重庆市2020年高二数学上学期期中考试卷（四）

重庆市2020年高二数学上学期期中考试卷（四）

（理科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1.已知倾斜角为0的直线，与直线x-3y+l=0垂直，则tan6=

（）

1_1

A.3B.3C.-3D.~3

2.已知双曲线C：/-铲=1（a>0,b>0）的两个焦点为

（）（）为双曲线的右支上一点，且满

Fi-5,0,F25,0,PC

足|PFi|-|PF21=2'石，则双曲线C的方程为（）

x2y2x2y2

A.V-20=1B.20--=1

x2y2x2y2

C.25-20=1D.20-25=1

3.“a+b=2〃是“直线x+y=0与圆（x-a）2+（y-b）2=2相切〃

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.圆0：x2+y2-2x-7=0与直线I：（入+1）x-y+1-入=0（入

6R）的位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.不确定

22

5.已知F是椭圆孑+看=1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点,

bZ

P是椭圆上一点，且PF，x轴，若|PF|[|AF|,则该椭圆的

离心率是()

A.；B.擀C.,D.噂

4422

6.已知命题p："Vx£[0,1],a22x〃，命题p：勺xGR,

x2+4x+a=0",若命题"pAq〃是真命题，则实数a的取值范围

是()

A.[1,4]B.[2,4]C.[2,+8)D.[4,+O0)

7.某几何体的主视图和左视图如图(1),它的俯视图的直

观图是矩形OiAiB1cl如图(2),其中0次1=6,OiCi=2,则该

几何体的侧面积为()

A.48B.64C.96D.128

8.以原点。引圆(x-m)2+(y-2)2=m2+l的切线y=kx,

当m变化时切点P的轨迹方程是()

A.x2+y2=3B.(x-1)2+y2=3C.(x-1)2+(y-1)2=3

D.x2+y2=2

9.直线I交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆的上顶点为

B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线I

的方程是()

A.5x+6y-28=0B.5x-6y-28=0C.6x+5y-28=0D.6x

-5y-28=0

10.已知函数f(x)=(ex+l)(ax+2a-2),若存在x£(0,

+8),使得不等式f(x)-2VO成立，则实数a的取值范围

是()

A.(0,1)B.(0,4)C.(-8,1)D.(-8,1)

双曲线的左、右顶点分别为、为其

11.x2-y2=2016AiA2,P

右支上一点，且不在轴上，若PAN，则

PxZAIPA2=4ZZPAIA2

等于()

A.yz-B.叁C."^D.无法确定

izJbio

12.已知％,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一

个公共点.且NF1PF2=2,则椭圆和双曲线的离心率的倒数

之和的最大值为()

A警B.挈C.3D.2

33

二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分

两条平行直线和的距离

13.li：x+2y+5=0l2：4x+8y+15=0

为—.

14.一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知

这个球的体积为36兀，那么该三棱柱的体积是.

15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大

的侧面的面积为

16.如图所示，过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F作直

线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线I作垂线，垂

足为足足已知四边形AABF与BB'A'F的面积分别为15

和7,则AABF的面积为

三、解答题(本大题6个小题，共70分.)

17.在直角坐标系xOy中，以坐标原点0为圆心的圆与直线:

x-V5y=4相切.

(1)求圆0的方程；

(2)若圆。上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且肺|=2加,

求直线MN的方程.

18.(I)命题-XoER,xo2-3axo+9<0”为假命题，求实数a

的取值范围；

(II)若“x2+2x-8<0〃是"x-m>0〃的充分不必要条件，求

实数m的取值范围.

19.已知双曲线c：4-4=i的离心率是挈，其一条准线

a2b23

方程为X=1.

(I)求双曲线C的方程；

(II)设双曲线C的左右焦点分别为A,B,点D为该双曲

线右支上一点，直线AD与其左支交于点E,若踊=入而，求实

数人的取值范围.

