人教A版高一数学必修2 第一章至第二章 导学案【含答案】

PAGEPAGE31．1空间几何体的结构1．1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征[提出问题]观察下列图片：问题1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？提示：由若干个平面多边形围成．问题2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成，(7)的表面是由曲面围成的．问题3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？提示：可以．[导入新知]1．空间几何体概念定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴2．多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCD－A′B′C′D′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S－ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点[化解疑难]1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．2．棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．棱柱的结构特征[例1]下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．[答案](3)(4)[类题通法]有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[活学活用]1．下列四个命题中，假命题为()A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的各个侧面都是平行四边形C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行解析：选AA错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D是正确的.棱锥、棱台的结构特征[例2]下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．[答案](2)(3)(4)[类题通法]判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[活学活用]2．试判断下列说法正确与否：①由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．解：①不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱；②不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体．侧棱不一定相交于一点，所以不一定是棱台.多面体的平面展开图[例3]如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[类题通法]1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．[活学活用]3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．2C．快D．乐解析：选B由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.eq\a\vs4\al(,,1.柱、锥、台结构特征判断中的误区)[典例]如图所示，几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[解析](1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示．[易错防范]1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[成功破障]如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱 B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定解析：选A如图∵平面AA1D1D∥平面BB1C∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．[随堂即时演练]1．下列几何体中棱柱有()A．5个 B．4个C．3个 D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选DA、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．3．棱锥最少有________个面．答案：44．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．答案：①③④⑥⑤5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱？多少个面？(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2012？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．(2)设n棱锥的棱数是2012，则2n＝2012，所以n＝1006，1006棱锥的棱数是2012，它有1007个面．[课时达标检测]一、选择题1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()答案：C2．有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．以上都错解析：选B棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的是()A．只有两个面平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，侧棱也互相平行解析：选D对于A，如正方体可以有六个面平行，故A错；对于B，如长方体并不是所有的棱都相等，故B错；对于C，如三棱柱的底面是三角形，故C错；对于D，由棱柱的概念，知两底面平行，侧棱也互相平行．故选D.4．(2011·广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：选D从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．5．下列命题中正确的是()A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点解析：选DA中的平面不一定平行于底面，故A错；B中侧棱不一定交于一点；C中底面不一定是正方形．二、填空题6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．解析：棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成．答案：三57.如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm，故两点之间的距离是eq\r(13)cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是eq\r(17)cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是eq\r(13)cm.答案：eq\r(13)8．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”、“不一定”、“一定不”)解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．答案：(1)不一定(2)不一定三、解答题9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．10．(2011·山东高考改编)给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的eq\f(1,4)，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．

