圆与方程复习课讲义 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第02讲：圆与方程【知识回顾】知识点一：圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)知识点二：直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r知识点三：两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含【典题归纳】题型一：圆的标准方程1．若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆经过点，，可得线段的中点为，又，所以线段的中垂线的方程为，即，由，解得，即，圆的半径，所以圆的方程为.故选：A.2．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．【详解】因为过点与，所以线段AB的中点坐标为，，所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，又因为圆心在直线上，所以，解得，所以圆心为，所以圆的方程为.故选：A题型二：圆的一般方程3．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可.【详解】设所求圆方程为,因为，，三点都在圆上，所以，解得，即所求圆方程为：.故选：C.4．圆关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出所求圆的圆心坐标与半径，即可得出所求圆的标准方程.【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为，故所求圆的圆心坐标为，半径为，因此，所求圆的方程为.故选：A.题型三：点和圆的位置关系5．已知圆：的一条切线过点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二元二次方程表示圆、点在圆外，列不等式来求得的取值范围.【详解】方程表示圆，则，，解得或.由于圆的一条切线过点，所以，所以的取值范围是.故选：D6．若圆C：上存在到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圆心到定点距离，由题设有且，即可得求范围.【详解】由题意可得圆心，半径为，则到的距离，要使圆上存在到的距离为1的点，则，可得.故选：B题型四：圆的对称问题7．已知圆：与圆：交于、两点，则线段的垂直平分线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解.【详解】圆：的圆心坐标为，圆：的圆心为，由题得线段的垂直平分线就是两圆的连心线，所以,所以线段的垂直平分线为.所以线段的垂直平分线为.故选：C【点睛】方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解.8．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意分析得知：直线经过圆心，求出b；由直线与直线垂直，求出k；【详解】∵直线与圆的两个交点关于直线对称，∴直线经过圆心（-2,0）且直线与直线垂直，∴解得：故选：B【点睛】(1)坐标法是解析几何的基本方法；(2)解析几何归根结底还是几何，寻找合适的几何关系可以简化运算．9．若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先根据两圆的对称性，列式求，再利用直接法求圆心的轨迹方程.【详解】由条件可知的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是，，，圆心，，所以，解得：，即设，由条件可知，即，两边平方后，整理为.故选：D题型五：直线和圆的位置关系10．圆：与直线：的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定【答案】A【分析】由圆心到直线的距离等于半径可判断相切.【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，由得，圆心到直线的距离为：，故圆与直线相切，故选：A11．“”是“直线与圆相离”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据直线和圆相离求得参数a的取值范围，比较该范围和的关系，即可判断出答案.【详解】将配方，即，表示圆需满足，所以或，其圆心为，半径为，因为直线与圆相离，故圆心到直线的距离，解得，结合或可得或，（）则成立推不出直线与圆相离；反之成立，故“”是“直线与圆相离”的必要不充分条件，故选：B12．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直线的恒过点，再将曲线转化为，可知其图象为圆的一部分，结合图形，即可求出的取值范围.【详解】由题可知，直线可转化为，所以直线恒过点，又因为曲线可转化为，则其表示圆心为原点，半径为的圆的上半部分，当直线与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.设，则，由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，需要即故选：D题型六：圆的切线方程13．过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】确定点在圆上，即可求得圆心和该点连线的斜率，即得过该点的切线的斜率，由直线的点斜式方程可得答案.【详解】将点代入中，成立，即点在圆上，圆心和连线的斜率为，故过圆上点的切线的斜率为，则切线方程为，即，故选：C14．已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则的面积为（

）A． B． C．8 D．16【答案】A【分析】画出图形，求出的长，就能求出的长，根据求解.【详解】因为圆的圆心，半径为因为是圆的切线，所以，即是以为直角的直角三角形则又因为又因为所以所以故选：A15．已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两点间距离公式可得两圆心之间的距离，根据三点共线可知当共线且点在之间时，最小，由勾股定理即可求解.【详解】切线长，所以当取得最小值时，切线长取得最小值.当共线且点在之间时，最小，由于,所以min，所以.故选：.

题型七：弦长问题16．已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据垂径定理，分析出圆心和连线的直线垂直于直线时，所截得弦长最短.【详解】

由于，故点在圆内，化为标准方程：.如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是，根据垂径定理，，为使得最小，必须最大，显然，重合的时候取得等号，此时，由于，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：C17．已知圆，直线.若直线与圆相交所得的弦长为8，则（

）A．或2 B．或12 C．或12 D．或1【答案】C【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心与半径，再利用点线距离公式与弦长公式得到关于的方程，解之即可得解.【详解】由圆的方程，得圆的标准方程为，所以，解得或.圆心到直线的距离，又弦长为，即，整理得，解得或，均满足圆的条件.故选：C.18．直线截圆所得的弦长为（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.【详解】由已知，圆，则圆心坐标为，半径为，所以点到直线的距离为，所以，直线被圆截得的弦长为.故选：A.题型八：圆和圆的位置关系19．若圆与圆外切，则实数（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．4【答案】D【分析】由两圆的位置关系计算即可.【详解】由条件化简得，即两圆圆心为，设其半径分别为，，所以有.故选：D20．已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（

）A．2 B． C．8 D．【答案】A【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出并验证即得.【详解】把圆与圆的方程相减得：，即为圆与圆的公共弦所在直线方程，由直线与直线垂直，得，解得，当时，圆：，即的圆心，半径，而圆：的圆心，半径，于是，则圆与圆相交，符合题意，所以的值为2.故选：A21．已知圆与圆相外切，，为正实数，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】由题意结合圆与圆相切的性质得，转化条件得，利用基本不等式即可得解.【详解】由题意圆的圆心，半径，圆的圆心，，，，当且仅当时等号成立.故选：B.题型九：圆的公共弦长22．已知圆与圆交于两点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据两圆相交求出公共弦所在直线方程，再根据弦长公式求解即可.【详解】由题意知，圆与圆相交，且公共弦所在直线方程为.又圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，由弦长公式得.故选：B.23．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（

）A．3 B．4 C．6 D．【答案】A【分析】求得，由此求得四边形的面积.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，所以，由、两式相减并化简得，即直线的方程为，到直线的距离为，所以，所以四边形的面积为.故选：A题型十：圆的公切线问题24．已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【详解】联立和,得，由题得两圆公共弦长，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，平方后整理得,，所以或（舍去）；故选：A.25．圆与的公共弦长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.【详解】已知圆，圆，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，而圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以，所以.故选：D.26．已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程.【详解】圆：的圆心，圆：可化为，，则其圆心为，半径为，因为圆与圆相内切，所以，即，故.由，可得，即与的公切线方程为.故选：D题型十一：圆的综合问题27．已知圆.(1)若过点向圆作切线，求切线的方程；(2)若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，求的最大值.【答案】(1)或(2)8【分析】（1）分类讨论，当切线的斜率不存在，易求的方程为；当切线的斜率存在时，设出直线方程，然后利用点到直线距离等于半径建立方程求解即可；（2）根据圆的性质，利用三点共线的性质求解即可.【详解】（1）若切线的斜率不存在，则的方程为；若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为3，即，解得，所以切线的方程为，即.综上，切线的方程为或.（2）因为，所以．设关于直线对称的点为，则，解得，即.因为，所以.因为，当且仅当三点共线时，等号成立，所以，故的最大值为.28．在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上.(1)求