高二数学几何学的发展省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第五章几何学发展

形认识

形是人类对生存空间形式直接认识

从无规则图形逐步制造出一些规则形体，形成抽象意义下几何图形。1/33图5.1由鱼形演化出不规则几何图形

从立体图形到平面图形图腾崇敬和宗教礼仪2/335.2测量与几何

在几何发展最早古代埃及，几何一词含有“土地测量”含义。在古希腊几何学传入中国之后，汉字用几何一词来称谓这门学科，而汉语中“几何”含有“多少”意思。3/335.2.1经验公式

古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积方法三角形面积用一数乘以另一数二分之一来表示圆面积计算公式是A=(8d/9)2，其中d是直径。这就等于取π为3.1605。四边形面积公式：（a+c）（b+d）/4（其中a、b、c、d依次表示边长）。高为h、底边长为a和b方棱锥平头截体体积公式：V=(1/3)h(a2+ab+b2)4/335.2.2求积方法

勾股术与图证[插入图5.5]

“析理以辞，解体用图”——

“弦图”

[插入图5.7]

大方=弦方+2矩形，（1）大方=勾方+股方+2矩形，（2）比较（1）与（2），得弦方=勾方+股方。阿基米德双重方法——用力学原剪发觉公式，再用穷竭法加以证实[插入图5.11]

如图5.11抛物线有内接三角形PQq，其中P与Qp中点V连线平行于抛物线轴。阿基米德从物理方法发觉：抛物线被Qp截得抛物线弓形面积，与三角形QPq面积之比是4：3。阿基米德进而使用穷竭法证实5/335.2.3多边形数[插入图5.12][插入图5.13][插入图5.14]

6/33最早演绎几何学《几何原本》（约公元前300年，古希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学理论体系——几何学。标志着人类科学研究公理化方法初步形成，

《几何原本》共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我们今天熟知平面几何和立体几何知识，其余各卷则是数论和（用几何方法论证）初等代数知识。全书证实了465个命题。7/335.3.1《原本》公理化体系《原本》公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，再按由简到繁次序编排出一系列定理(465个命题)。使整个几何知识形成了一个演绎体系8/33

公设：（1）从任一点到任一点作直线是可能。（2）把有限直线不停循直线延长是可能。（注意，这里所谓直线，相当于今天我们所说线段。）（3）以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能。（4）全部直角彼此相等。（5）若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧一点（现今称为平行公理）。9/33

公理：（1）跟一件东西相等一些东西，它们彼此也是相等。（2）等量加等量，总量仍相等。（3）等量减等量，余量仍相等。（4）彼此重合东西是相等。（5）整体大于部分。从当代公理化方法角度来分析，《原本》公理化体系存在着以下一些缺点。没有认识到公理化体系一定建立在一些原始概念上

《原本》公理集合是不完备，这就使得欧几里得在推导命题过程中，不自觉地使用了物理直观概念.不过建立在图形直观上几何推理必定是不可靠比如,每一个三角形都是等腰“证实”

[插入图5.18]10/335.3.2《原本》中几何方法《原本》在证实相关结论中使用了各种几何方法，如,叠正当,归谬法,代数式几何证法,等等。这些方法是人类早期研究图形性质数学方法，在当代基础教育中仍发挥着主动作用。举例以下：毕德哥拉斯定理，《原本》使用几何证法以下：如图5.19，先证实△ABD△FBC，推得矩形BL与正方形GB等积。同理推得矩形CL与正方形AK等积。11/335.4三大作图问题与《圆锥曲线》三个作图问题：倍立方，即求作一立方体边，使该立方体体积为给定立方体两倍；三等分角，即分一个给定任意角为三个相等部分；化圆为方，即作一正方形，使其与一给定圆面积相等。12/33直到19世纪，才证实了只用圆规和直尺来求解这三个作图题不可能性，然而对这三个问题深入探索引出大量发觉。其中包含圆锥曲线理论梅内克缪斯（约公元前4世纪）最先发觉了圆锥曲线：[插入图5.24]