1．1.2圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征旋转体[提出问题]如图，给出下列实物图．问题1：上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？提示：它们不是由平面多边形围成的．问题2：上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？提示：可以．问题3：如何形成上述几何体的曲面？提示：可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在直线为轴旋转而成．[导入新知]旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O[化解疑难]1．以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．2．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．3．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体.简单组合体[提出问题]中国首个空间实验室“天宫一号”于2011年9月29日16分成功发射升空，并与当年11月与“神舟八号”实现无人空间对接，下图为天宫一号目标飞行器的结构示意图．其主体结构如图所示：问题1：该几何体由几个几何体组合而成？提示：4个．问题2：图中标注的①②③④部分分别为什么几何体？提示：①为圆台，②为圆柱，③为圆台，④为圆柱．[导入新知]1．简单组合体的概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．2．简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．[化解疑难]简单组合体识别的要求(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．旋转体的结构特征[例1]给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径，其中正确说法的序号是________．[解析](1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；(2)正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)正确，如图所示，经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)正确，如图所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案](2)(3)(4)[类题通法]1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[活学活用]1．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：(1)(2)简单组合体[例2]观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形180°后得到几何体①；(2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形360°得到几何体②；(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．[解析](1)图①是由圆锥和圆台组合而成．可旋转如下图形180°得到几何体①.(2)图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．可旋转如下图形360°得到几何体②.(3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．共有9个面，9个顶点，16条棱．[类题通法]1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数，如图③所示的组合体有9个面，9个顶点，16条棱．2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．[活学活用]2．下列组合体是由哪些几何体组成的？解：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．eq\a\vs4\al(,,1.旋转体的生成过程)[典例]如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体．[解题流程]eq\x(分别以边AD、AB、BC、CD所在直线为旋转轴旋转)eq\x(已知四边形ABCD为直角梯形)以边AD所在直线为旋转轴旋转→以边AB所在直线为旋转轴旋转→以边CD所在直线为旋转轴旋转→以边BC所在直线为旋转轴旋转[规范解答]以边AD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是圆台，如图(1)所示．以边AB所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体，如图(2)所示．以边CD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体，如图(3)所示．以边BC所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何体和一个圆锥拼接而成，如图(4)所示．[活学活用]一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解：如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥．如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．[随堂即时演练]1．(2012·临海高一检测)圆锥的母线有()A．1条 B．2条C．3条 D．无数条答案：D2.右图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：选A图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．3．等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°，所得几何体是________．答案：圆锥4．如图所示的组合体的结构特征为________．解析：该组合体上面是一个四棱锥，下面是一个四棱柱，因此该组合体的结构特征是四棱锥和四棱柱的一个组合体．答案：一个四棱锥和一个四棱柱的组合体5.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．[课时达标检测]一、选择题1．下列命题中正确的是()①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆；③圆台的两个底面可以不平行．A．①② B．②C．②③ D．①③解析：选B①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行．故①③错误．2．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥解析：选D从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．4．下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B①中应以直角三角形的直角边所在直线为轴，②中应以直角梯形中的直角腰所在直线为轴，④中应用平行于底面的平面去截，③正确．5.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：选D该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．二、填空题6．下列7种几何体：(1)柱体有________；(2)锥体有________；(3)球有__________；(4)棱柱有________；(5)圆柱有________；(6)棱锥有________；(7)圆锥有________．解析：由柱、锥、台及球的结构特点易于分析，柱体有a、d、e、f；锥体有b、g；球有c；棱柱有d、e、f；圆柱有a；棱锥为g；圆锥为b.答案：(1)a、d、e、f(2)b、g(3)c(4)d、e、f(5)a(6)g(7)b7．下面这个几何体的结构特征是___________________________________________________________________________________________________________________.解析：根据图形可知此几何体是由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成．答案：由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案：圆柱三、解答题9．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．10.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2cm和5cm，圆台的母线长是12cm解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2cm，下底半径OB＝5cm，且腰长AB＝12cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，所以l＝20cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为1．2空间几何体的三视图和直观图1．2.1&1.2.2中心投影与平行投影中心投影与平行投影[提出问题]15年之后，《泰坦尼克号》再次被搬上了荧屏，而这次的宣传噱头则是3D.