人教A版数学选修2－1练习第三章空间向量与立体几何学业质量标准检测3

第三章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是eq\x(导学号9662738)(D)A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a、b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量[解析]只有当a、b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是eq\x(导学号9662738)(D)A．1 B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,5)[解析]因为ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0⇒k＝eq\f(7,5)．3．若a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，〈a，b〉＝eq\f(π,3)，则z等于eq\x(导学号9662738)(C)A．eq\r(22) B．－eq\r(22)C．±eq\r(22) D．±eq\r(42)[解析]cos〈a，b〉＝coseq\f(π,3)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×1＋2×3＋0×z,\r(22＋22＋02)×\r(12＋32＋z2))＝eq\f(1,2)，∴z＝±eq\r(22)．4．下列各组向量平行的是eq\x(导学号9662738)(A)A．a＝(1,1，－2)，b＝(－3，－3,6)B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－2,1)D．a＝(1,0,0)，b＝(0,0,1)[解析]对A，a＝－3b，∴A正确；对B、C、D，不存在λ，使a＝λb，∴a、b不共线，B、C、D不正确．故选A．5．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为eq\x(导学号9662738)(B)A．30° B．60°C．45° D．90°[解析]由题意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，cos〈Aeq\o(B,\s\up6(→))，Aeq\o(C,\s\up6(→))〉＝eq\f(A\o(B,\s\up6(→))·A\o(C,\s\up6(→)),|A\o(B,\s\up6(→))||A\o(C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，所以Aeq\o(B,\s\up6(→))与Aeq\o(C,\s\up6(→))的夹角为60°．6．(2017·安徽合肥高二检测)已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,1,2)，点A不在α内，则直线AB与平面α的位置关系为eq\x(导学号9662738)(D)A．AB⊥α B．AB⊂αC．AB与α相交不垂直 D．AB∥α[解析]∵n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2,4)·(－3,1,2)＝－6－2＋8＝0，∴n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，而点A不在α内，故AB∥α．7．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E、F分别是AD、DC的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\x(导学号9662738)(B)A．1 B．－1C．eq\r(3) D．－eq\r(3)[解析]如图所示，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·Beq\o(A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(C,\s\up6(→))·(－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)×2×2cos60°＝－1，故选B．8．(2017·安徽亳州市涡阳四中高二期末)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为eq\x(导学号9662738)(A)A．eq\f(\r(6),4) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),6) D．eq\f(\r(2),3)[解析]如图所示：∵B1B⊥平面ABCD，∴∠BCB1是B1C与底面所成角，∴∠BCB1＝60°．∵C1C⊥底面ABCD，∴∠CDC1是C1D与底面所成的角，∴∠CDC1＝45°．连接A1D，A1C1，则A1D∥B1C．∴∠A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角．不妨设BC＝1，则CB1＝DA1＝2，BB1＝CC1＝eq\r(3)＝CD，∴C1D＝eq\r(6)，A1C1＝2．在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝eq\f(\f(1,2)C1D,A1D)＝eq\f(\r(6),4)．故选A．9．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为eq\x(导学号9662738)(A)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))[解析]连AG1交BC于E，则E为BC中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(AG1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，∵eq\o(OG,\s\up6(→))＝3eq\o(GG1,\s\up6(→))＝3(eq\o(OG1,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→)))，∴OG＝eq\f(3,4)OG1，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))，故选A．10．已知A(－1,1,2)、B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，设C(λ，eq\f(1,3)＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为eq\x(导学号9662738)(B)A．eq\f(11,6) B．－eq\f(11,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)[解析]设D(x，y，z)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋1，y－1，z－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－3)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1－x，－y，－1－z)，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝21－x,y－1＝－2y,z－2＝－2－2z))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3),y＝\f(1,3),z＝0))．∴D(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)－λ，－λ，－1－λ)，∵eq\o(CD,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\f(1,3)－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－eq\f(11,6)．11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为eq\x(导学号9662738)(C)A．1 B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(\r(6),2) D．eq\f(3,2)[解析]以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，eq\r(2))、F(2,1，eq\f(\r(2),2))，所以|EF|＝eq\r(1－22＋1－12＋\r(2)－\f(\r(2),2)2)＝eq\f(\r(6),2)，故选C．12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为eq\x(导学号9662738)(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)[解析]如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)、E(1,1,0)、A(1,0,0)、C(0,2,0)．从而eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(1,1，－1)、eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,0)、eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0,n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋2b＝0,－a＋c＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2b,a＝c)).令a＝2，则n＝(2,1,2)．所以点E到平面ACD1的距离为h＝eq\f(|\o(D1E,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2＋1－2,3)＝eq\f(1,3)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知a＝(2,1,3)，b＝(－4,5，x)，若a⊥b，则x＝__1__.eq\x(导学号9662738)[解析]∵a⊥b，∴a·b＝0，即2×(－4)＋1×5＋3x＝0，∴x＝1．14．已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为__eq\f(1,4)__.eq\x(导学号9662738)[解析]设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2eq\r(2)，A1C1＝B1D1＝eq\r(2)，∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，设棱台高为h，则tan60°＝eq\f(h,\r(2)－\f(\r(2),2))，∴h＝eq\f(\r(6),2)，∴A(0，－eq\r(2)，0)，D1(－eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(6),2))，B1(eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(6),2))，C(0，eq\r(2)，0)，∴eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)，eq\f(\r(6),2))，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)，－eq\f(\r(6),2))，∴cos〈eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(B1C,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))|·|\o(B1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,4)，故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为eq\f(1,4)．