阿波罗尼斯《圆锥曲线论》将圆锥曲线性质全部囊括其中圆锥曲线定义方法以下：[插入图5.25]13/335.5坐标几何与曲线方程思想17世纪法国数学家笛卡尔和费马创建。这两位数学家敏锐地看到欧氏几何方法不足，认识到利用代数方法来研究几何问题，是改变传统方法有效路径。并为此开始了各自研究工作，把代数方程和曲线、曲面研究联络在一起14/33笛卡尔工作

几何学》是笛卡尔哲学思想方法实践主要结果首先利用代数方法处理作图问题，指出，几何作图实质是对线段作加减乘除或平方根运算，所以它们都能够用代数术语表示。假定某几何问题归结为寻求一个未知长度x，经过代数运算知道x满足x=，

他画出x方法以下：如图5.27作直角三角形NLM，其中LM=b,NL=a/2,延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是OM长度。[插入图5.27]曲线与方程思想明确指出：几何曲线能够用唯一含x和y有限次代数方程来表示曲线15/33费马工作

费马关于曲线与方程思想，源于对阿波罗尼兹圆锥曲线研究。他使用了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线代数表述式。16/335.6罗巴切夫斯基几何学

在欧几里得几何学中第五公设（即平行公理）研究过程中，人们不自觉地将得到了许多第五公设等价命题。发觉了罗巴切夫斯基几何学17/335.6.1第五公设及其等价命题

等价命题普莱菲尔平行公理：过直线外一点只能作一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等于两个直角；每个三角形内角和都相同；经过一角内任一点能够作与此角两边相交截线；存在两个相同而不全等三角形；毕达哥拉斯定理；过不在一直线上三点可作一圆；圆内接正六边形一边等于此圆半径；四边形内角和等于四个直角；18/33一。个等价命题证实：假如任意三角形内角和都等于π，那么过线a外一点A只能引进一条直线与a不交。[证实]过A引a垂线AB，并过A引AB垂线b，则a与b必定不交。如图5.29。假如另有一条直线AC与a不交，记锐角∠BAC为－，在直线a上取点B1，使B1、C在AB同侧，且使∠AB1B=α＜。按假设，直角△ABB1内角和等于π，所以∠B1AB=－a＞∠CAB=－，（因为α＜）。于是，作得一个△ABB1,而直线AC经过其内部，所以AC必与底边BB1相交。这与AC与a不相交假设矛盾i\19/335.6.2非欧几何学先兆从反面证实第五公设，意大利耶稣会教士、数学家萨凯里（1667~1733）于1733年第一次发表了其极具特色结果。[插入图5.30]离开了求证第五公设目标，朝向创造非欧几何目标靠拢不过，他们没有认识到欧几里得几何并不是在经验可证实范围内描述物质空间性质唯一几何20/335.6.3奇异罗巴切夫斯基几何学

罗巴切夫斯基非欧几何平行公理：设a是任一直线，A是a外任一定点。在a与A所决定平面上，过点A而与a不相交直线，最少有两条罗巴切夫斯基非欧几何命题三角形内角和都是小于π，而且其和量因三角形而异，并非一个常量。同一直线垂线及斜线，并不总是相交。不存在相同而不全等两个三角形。假如两个三角形各内角对应相等，则它们必定是全等。存在着没有外接圆三角形。三角形三边中垂线并非必定交于一点。在平面上一条已知直线a同一侧，与已知线a有给定距离点轨迹是一曲线，它上面任意三点都不在一条直线上。在任一角内，最少存在这么一点，经过它不能做出一条同时与两边相交直线。圆内接正六边形边大于此圆半径21/335.7几何学统一性与现实性

5.7.1黎曼几何德国数学家年提出另一个非欧几何学——黎曼几何（黎曼。1854年）直接起源于微分几何研究黎曼几何平行公理，是假设过直线外一点不存在与已知直线平行直线。在黎曼几何中，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π22/335.7.2非欧几何学“现实性”

直到19世纪初，全部数学家都认为欧氏几何是物质空间和此空间内图形性质正确描述。而且“空间”也专指当初人们所唯一了解欧几里得空间罗巴切夫几何自诞生之日起，其命题合理性就不停引发人们怀疑。非欧几何早期发觉者们为了验证它合理性，曾作过一些实际测定。历史事实却残酷告诉我们，罗氏几何迟至今日也没能在物理空间找到应用，只有在逻辑范围内，利用公理化思想与方法找到它存在“合理性”黎曼几何在相对论中现实应用。爱因斯坦说：“我尤其强调刚才所讲这种几何学观点，因为要是没有它，我就不能建立相对论。”23/335.7.3爱尔兰根纲领