《泰坦尼克号3D》让观众在明知下一步剧情发展的情况下，仍然会因为发生在“眼前”的真实爱情悲歌热泪盈眶．从右图中我们可以清楚看到3D电影是怎么一回事：两个投影机会从不同的方向错开一定距离，把画面中有距离区别的部分投射到荧幕上．而观众所佩戴的3D眼镜也会选择不同的光线进入左右眼，这样你就能看到物体“前于画面”或“后于画面”的视觉假象了．电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后留下的影像．放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件．问题1：放电影成像与太阳光成像原理一样吗？提示：不一样．问题2：电影成像中的光线有何特点？提示：光是由一点向外散射．问题3：太阳光照人成影像的光线又有何特点？提示：一束平行光线．[导入新知]1．投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影与平行投影投影定义特征分类中心投影光由一点向外散射形成的投影投影线交于一点平行投影在一束平行光线照射下形成的投影投影线互相平行正投影和斜投影[化解疑难]平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别(1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．(2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．三视图[提出问题]如梦似幻！——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样，“水立方”成了游客在北京的必到之地．问题1：水立方的外观形状是什么？提示：长方体．问题2：假如你站在水立方入口处的正前方或在水立方的左侧看水立方，你看到的是什么？提示：水立方的一个侧面．问题3：若你在水立方的正上方观察水立方看到什么？提示：水立方的一个表面．问题4：根据上述三个方向观察到的平面，能否画出水立方的形状？提示：可以．[导入新知]三视图概念规律正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图[化解疑难]1．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．2．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．中心投影与平行投影[例1]下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[解析]序号正误原因分析①√由平行投影和中心投影的定义可知②×空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点③×两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线[答案]B[类题通法]1．判定几何体投影形状的方法：(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．(2)对于平行投影，当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的投影仍是直线或线段；②平行直线的投影平行或重合；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．2．画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．[活学活用]1.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为解析：选AN在面ADD1A1内的投影是AD中点，M在面ADD1A1内的投影是AA1画空间几何体的三视图[例2]画出如右图所示的四棱锥的三视图．[解]几何体的三视图如下：[类题通法]画三视图的注意事项(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．[活学活用]2．(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()解析：选D对于选项A，两个圆柱符合要求；对于选项B，一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；对于选项C，一个底面为等腰直角三角形的三棱柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；选项D如果可能的话，则这个空间几何体是一个正三棱柱和一个正四棱柱的组合体，其正视图中上面矩形的底边是三棱柱的底面边长，但侧视图中上面矩形的底面边长是三棱柱底面三角形的高，故只有选项D中的不可能.由三视图还原空间几何体[例3](1)如图所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状．(1)(2)(3)[解](1)该三视图表示的是一个四棱台，如图：(2)由俯视图可知该几何体是多面体，结合正视图、侧视图可知该几何体是正六棱锥．如图：(3)由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，所以该几何体的形状如图所示．[类题通法]由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．[活学活用]3．根据图中的物体的三视图，画出物体的形状．(1)(2)解：(1)由三视图可知，下面为棱柱、上面为正方体，故表示物体的实物图形如图．(2)由三视图可知，上面为半球，下面为三棱柱，如图．eq\a\vs4\al(,,2.画几何体的三视图常见误区)[典例]某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是()[解析]该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选A.[答案]A[易错防范]1．易忽视组合体的结构特征是由圆柱切割而得到和正视方向与侧视方向的判断而出错．2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．[成功破障]沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是()解析：选D从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线．[随堂即时演练]1．(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球 B．三棱锥C．正方体 D．圆柱解析：选D球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选D.2．以下关于投影的叙述不正确的是()A．手影就是一种投影B．中心投影的投影线相交于点光源C．斜投影的投影线不平行D．正投影的投影线和投影面垂直解析：选C平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．3．下图中三视图所表示几何体的名称为________．解析：由三视图可知，该几何体为圆柱，且圆柱的底面在正前面．答案：圆柱4．直线的平行投影可能是________．答案：直线或点5．画出如图所示几何体的三视图．解：图①为正六棱柱，可按棱柱的画法画出；图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．三视图如图所示．[课时达标检测]一、选择题1．下列说法正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的平行投影可能平行D．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点解析：选D对于A，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于B，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于C，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D正确．2．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有()解析：选AN和L，K属中心投影，C属平行投影．3．(2011·江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选D被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图可知选D.4．如图所示，在这4个几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①② B．①③C．①④ D．②④解析：选D①正方体的正视图、侧视图、俯视图都是正方形；②圆锥的正视图、侧视图、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及圆心；③三棱台的正视图、侧视图、俯视图依次为：梯形、梯形(两梯形不同)、三角形(内外两个三角形，且对应顶点相连)；④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形及中心．