20.如图，曲线ci：y2=2px(p>0)与曲线C2：(x-6)2+y2=36

只有三个公共点0,M,N,其中。为坐标原点，且赢•黄().

(1)求曲线C］的方程；

(2)过定点M(3,2)的直线I与曲线ci交于A,B两点，

若点M是线段AB的中点，求线段AB的长.

21.已知A、B、C是椭圆M：4+营=1（a>b>0）上的三

点，其中点A的坐标为（26，o）,BC过椭圆M的中心，且

AC-BC=0,|BC|=2|AC|.

（1）求椭圆M的方程；

（2）过点（0,t）的直线I（斜率存在时）与椭圆M交于两

点P、Q,设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且回|二|福|,

求实数t的取值范围.

22

22.已知椭圆C：\（a>b>0）的左、右焦点分别为

ab

Fi，F2,且FI，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三

角形，点P（冬冬在椭圆C上.

（I）求椭圆c的标准方程；

（II）过F2作互相垂直的两直线AB,CD分别交椭圆于点A,

B,C,D,且M,N分别是弦AB,CD的中点，求△MNF2面

积的最大值.

参考答案

一、单项选择题

1.C.2.A.3.A4.B.5.B.6.B.7.C.8.A

9.D

10.D.11.A.12.A

二、填空题

13.解：条平行直线li：x+2y+5=0和h：4x+8y+15=0,即直

线和

h：4x+8y+20=0l2：4x+8y+15=0

故它们之间的距离为d=%^=乎，

V16+b44

故答案为：哼.

3

14.解：设球的半径为r,则吗_=36n,解得r=3.

•・•球与正三棱柱的三个侧面相切，

・••球的大圆为棱柱底面等边三角形的内切圆，

・•・棱柱底面正三角形的边长为2V3r=6V3.

•・•球与棱柱的两底面相切，

，棱柱的高为2r=6.

三棱柱的体积Y吟x（班）2x6=16273.

故答案为162正.

15.解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示,

平面AED_L平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形

BCDE是边长为1的正方形，

则SAAED^X1X1=-1-,

SAABC=SAABE=yX1X近=乎，

SAACD=yX1X巡

故答案为：坐

16.解：设^ABF的面积为S,直线AB：x=my+1,代入抛

物线方程，消元可得y2-2pmy-p2=0

yi)(X2，2)，12=

设A(xi，B丫则丫丫-P?,yi+y2=2pm

1112

SAAA'F^।.I*IYiI=-2IXi+^-1lyihy(各号)lyil

SABB,F=-1-IBB'IXIV2|=-1-1X2+5IIy2I(券+号)Ml

121222224

/.1(ZL+f)X|(Z1+1)y=^(V—+—)=V(m2+1)

22P4Y122p2242444

SAA-BT=-1-IV1-V2I=p27m2+l=S

四边形AABF与BBWF的面积分别为15和7

(m2+l)=(15-S)(7-S)

4

.』2=(15-S)(7-S)

4

.,,4S2-225+105=0

4

.*.S=6

故答案为：6

三、解答题

17.(1)依题设，圆0的半径r等于原点0到直线x-6y=4的

距离，

即「扁=2....

得圆0的方程为x2+y2=4....

(2)由题意，可设直线MN的方程为2x-y+m=0.…

则圆心0到直线MN的距离

由垂径分弦定理得：*+(6)2=22,即乐士遍.…

所以直线MN的方程为：2x-y+a=t^2x-y-a=0.3

18.解：(I)：3x0ER,x02-3axo+9Vo为假命题，等价于

VxGR,x2-3ax+920为真命题，

.,.△=9a2-4X9^0=>-2WaW2,

，实数a的取值范围是-2WaW2；

(n)由X2+2X-8<0=>-4<x<2,

另由x-m>0,

即x>m,

z/x2+2x-8<0〃是%-m>0〃的充分不必要条件，

.'mW-4.

