6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件高二下学期数学人教A版选择性

幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号；若某地的汽车牌照由至多2个大写英文字母和3个阿拉伯数字构成，则共有多少个车牌号码可供民众挑选？

计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法；但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.

在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法．这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理——这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法．

利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式——排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题．作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理．6.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？自主探究

因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0~9共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.探究：你能说说这个问题的特征吗?

上述问题中，最重要的特征是“或”字的出现：每个座位可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字编号.因为英文字母、阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同的.这两类号码数相加就得到号码的总数.上述计数过程的基本环节是：(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；(2)分别计算各类号码的个数；(3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法1、在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有：N=5+4＝9种。A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学例题解析1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班.

那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?巩固练习分析:从甲地到乙地有3类方法：

第一类方法，乘火车，有4种方法；

第二类方法，乘汽车，有2种方法；

第三类方法，乘轮船，有3种方法；

所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。得出结论：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方案?如果完成一件事有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢?

N＝m1＋m2＋m3

如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：

N＝m1＋m2＋…＋mn分类加法计数原理一般结论：(2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.(1)各类办法之间相互独立，都能独立的完成这件事，要计算方法种数，只需将各类方法数相加，因此分类加法计数原理又称加法原理分类计数原理的说明问题2：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1，A2，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？一、自主探究A1A2A3A4A5A6A7A8A9123456789方法一：解决计数问题常用“树状图”列举出来

在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤用下图可以列出所有可能的号码.A先确定英文字母，再确定数字字母

数字

得到的号码一、自主探究方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.上述问题中，最重要的特征是“和”字的出现：每个座位由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成，每个英文字母与不同的数字组成的号码是各不相同的.问题2：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1，A2，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？探究：你能说说这个问题的特征吗?

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有只有各个步骤都完成才算做完这件事情。分步乘法计数原理N=m×n种不同的方法.2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例题解析分析：选出一组参赛代表，可分两步：第一步，选男生；第二步，选女生根据分步计数原理，共有30×24=720种不同方法.解：第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择；自主探究探究：如果完成一件事有三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事需要有n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢?

N＝m1×m2×m3

如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：

N＝m1×m2×…×mn分步乘法计数原理一般结论分步乘法计数原理说明：(2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.(1)各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数，又称乘法原理加法原理乘法原理联系区别完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情共分n个步骤，关键词是“分步”每类办法都能独立完成这件事情。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。各类办法是互斥的、并列的、独立的各步之间是相关联的理解新知：分类计数与分步计数原理的区别和联系3、书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育杂志.例题解析(2)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同取法?N＝4＋3＋2＝9N＝4×3×2＝24(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?3、书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育杂志.例题解析(3)从书架上取2本不同学科的书，有多少种不同的取法?解：需先分类再分步.根据两个基本原理，不同的取法总数是

N=4×3+4×2+3×2=26第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法；第二类：从一、三层各取一本，有4×2=8种方法；第三类：从二、三层各取一本，有3×2=6种方法；答:从书架上取2本不同种的书，有26种不同的取法.2、(P7T1)某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0～9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？巩固练习3、若要求最后4个数字不重复，则又有多少种不同的电话号码?××××10×10×10×10=104分析：10×9×8×7=50404、(P7T2)从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？巩固练习分析：先选正组长，再选副组长，共5×4=20种选法5、(P5T1)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是

．ABC3×2=66、设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程

表示焦点位于x轴上的椭圆有()A、6个

B、8个

C、12个

D、16个巩固练习A解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个).7、已知集合M＝{–3，–2，–1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M).问：P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？巩固练习解：确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步，确定a的值，共有6种方法；第二步，确定b的值，也有6种方法.根据分步乘