5．(2012·陕西高考)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()解析：选B左视图中能够看到线段AD1，画为实线，看不到线段B1C，画为虚线，而且AD1与B1C二、填空题6．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体是由(简单几何体)________与________组成的．解析：由三视图可得，几何体为一四棱台和长方体的组合体．答案：四棱台长方体7．如图甲所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________解析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图乙(1)；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图乙(2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图乙答案：(1)(2)(3)8．两条平行线在一个平面内的正投影可能是________．①两条平行线；②两个点；③两条相交直线；④一条直线和直线外的一点；⑤一条直线．解析：如图，在正方体A1B1C1D1­ABCD中，直线A1B1∥C1D1，它们在平面ABCD内的投影为AB，CD，且AB∥CD，故①正确；它们在平面BCC1B1内的正投影是点B1和点C1，故②正确；取A1D1的中点E，B1C1的中点连接EF，则EF∥D1C1且EF与D1C1在平面ABB1A1内的投影是同一直线A1B1，故⑤答案：①②⑤三、解答题9．如图所示，画出下列组合体的三视图．解：三视图如图①②所示．10．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的是组合体，如图所示，是7个小正方体拼接而成的组合体．

1．2.3空间几何体的直观图[提出问题]美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？提示：为了直观，不一定．问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？提示：平行四边形、扁圆形，为增加直观性．问题3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？提示：不相同．[导入新知]1．用斜二测画法画平面图形的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．[化解疑难]1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．水平放置的平面图形的直观图[例1]按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[解]画法：(1)在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．[类题通法]1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．[活学活用]1.如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图．解：画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°(如图(2))；(2)在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝eq\f(1,2)AE，B′C′＝eq\f(1,2)BC；在y′轴上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD.(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．空间几何体的直观图[例2]用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD­A′B′C′D′[解]画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)．[类题通法]画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的二分之一．(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．[活学活用]2．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解：(1)画轴．如下图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如下图②.直观图的还原和计算问题[例3]如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．[解]如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.所以面积为S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.[类题通法]由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．[活学活用]3．如图所示，将水平放置的直观图A′B′C′D′还原为平面图形．解：(1)如下图①，在水平放置的直观图中延长D′A′交O′x′轴于点E′.(2)如下图②，画互相垂直的轴Ox，Oy，取OE＝O′E′，过E作EF∥Oy，在EF上截取AE＝2A′E′，DE＝2D′E′，然后分别过A，D作AB∥Ox，DC∥Ox，并使AB＝DC＝A′B′(3)连接AB，BC，CD，得直观图A′B′C′D′的还原图形．综上可知，此水平放置的直观图是矩形．eq\a\vs4\al(,,3.解答平面图形直观图还原问题的易错点)[典例](2012·温州高一检测)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为eq\r(2)，则原梯形的面积为()A．2 B.eq\r(2)C．2eq\r(2) D．4[解析]如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高．原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的eq\r(2)倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2eq\r(2)倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的2eq\r(2)倍，梯形OA′B′C′的面积为eq\r(2)，所以原梯形的面积是4.[答案]D[易错防范]1．原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高的长度不一样．原梯形的高OC是直观图中OC′的长度的2倍，OC′长度是直观图中梯形的高的eq\r(2)倍，此处易出错．2．解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化，直观图面积S′与原图形面积S满足S′＝eq\f(\r(2),4)S.[成功破障]如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()A．2 B．4C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：选D由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2eq\r(2)S直观图，得eq\f(1,2)·OB·h＝2eq\r(2)×eq\f(1,2)×2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4eq\r(2).[随堂即时演练]1．关于斜二测画法，下列说法不正确的是()A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的eq\f(1,2)C．在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：选C斜二测作图时，∠x′O′y′也可为135°，故C错．2．有下列叙述：①相等的角，在直观图中仍相等；②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B从原图到直观图只能保证平行的仍平行，故只有③正确．3.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．解析：由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3.∴S△ABC＝eq\f(1,2)×6×3＝9.答案：94.如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．解析：正方形的直观图A′B′C′D′如图：因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)5．