指数式,对数式比较大小试题的三种常见题型讲义- 高三数学二轮专题复习

指数式,对数式比较大小试题的三种常见题型比较大小试题经常出现在高三年的综合卷以及高考试题当中.此类试题不仅能够综合考查指数,对数,幂函数的运算性质,图像,单调性等,还能够与导数,不等式相结合.试题虽然简短却内涵丰富,集指,对,幂,不等式等众多的知识点于一体,体现了在知识交汇处命题的原则,较好地考查学生的数学核心素养.类型一:直接借助指数,对数,幂函数的性质比较大小此类题型主要考查考查指数,对数,幂函数的运算性质,要求考生能够借助指数函数(或者幂函数),对数函数的单调性,图像分析问题,并且综合运用不等式的相关知识进行求解,对考生的计算求解能力,推理论证能力提出了较高的要求.例1:若,,则()B.C.D.图(1)图(2)图(3)解析:(1)比较和对于和,观察到它们底数不同,指数相同,因而可以采用两种方法来进行比较.方法1:构造幂函数.令,由可知该函数在单调递增.因为故.方法2:构造两个指数函数.令和,因为,故如图(1)所示.由得.综合上述分析可知,,故A答案错误.(2)比较和观察到这两个对数式底数不同,真数相同,因此构造两个对数函数进行比较.令和,因为,故如图(2)所示.由得.因此,,故D答案错误.(3)比较和,由,,结合图(1)可知.故,则.因此.故B答案错误.(4)比较和,.转化为比较与的大小.由于,,故.结合图(3)可知,,即.故C答案正确.例2:设为正数,且,则B.C.D.解析:思路1:作差法令,由于为正数,所以.则有,,,因此,,.由于,故.由于,故.综上,有.思路2:作商法令,由于为正数,所以.则有,,,因此,,.由于,故.由于,故.综上,有.例3:设,,则B.C.D.解析:根据对数的性质可知,,故..由于,,,因此,即,即.因此选D.例4:已知,,,则A.B.C.D.解析:根据对数的性质可知,.又,即,因此有.类型二:指数式对数式以自变量的形式出现在此类试题中,指数式,对数式是以自变量的形式出现.题目会给出一个函数(可能是具体函数也可能是抽象函数),需要先考察该函数的单调性,然后比较自变量的大小,进而结合单调性求解.例5:已知奇函数在上是增函数,.若,,,则的大小关系是B.C.D.解析:由于奇函数在上是增函数,所以当时,.显然为偶函数,.由于,故当时,,在上是增函数.因为,,结合在上的单调性可知.例6.已知函数,若,则A.B.C.D.解析:由于,因此,所以的图像关于直线对称且在上单调递增.由图(4)可知,.因此.图(4)例7.设函数满足,且是上的增函数,则,,的大小关系是A.B.C.D.解析:由已知有函数的对称轴为,在上单调递增,在上单调递减.由于,结合的单调性可知.例8.已知偶函数在上单调递增,则A.B.C.D.解析:易知A,B答案错误.由于,即,,即.故,结合在上单调递增,有,C答案正确.由于,,故,结合在上单调递减,有,D答案错误.类型三:自行构造函数此类试题,题目不会直接告知相关的函数,需要根据题目给出的指数式,对数式的结构特征灵活构造出恰当的函数,进而考查该函数的单调性,结合单调性求解.例9.下列命题为真命题的是(1).(2).(3).(2).解析:构造函数,,令得.易知在单调递增,在上单调递减,且最大值为,如图(5)所示.图(5)(1)由得,即.所以(1)对(2)由得,即.所以(2)错(3)由得,即.所以(3)对(4)由得,即.所以(4)对例10:找出,,,,,中的最小者和最大者.解析:根据指数函数的单调性有,,.构造函数,,令得.易知在单调递增,在上单调递减.如图(6)所示.由得.由得;由得;因此有,.故最小值应该在与中产生,最大值应该在与中产生.根据幂函数的单调性有,.故最小值为,最大值为.图(6)例11:同例2设为正数,且,则()A.B.C.D.解析:令,由于为正数,所以.则有,,,因此,,.构造函数,且.,令得.显然在和上单调递减,在上单调递增.如图(7)所示.图(7)由于,所以,即,又,因此有.例12.已知定义在上的函数满足:函数的图像关于直线对称,且当时,成立.若,,,则B.C.D.解析:由已知有为偶函数.令,则为奇函数且在上单调递减.显然,,.由于,故,因此有.不难看出,与指数式,对数式相关的比较大小试题,集指数函数,对数函数,幂函数,导数,不等式等众多知