19世纪初，利用欧几里得综合方法，创造出与解析几何相媲美射影几何学爱尔兰根纲领（克莱因，1872年）：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变性质学问，或者说任何一个几何只是研究与特定变换群相关不变量。克莱因以射影几何为基础、对几何学做了以下分类：射影几何仿射几何单重椭圆几何双重椭圆几何双曲几何（黎曼几何）（罗巴切夫斯基几何）抛物几何其它仿射几何（欧几里得几何）24/33

利用不变性研究图形性质，为初等几何研究提供了新方法。

比如，因为在仿射交换下椭圆能够变成圆，对应地椭圆中心变为圆心，椭圆切线变为圆切线。我们不妨将原命题应用仿射变换转化为对应圆命题：设△ABC为圆内接三角形，以其顶点作切线组成了切线三角形A1B1C1。假如A1B1∥AB.B1C1∥BC。那么A1C1∥AC。一旦我们证实了这个相关圆命题，再利用仿射变换下“平行”为不变性，便可知原命题成立。25/335.8几何基础与公理化方法

5.8.1公理化方法非欧几何、非交换代数（如四元数）出现，使数学家注意到古希腊把公理看成自明真理不足。分析算术化研究不停深入，逐步形成了科学公理化方法。公理集合性质相容性，即由公理导出定理，没有哪两个是相互矛盾；完备性，即理论系统中定理都能够从公理导出独立性，即由公理导出定理中中没有一个是另一个逻辑结果。在任何一个公理系中，不加定义概念比如几何学中“点”和“线”，它们在物理领域中“意义”或关系，在数学上是非本质。它们被看成纯粹抽象东西，它们在演绎系统中性质，完全用公理形式加以界定26/335.8.2欧氏几何公理体系严密化

希尔伯特几何公理体系被划分为五组，用五组公理联结三种对象及其间三种关系（六个原始概念）。假如在这个公理体系中去掉第三种几何基本对象（“平面”）以及与它相关各条公理，余下来公理和五个原始概念就能够组成一个“平面几何公理系统”。希尔伯特公理集能够排除欧氏几何证实中直观成份。27/33比如，用公理IV给出下述命题证实：命题：联接圆内一点A与圆外一点B直线段与该圆周有一个公共点。图5.33圆内外两点连线必与圆相交证实实际上，令O为给定圆圆心，r为半径，C为从O到AB线段垂线。线段AB上点可被分为两类：对于一些点P，OP＜r，和对于一些点Q，OQ≥r。可证实：对每一个情况，CP＜CQ。依据戴德金公设，在AB上存在一个点R，使得：全部位于它之前点属于第一类，而且全部位于它之后点属于第二类。于是OR大于r，不然我们能在R和B之间选AB上点S，使得RS＜r－OR，不过，因为OS＜OR+RS，这意味着谬论：OS＜r。类似地，能证实：OR小于r。所以，我们必定有OR=r，于是定理得证。28/335.8.3公理集合相容性

形式公理体系相容性证实模型方法比如，平面几何公理系统解析模型罗巴切夫斯基几何学模型相对相容性处理方法选取一个，大家都相信它含有逻辑相容性领域（比如上面这个代数领域），用这里材料来确保陌生公理体系相容性。厐加莱不无挪揄指出：为了预防狼，牧羊人修起了栅栏，但却不知道羊圈里是否还有狼29/335.9学校中欧氏几何教育

中学欧氏几何教学目标，主要有两种类型：发展学生演绎推理能力，培养空间想象和空间推理能力30/335.9.1几何逻辑思维发展培养模式

平面几何课程体系就成为逻辑思维发展主要思维材料课程体系要适应几何思维发展需要在整合状态下实现概念、定理认知发展注意数学方法中介作用组织问题处理思维训练31/335.9.2空间观念培养策略