画边长为1cm解：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),4)cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．[课时达标检测]一、选择题1．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()解析：选A由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．2．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形解析：选C如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．3.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是A．6B．8C．(2＋3eq\r(2))cmD．(2＋2eq\r(3))cm解析：选B直观图中，O′B′＝eq\r(2)，原图形中OC＝AB＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3，OA＝BC＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC解析：选D还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．5．已知正三角形ABC的边长为a，那么正三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积是()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2解析：选D如图①为实际图形，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.如图②，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，过C′作C′D′⊥O′x′于D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以△A′B′C′的面积是S＝eq\f(1,2)·A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.二、填空题6．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．解析：易知AC⊥BC，且AC＝6，BC＝8，∴AB应为Rt△ABC的斜边，故AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.答案：107．(2012·杭州检测)如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：∵O′B′＝1，∴O′A′＝eq\r(2)，∴在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2eq\r(2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)8．(2012·石家庄高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．解析：过A作AE⊥BC，垂足为E.又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1.由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝eq\f(\r(2),2)，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋eq\f(\r(2),2)，高为2，∴原平面图形的面积为eq\f(1,2)×(1＋1＋eq\f(\r(2),2))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).答案：2＋eq\f(\r(2),2)三、解答题9．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．解：画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.10．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．解：画法：1．3空间几何体的表面积和体积1．3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积[提出问题]北京奥运会的重要前奏是奥运圣火的传递，圣火由“祥云”火炬承载，传遍五洲四海，宏扬奥林匹克精神．“祥云”火炬外型是细长的圆台形式，长72cm，重985克，燃料为丙烷问题1：能否计算出“祥云”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？提示：可以，即计算圆台的表面积．问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？提示：可以，即计算其容积．[导入新知]1．几种几何体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积旋转体圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)锥体的体积公式V＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)台体的体积公式V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h[化解疑难]对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．V＝Sheq\a\vs4\al(,\s\up6(S′＝S),\s\do4(⇐)))V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\a\vs4\al(,\s\up6(S′＝0),\s\do4(⇒)))V＝eq\f(1,3)Sh柱、锥、台的表面积[例1](2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[解析]由三视图，画出几何体的直观图易求得基本量，如图所示，其表面积S＝eq\f(2＋5×4,2)×2＋4×(2＋4＋5＋5)＝28＋64＝92.[答案]92[类题通法]1．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．2．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．[活学活用]1．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°解：如图所示，设圆台的上底面周长为ccm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20(cm)．同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)．所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2).柱、锥、台的体积[例2]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、[解]如图所示，在三棱台ABC­A′B′C′中，O′、O分别为上、下底面的中心，D、D′分别是BC、B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，所以，S侧＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)×DD′＝75DD′.又A′B′＝20cm，AB＝S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq\r(3)(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325eq\r(3)，所以，DD′＝eq\f(13,3)eq\r(3)(cm)．又∵O′D′＝eq\f(\r(3),6)×20＝eq\f(10\r(3),3)(cm)，OD＝eq\f(\r(3),6)×30＝5eq\r(3)(cm)，∴棱台的高h＝O′O＝eq\r(D′D2－OD－O′D′2)＝eq\r(\f(13\r(3),3)2－5\r(3)－\f(10\r(3),3)2)＝4eq\r(3)(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝eq\f(h,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))＝eq\f(4\r(3),3)×(325eq\r(3)＋eq\f(\r(3),4)×20×30)＝1900(cm3)．[类题通法]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台体的体积计算问题．[活学活用]2．