15．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为__45°__.eq\x(导学号9662738)[解析]由条件知，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BC＝eq\r(2)，∵PB＝PC＝1，∴∠BPC＝90°，取BC边中点E，则PE＝eq\f(\r(2),2)，AE＝eq\f(\r(2),2)，又PA＝1，∴∠PEA＝90°，故∠PAE＝45°，∵E为BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC，∴∠PAE为直线PA与平面ABC所成角．16．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__eq\f(\r(10),2)__.eq\x(导学号9662738)[解析]如图，过B、D分别向AC作垂线，垂足分别为M、N.则可求得AM＝eq\f(1,2)、BM＝eq\f(\r(3),2)、CN＝eq\f(1,2)、DN＝eq\f(\r(3),2)、MN＝1．由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→)))2＝|eq\o(BM,\s\up6(→))|2＋|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ND,\s\up6(→))|2＋2(eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→)))＝(eq\f(\r(3),2))2＋12＋(eq\f(\r(3),2))2＋2(0＋0＋0)＝eq\f(5,2)，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(10),2)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(PG,\s\up6(→)).eq\x(导学号9662738)[解析]∵BG＝2GD，∴eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))．又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝a＋c－2b，∴eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝b＋eq\f(2,3)(a＋c－2b)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c．18．(本小题满分12分)(2017·黑龙江哈师大附中高二期中测试)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝eq\f(π,2)，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.eq\x(导学号9662738)(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．[解析](1)如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．∵O为B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1．∵AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．(2)建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz．则B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2)．∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0，－2,2)、eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)．cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))|·|\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(0＋0＋4,2\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2)，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(1,2)，∵θ∈(0，eq\f(π,2))，∴θ＝eq\f(π,3)．19．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，△PAC是边长为2的等边三角形，PB＝eq\r(2)，E为PA的中点.eq\x(导学号9662738)(1)求证：BE⊥平面PAD；(2)求二面角C－PA－D的余弦值．[解析](1)证明：△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，AC＝eq\r(2)BC，∴BC∥AD，AB＝BC＝eq\r(2)，∵E为PA的中点，且AB＝PB＝eq\r(2)，∴BE⊥PA，在△PBC中，PC2＝PB2＋BC2，∴BC⊥PB．又∵BC⊥AB，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB．∵BC⊂平面PAB，∴BE⊥BC，又∵BC∥AD，∴BE⊥AD，又∵PA∩AD＝A，∴BE⊥平面PAD．(2)由(1)可知BC，AB，BP两两垂直，以B为原点，BC，AB，BP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，eq\r(2)，0)，B(0,0,0)，C(eq\r(2)，0,0)，P(0,0，eq\r(2))，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，－eq\r(2)，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(2)，eq\r(2))．设平面PAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,m·\o(AP,\s\up6(→))＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,y－z＝0，))∴取m＝(1,1,1)又由(1)知BE⊥平面PAD，故eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))为平面PAD的一个法向量，∴cos〈m，eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，故二面角C－PA－D的余弦值为eq\f(\r(6),3)．20．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.eq\x(导学号9662738)(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．[解析](1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)、eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,2,4)、eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－2，－2,1)、eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－2，0,1)．∵eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0，∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A．∴BE⊥平面ACF．(2)由(1)知，eq\o(BE,\s\up6(→))为平面ACF的一个法向量，∴点E到平面ACF的距离d＝eq\f(|\o(AE,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,3)．故点E到平面ACF的距离为eq\f(5,3)．21．(本小题满分12分)(2016·四川理，18)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.eq\x(导学号9662738)(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．[解析](1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED．所以四边形BCDE是平行四边形．从而CM∥EB．又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE．(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD．从而CD⊥PD．所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．所以∠PDA＝45°．设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2．过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH．易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE．于是CE⊥平面PAH．所以平面PCE⊥平面PAH．过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE．所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH＝eq\f(\r(2),2)．在Rt△PAH中，PH＝eq\r(PA2＋AH2)＝eq\f(3\r(2),2)，所以sin∠APH＝eq\f(AH,PH)＝eq\f(1,3)．方法二由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD．于是CD⊥PD．从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．所以∠PDA＝45°．由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD．设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2．作Ay⊥AD，以A为原点，以eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以eq\o(PE,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,2)，设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EC,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2z＝0，,x＋y＝0，))设x＝2，解得n＝(2，－2,1)．设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα＝eq\f(|n·\o(AP,\s\up6(→))|,|n|·|\o(AP,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2×\r(22＋－22＋12))＝eq\f(1,3)．所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为eq\f(1,3)．22．(本小题满分14分)(2017·天津理，17)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.eq\x(导学号9662738)(1)求证：MN∥平面BDE；(2)求二面角C－EM－N的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为eq\f(\r(7),21)