3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系课件高二上学期数学北师大版选择性

4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系第三章空间向量与立体几何北师大版

数学

选择性必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.6.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.7.会用三垂线定理及逆定理解题.基础落实·必备知识一遍过知识点1

空间中的平行与垂直设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则l∥m或l与m重合⇔l∥m;l∥α或l⊂α⇔l⊥n1;

两种情况易忽略

α∥β或α与β重合⇔n1∥n2;l⊥m⇔l⊥m;l⊥α⇔l∥n1;α⊥β

⇔n1⊥n2.名师点睛1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量基本定理,先证明两条直线的方向向量平行.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,先证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示.2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.思考辨析1.用向量证明平行关系时要注意什么?2.已知四面体ABCD中,AB=AC,DB=DC,点M为棱BC的中点,指出平面ADM的一个法向量.哪两个平面互相垂直?为什么?提示

在证明直线与直线平行时,要说明两条直线不重合;在证明直线与平面平行时,要说明直线不在平面内;在证明平面与平面平行时,要说明两个平面不重合.提示

平面ADM的一个法向量是

等)(答案不唯一);互相垂直的平面有两组:平面ADM⊥平面ABC,平面ADM⊥平面BCD.自主诊断1.[人教A版教材习题]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AB1,平面A1C1的中心.求证:EF∥平面ACD1.证明

建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.∵E,F分别是平面AB1,平面A1C1的中心,∴E(2,1,1),F(1,1,2).2.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中点,F是BC的中点.求证:平面EAD1⊥平面EFD1.证明

建立如图所示的空间直角坐标系.取x1=1,则y1=1,z1=1.∴n1=(1,1,1)是平面EAD1的一个法向量.设n2=(x2,y2,z2)是平面EFD1的法向量.取x2=2,则y2=-1,z2=-1,∴n2=(2,-1,-1)是平面EFD1的一个法向量.又n1·n2=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0,∴n1⊥n2,∴平面EAD1⊥平面EFD1.3.[人教A版教材习题]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,CB=1,CA=2,AA1=,M是CC1的中点.求证:AM⊥BA1.知识点2

三垂线定理及其逆定理

简记为“线投垂直⇒线斜垂直”

三垂线定理

若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也和这条斜线垂直.类似地可以得到:

简记为“线斜垂直⇒线投垂直”

三垂线定理的逆定理

若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.思考辨析如果将三垂线定理中“在这个平面内”的条件去掉,结论仍然成立吗?提示

不成立,例如当b⊥α时,b⊥OA,但b不垂直于OP.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.(

)(2)若a是平面α的斜线,平面β内的直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.(

)(3)若a是平面α的斜线,直线b⊂α且b垂直于a在另一平面β内的投影,则a⊥b.(

)(4)若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.(

)×××√2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系为(

)

A.平行

B.异面C.垂直

D.以上都不对C解析

如图所示,取CD的中点P',连接PP',AP',MP',由长方体性质及已知,易知PP'⊥平面ABCD,所以MP'为PM在平面ABCD内的投影.由题意得,重难探究·能力素养速提升探究点一利用向量方法证明线线平行【例1】

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是线段AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.证明

(方法一)以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.规律方法

要证明两直线平行,可先求出两直线的方向向量,然后证明两直线的方向向量共线,从而证明两直线平行.变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.证明

以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),探究点二利用向量方法证明线面平行【例2】

[人教B版教材例题]已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B与A1C1的中点.求证:MN∥平面ADD1A1.规律方法

利用空间向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.变式训练2如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.证明

建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,探究点三利用向量方法证明面面平行【例3】

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解

如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,则规律方法

利用空间向量证明面面平行的方法(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.变式训练3如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:平面EFG∥平面PBC.证明

因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).探究点四利用向量方法证明线线垂直【例4】

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.证明

(方法一)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是规律方法

利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.变式训练4已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN.证明

设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.探究点五利用向量方法证明线面垂直【例5】

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.(方法二)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.规律方法

利用空间向量证明线面垂直的方法

变式训练5如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC.证明

因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则探究点六利用向量方法证明面面垂直【例6】

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为边BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.规律方法

1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.变式训练6[2024山东枣庄月考]如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD.证明

∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP两两互相垂直.如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),取y=-1,得x=-2,z=1,∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一个法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量,∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.学以致用·随堂检测促达标123456789101112131415161718A级必备知识基础练1.[探究点六]若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),则平面α与β的位置关系是(

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定B解析

∵a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=-2+8-6=0,∴a⊥b,∴平面α与平面β垂直.1234567891011121314151617182.[探究点一]已知两平行直线的方向向量分别为a=(4-2m,m-1,m-1),b=(4,2-2m,2-2m),则实数m的值为(

)A.1 B.3C.1或3 D.以上答案都不正确C1234567891011121314151617183.[探究点四]如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点,E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有(

)A.B1E=EB

B.B1E=2EBC.B1E=EB

D.E与B重合A1234567891011121314151617184.[探究点六]设u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t等于(

)A.3 B.4 C.5 D.6C1234567891011121314151617185.[探究点四]已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面ABC内的点是(

)A.(2,3,1) B.(1,-1,2) C.(1,2,1) D.(1,0,3)D123456789101112131415161718平行1234567891011121314151617187.[探究点五]已知m=(a+b,a-b,2)是直线l的一个方向向量,n=(2,3,1)是平面α的一个法向量,若l⊥α,则a,b的值分别为

.

5,-1

1234567891011121314151617188.[探究点四、五]如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB.123456789101112131415161718(1)证明

如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则1234567891011121314151617181234567891011121314151617189.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是(

)A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,3,1),则l1∥l2B.直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1),则l⊥αC.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥βD.直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0),则l∥αCB级关键能力提升练123456789101112131415161718解析

对于A,a与b不平行,选项A错误;对于B,直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1)且a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0,所以l∥α或l⊂α,选项B错误;对于C,两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),且u·v=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以α⊥β,选项C正确;对于D,直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0)且u=-a,所以l⊥α,选项D错误.12345678910111213141516171810.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E是棱BC的中点,则在棱CC1上存在点F,下面情况可能成立的是(

)A.AF∥D1E

B.AF⊥D1EC.AF∥平面C1D1E D.AF⊥平面C1D1EB12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171811.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(

)A.平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.位置关系不确定B解析

由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA.以D为原点,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0),12345678910111213141516171812345678910111213141516171812.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(

)A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面B123456789101112131415161718ACD解析

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171814.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若E,F分别为PB,AD的中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是

.

垂直

解析

以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,12345678910111213141516171812345678910111213141516171815.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于

.

212345678910111213141516171816.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面