故m的取值范围是mW-4.

19.解：(I)由题意可得，:"

a_3

••3—^/3?c=2,b=19

••・双曲线的方程为4-yJl

o

(II)由(I)知A(-2,0),设D(xo,yo),E(xi,yi)

则由标=入而，

TTT徂Xx0_2、,一入y。

口"寸vyi-衍，

TE在双曲线上

(2^2)2_(翟)2=1

(-2+入xO)2-3(入y0)2=3(1+入)2

TD在双曲线

・••可得xo=m^>«，

4人

.•.入邛-6

32

•・・D在双曲线的左支，点D在右支

.•・0>人或与-《

32

20.解：(1)由对称性知MNJ_x轴于点(6,0),且|MN|=12

所以M(6,6),...

所以62=2pX6

所以p=3...

所以曲线为y2=6x...

（2）设A（xi,yi）,B（X2,V2）

因为（3,2）是AB中点

所以XI+X2=6,yi+y2=4...

则由点差法得k=”为号…

x2X12

所以直线I：3x-2y-5=0

r2_

2-

由，厂%c.^y4y-10=0

V3x-2y-5=0

所以由韦达定理］…

10

yiy2--

所以IAB|（1总）（16+40）=3^^...

21.解：（1）•・•点A的坐标为（2V3.0,）

•**a=26，椭圆方程为夫+：2=1①

又•・•I箴|=2|正|.，且BC过椭圆M的中心O（0,0）,

|0C1=1ACI-

又二正•前=0，

AAOC是以NC为直角的等腰三角形,

易得c点坐标为(M,V3)

将(M,V3)代入①式得b2=4

22

，椭圆M的方程为金+宁=i

(2)当直线I的斜率k=0,直线I的方程为y=t

则满足题意的t的取值范围为-2<t<2

当直线I的斜率kWO时，设直线I的方程为y=kx+t

y=kx+t

x2y2

由[l2+T=1

得(3k2+l)x2+6ktx+3t2-12=0

•・•直线I与椭圆M交于两点P、Q,

，△=(6kt)2-4(3k2+l)(3t2-12)>0

即t2〈4+12l<2②

设P(X1，VI)，Q(X2，丫2)，X1+X2=_:2,X1X2=——3,

l+3k‘i+3kz

PQ中点H(xo，yo),

则H的横坐标*0「!；二-手,

23k?+l

纵坐标y(j=kxo+t=；,

3k+1

D点的坐标为(0,-2)

由际1=1而I，

得DH_LPQ,kDH-kpQ=-1,

—7—+2

即0%•・k=7,

3k2+1

即t=l+3k2.③

k2>0,At>l.④

由②③得0VtV4,

结合④得到l<t<4.

综上所述，-2VtV4.

22.解：(I),・•椭圆(a>b>0)经过点P(景手),

且Fi，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，

b=c

222

.Ia=b?，解得a2=2,b2=l,

12a24b2

・•・椭圆方程为看+y2=l；

(II)设直线AB的方程为x=my+l,m70,

则直线CD的方程为x=-^^+l,

ID

x=iny+l

联立X?，消去x得(m2+2)y2+2my-1=0,

tr+y2=1

2m—]

设A(xi,yi),B(X2,y2),则yi+y2=-F7，yiy2=-27r,

m+/m+Z

Xi+X2=(myi+1)+(my2+l)

4

=m(yi+y)+2=-2-

2m+z

由中点坐标公式得M(仔丁-谭7),

m+Zin+z

将M的坐标中的m用-工代换，得CD的中点N

m

/21rl2m\

\595/，

2n/+l2m'+l

._31n

kMN=2(m2-D，

直线MN的方程为y+奇=彳矢77(x--T-),

m+22(mDm+2

即为y=*6x-D,

令,x-l=0,可得x="1,即有y=0,

4J

则直线MN过定点H,且为H