析】（1）如图，过A作于F，∵，，∴，，∴，即；

（2）①猜想：，理由是：∵，，∴，∵，，∴，即，整理得：；②∵，∴，∵，∴．4．如图，已知中，，点D、E在直线上，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，过点D向下作，交的延长线于点F，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，若，求四边形的面积．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）如图2，过点A作，垂足为H，∵，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）如图3中，过点A作，垂足为H，过点B作，垂足为N，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．5．如图，在中，，P是线段上一个动点．(1)如图1，若平分，交于点F，求证：；(2)在（1）的条件下，若，求的长；(3)如图2，若，过直角顶点C作，并延长交于点E．为的角平分线，连接，当时，求的长．【解析】（1）证明：，，平分，，，；（2）设，则，，，，；（3）延长交于点M，平分，，，，又，，，，，，，，，．6．(1)【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．