空间能力主要包含空间定向和空间想象能力前者是了解空间中对象相互位置关系，并能对其进行操作，比如能够在大楼里或街道之间顺利地行进。空间想象是指能够在二、三维空间条件下对想象物体运动，如反射、平移、旋转等操作对周围环境直接感知基础上观察、想象、比较、综合、抽象分析等众多思维方法，到达对空间与平面相互关系了解和把握。物化那些感知到、在直观水平上有所把握“转化”关系利用图形形象描述问题，利用直观进行思索。直观思索是没有经过严格演绎推理“形象化”推理，是结合情景进行思索重视现实世界中相关空间与图形问题32/33花の诸人，莫非她也有苦衷？她晓得此时の王爷备受打击和煎熬，她真想大声地告诉他：婉然姐姐不是见异思迁之人，姐姐与您是真心相爱、情投意合，姐姐这只是迫不得已……这壹侧の水清为咯婉然与王爷两各人操心费神、思前想后，另壹边の婉然在初见到水清の那壹刹那，一样先是为她能与王爷修成正果而高兴，继而又担心这么の结果，是否是出自于王爷の真心，还是水清被迫就范の结果？婉然の担心绝非是杞人忧天，因为她深深晓得，水清の眼光有多高，水清对心爱之人の要求又有多么高。即使王爷是婉然今生今世见过の最令她心动の男子，可是水清与他相处咯五年の时间都没能够相互倾心喜爱，才这么短短の三、四各月の时间里，他们两人の关系怎么可能取得如此实质性の进展？所以婉然也对水清の处境分外地担忧，她由衷地希望这是王爷是发自内心地真心喜欢水清の结果，而不是因为别の啥啊事情而让水清成为牺牲品。为水清和王爷两各人忧心忡忡の婉然是多么希望能从凝儿の口中晓得事情の真相，好让她真正地放下心来。可是宴客厅里不只她们姐妹两人，这里还有排字琦，淑清、惜月们，还有穆哲、塔娜、完琦们，这里根本就不是姐妹两人能够互诉衷肠の地方，她们纵有好些疑问、迷惑、不解，全都要统统地咽进肚子里，因为她们不想成为其它诸人们茶余饭后の谈资，更不想成为众人讥讽耻笑の话柄。即使她们各自の心中有着不一样の担忧、不一样の牵挂，不过有壹点却是共同の，那就是她们确实是真心实意地为对方の现实状况感到万分庆幸，继而长长地舒咯壹口气，不论原因怎样，对于当前の结果她们都壹厢情愿是认为：妹妹（姐姐）与王爷（二十三叔）是否真心相爱并不主要，最主要の是能够有咯身孕，未来再生各壹儿半女，下半辈子总算是有咯依靠，哪怕生の只是小格格，也总比壹各人凄凄苦苦地过壹辈子要好上不知千百倍。第壹卷第470章断念好不轻易，终于挨到咯晚膳即将结束の时刻，对于就要结束の这场各自心怀异胎の晚膳，众人の心中都是欢喜不已。反正也是话不投机半句多の亲戚，膳后就意味着告辞时间。福晋这壹晚上の心情都是欣喜异常，她の全部心思都集中在怎样巩固现有の结果上面：婉然有咯身子好，总算是彻底断咯爷の念想，未来还能太太平平地过日子，幸亏天仙妹妹今天参加咯宴席，也算是能够让婉然清醒地认清情势。于是万分庆幸の排字琦在这分别时刻，不失时机地主动走上前往拉着婉然の手，亲亲热热地说道：“小弟妹，刚才四嫂说の话，你可是要记得呢。以后再要是有咯身子啥啊の大喜事，可是要早点儿来报喜呢，这可不是四嫂揪着你の错处不放，而是四嫂们想早早地替你高兴呢。有咯身子好啊，早点儿给二十三叔生各小小格，这小两口の日子过得和和美美の，四嫂们看在眼里，喜在心窝子里！这吃食啊，走路啊啥啊の，可是得好好地惊着十二万分の心，万不可出咯半点儿差池。”“多谢四嫂，您の教诲，弟妹都醒得。其实，也都不碍事呢，弟妹の身子也没有那么娇气。”婉然只当排字琦那番话不过是客套而已，所以也很客气地回复咯她。不过排字琦の重点可不是在这里，这只是壹各开场白而已，她の好戏还在后头呢，岂能这么白白地就放过咯婉然？