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．解：如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R，l，高为h.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)，即R－r＝3×eq\f(\r(3),3)，∴R－r＝eq\r(3).又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，而h＝3，∴V圆台＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.所以圆台的体积为21π.简单组合体的表面积和体积[例3]已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[解]如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.∵BC·AC＝AB·CD，∴CD＝eq\f(12,5)，记为r＝eq\f(12,5)，那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝eq\f(12,5)，母线长分别是AC＝3，BC＝4，所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π×eq\f(12,5)×(3＋4)＝eq\f(84,5)π，V＝eq\f(1,3)πr2(AD＋BD)＝eq\f(1,3)πr2·AB＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2×5＝eq\f(48,5)π.所以，所求旋转体的表面积是eq\f(84,5)π，体积是eq\f(48,5)π.[类题通法]求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．[活学活用]3．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．12π B．45πC．57π D．81π解析：选C由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V＝π×32×5＋eq\f(1,3)×π×32×eq\r(52－32)＝57π.eq\a\vs4\al(,,4.求几何体表面积、体积考虑不全面)[典例]把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．[解]设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.当2πr＝4，l＝2时，r＝eq\f(2,π)，h＝l＝2，所以V圆柱＝πr2h＝eq\f(8,π).当2πr＝2，l＝4时，r＝eq\f(1,π)，h＝l＝4，所以V圆柱＝πr2h＝eq\f(4,π).综上所述，这个圆柱的体积为eq\f(8,π)或eq\f(4,π).[易错防范]把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高．容易漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面．[成功破障]如图，从底面半径为2a，高为eq\r(3)a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．解：由题意知，S1＝2π·2a·eq\r(3)a＋2π·(2a)2＝(4eq\r(3)＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4eq\r(3)＋9)πa2.∴S1∶S2＝(4eq\r(3)＋8)∶(4eq\r(3)＋9)．[随堂即时演练]1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D.eq\r(3)∶2解析：选C设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq\r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2.2．若长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、A．27cm3 B．C．64cm3 D．解析：选B长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60cm3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的半径为r，则2πr＝eq\f(1,2)×2π·2，∴r＝1，则高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3).∴V圆锥＝eq\f(1,3)πr2·h＝eq\f(1,3)π×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.答案：eq\f(\r(3),3)π4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．解析：已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r和4r，由100＝(4r)2＋(4r－r)2，得r＝2，故圆台的侧面积等于π(r＋4r)l＝π(2＋8)×10＝100π.答案：100π5．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2cm，底面高B′D′＝所以底面边长A′B′＝2eq\r(3)×eq\f(2,\r(3))＝4cm.一个底面的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(3)×4＝4eq\r(3)cm2.所以S表面积＝2×4eq\r(3)＋4×2×3＝(24＋8eq\r(3))cm2，V＝4eq\r(3)×2＝8eq\r(3)cm3.所以表面积为(24＋8eq\r(3))cm2，体积为8eq\r(3)[课时达标检测]一、选择题1.(2012·深圳高一检测)如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选C∵VC－A′B′C′＝eq\f(1,3)V柱＝eq\f(1,3)，∴VC－AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).2．(2012·许昌高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．π B．2πC．4π D．8π解析：选B设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.3．(2012·新课标全国高考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6 B．9C．12 D．18解析：选B由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×3×3＝9.4．(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48 B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17) D．80解析：选C由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为4，两底面积和为2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＝24，四个侧面面积为4×(4＋2＋2eq\r(17))＝24＋8eq\r(17)，所以几何体的表面积为48＋8eq\r(17).5．(2011·湖南高考)设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.eq\f(9,2)π＋12 B.eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42 D．36π＋18解析：选B由三视图可判断此几何体是球与长方体的组合体，其体积V＝eq\f(4π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＋32×2＝eq\f(9π,2)＋18.二、填空题6.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3eq\r(3)，则a＝________.解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，则V＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×a))＝3eq\r(3)，所以a＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．(2012·山东高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则三棱锥D1－EDF解析：因为E点在线段AA1上，所以S△DED1＝eq\f(1,2)×1×1＝eq