广西柳州市2023届新高三摸底考试数学（理）试题含答案

柳州市2023届新高三摸底考试理科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（）A. B. C. D.3.已知向量，的夹角为，且，，则（）A.－1 B. C.－2 D.14.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2 B. C. D.5.若，则（）A. B. C. D.6若，则（）A.－ B. C. D.7.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.2 B.－3 C.－2 D.08.已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（）A. B. C. D.9.今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A44种 B.48种 C.60种 D.50种10.若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（）A.9 B.7 C.11 D.311.已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A. B. C. D.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.已知直线是曲线的一条切线，则b＝___．14.展开式中的系数为___（用数字作答）．15.已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．16.在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面积．18.已知数列{}满足，．（1）证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；（2）求数列的前n项和．19.年北京冬奥会的申办成功与“亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计（2）先从样本对冰球有兴趣学生中按分层抽样的方法取出名学生，再从这人中随机抽取人，记抽取的人中有名男生，求的分布列和期望．20.如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值．21已知函数．（1）讨论当时，f(x)单调性．（2）证明：．22.已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．柳州市2023届新高三摸底考试理科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合，再利用交集运算求解.【详解】因为，所以，即，所以.故选：B.2.设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.【详解】因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，因此，.故选：D.3.已知向量，夹角为，且，，则（）A－1 B. C.－2 D.1【答案】A【解析】【分析】根据数量积的运算求解即可【详解】故选：A4.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小.【详解】因为，所以；因为，所以，，，而，所以，即.故选：A.6.若，则（）A.－ B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的关系求解即可【详解】由题意，，故故选：B7.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.2 B.－3 C.－2 D.0【答案】C【解析】【分析】作出平面区域，结合图像求直线在轴截距的最小值，通过平移直线可得在在点处取到最小值，代入运算求解．【详解】根据题意可得平面区域，如图所示：∵目标函数，即，则求直线在轴截距的最小值结合图像可得在点处取到最小值故选：C．8.已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案.【详解】圆的圆心，所以圆心到直线的距离为，则，而，所以，解得：.故选：B.9.今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A.44种 B.48种 C.60种 D.50种【答案】A【解析】分析】由分步乘法计数原理，利用间接法即可求解.【详解】解：由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有种方案；若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有种方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱做实验，则有种方案.所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则共有不同的安排方案.故选：A.10.若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（）A.9 B.7 C.11 D.3【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出的关系式，再求出函数含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，由得，则函数在上单调递增，而函数在区间上不单调，则，解得，所以的最小值为11.故选：C11.已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函数的图像，设，从而可化条件为方程有两个根，利用数形结合可得，，根据韦达定理即可求出实数a的取值范围.【详解】由题意，作出函数的图像如下，由图像可得，关于的方程有且仅有6个不同的实数根，设，有两个根，不妨设为；且，又故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.已知直线是曲线的一条切线，则b＝___．【答案】2【解析】【分析】求导，令导数值等于1，求得切点坐标，代入切线方程即可得解.【详解】解：函数的定义域为，，令，则，所以切点为，代入，得，所以.故答案为：2.14.展开式中的系数为___（用数字作答）．【答案】【解析】【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】因为的展开式通项为，，在中，，在中，令，可得，所以，展开式中的系数为.故答案为：.15.已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．【答案】9【解析】【分析】根据椭圆定义，整理代换可得，结合图形可得，运算求值．【详解】根据题意可得：则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点∴，即∵，即点A在椭圆内，当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.故答案为：9．16.在正方体中，点E为线段上动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．【答案】①③【解析】【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过到的距离来计算到的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．【详解】易证平面，平面，所以恒有，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题．因为，由线面平行的判定定理可得平面，故点E到平面的距离d为定值，则为定值，所以③是真命题．平面，在上变化，例如点E在处和在的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．故答案为：①③三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；（2）由余弦定理与面积公式求解即可【小问1详解】由已知及正弦定理知：．因为C为锐角，则，所以．因为A为锐角，则【小问2详解】由余弦定理，．则，即即，因为，则所以△ABC的面积．18.已知数列{}满足，．（1）证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合等比数列定义可证，可得是首项为2，公比为2的等比数列，利用等比数列通项公式代入运算；（2）因为，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式整理运算．【小问1详解】由题意可得：∵所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即因此{}的通项公式为【小问2详解】由（1）知，令则所以．．综上．19.年北京冬奥会的申办成功与“亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计（2）先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出名学生，再从这人中随机抽取人，记抽取的人中有名男生，求的分布列和期望．【答案】（1）填表见解析，有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”（2）分布列见解析，期望为【解析】【分析】（1）根据题中信息完善列联表，计算的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可计算得出的值.【小问1详解】解：（1）由题意可知，样本中女生人数为，样本中，对冰球运动有兴趣的女生人数为，根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没兴趣合计男女合计根据列联表中的数据，得到，，所以，有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”【小问2详解】解：由题意得，按分层抽样方法抽取出来的人中，有个男生对冰球感兴趣，有个女生对冰球感兴趣，则的可能取值为、、，，，，所以的分布列如下表所示：所以，的期望为．20.如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明：连接OB．法一：通过证明，得到，即可证明PO⊥平面ABC；法二：通过勾股定理证明到，又因为即可证明PO⊥平面ABC；（2）由（1）知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，则∠PMO为PM与面ABC所成角，可得出，M为BC的中点．法一：作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作交PA于F，连MF，∠MFE即为二面角的平面角，求出，代入求出的值，即可求出的值.法二:分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，分别求出面AMP和面APC的法向量，由二面角的公式即可求出答案.【小问1详解】证明：连接OB．法一：∵，∴，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴又∵，∴∴．∴，OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC．法二：连接，，O为AC的中点∴因为∴∴，∴∴，OB、AC平面ABC．∴PO⊥平面ABC．【小问2详解】由（1）知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与面ABC所成角，∴，∴，在△OMC中由正弦定理可得，∴M为BC的中点．法一：作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作交PA于F，连MF∴MF⊥PA∴∠MFE即为所求二面角的平面角，∴∴法二：分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系M（，，0）．记为面AMP的法向量则．面APC的法向量．易知所成角为锐角记为21.已知函数．（1）讨论当时，f(x)单调性．（