广东省六校联盟2025届高三数学上学期第二次联考试题

PAGEPAGE1广东省六校联盟2025届高三数学上学期其次次联考试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|－2<x≤1}，则A∩B等于()A．{1}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}2．已知命题：，则命题为()A．B．C．D．3．我国南宋闻名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式．设的三个内角所对的边分别为，面积为，“三斜求积”公式表示为．若,，则用“三斜求积”公式求得的面积为（）A. B. C. D.24．已知都是正数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5．实数x，y，k满意约束条件，目标函数z＝x2＋y2，若z的最大值为13，则k的值为()A．1B．2C．3D6．若函数是定义在上的奇函数，且对全部恒成立，则下列函数值肯定正确的是()A．B．C．D．7．在中，若，则满意()A． B． C． D．8．三棱锥的全部顶点都在球的球面上．棱锥的各棱长为：，，则球的表面积为（）A. B. C.D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．下列四个命题中，正确的有()A．函数的图象可由y＝3sin2x的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度得到B．的最小正周期等于π，且在上是增函数（是自然对数的底数）C．直线x＝eq\f(π,8)是函数图象的一条对称轴D．函数的定义域是10．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么()A．a＋b有最小值2＋2eq\r(2)B．a＋b有最大值2＋2eq\r(2)C．ab有最小值3＋2eq\r(2)D．ab有最大值1＋eq\r(2)11．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下列命题正确的有()A．直线CP和平面ABC1D1所成的角为定值B．三棱锥D－BPC1的体积为定值C．异面直线C1P和CB1所成的角为定值D．直线CD和平面BPC1平行12.意大利闻名数学家斐波那契在探讨兔子的繁殖问题时，发觉了数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．人们把这个数列称为斐波那契数列.将数列中的各项除以4所得余数按原依次构成的数列记为，则下列结论正确的有()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13.若复数，则等于.14.已知数列中，．若为等差数列，则．15．已知，，，则（2分），角．（3分）16．已知函数若关于x的方程f

(x)＝kx有6个不同的根，则实数k的取值范围是.（用集合或区间表示）四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．（10分）已知点、、，为坐标原点．若∥且，求的取值范围．18.（12分）从①；②；③中任选两个补充到下面问题中的横线上，然后完成问题的解答.问题：已知数列为正项等比数列，；数列满意：.（1）求；（2）求的前项和.注：假如多次选择条件分别解答，按第一个解答计分.19.(12分)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面相互垂直，BE∥FC，∠CEF＝∠FCB＝90°，AD＝eq\r(3)，EF＝2.(1)求证：AE∥平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角A－EF－C的大小为60°.20.（12分）已知函数，其中为实数，是自然对数的底数．(1)若a＝，证明：f(x)≥0；(2)若f(x)在(0，π)上有唯一的极值点，求实数a的取值范围．．．．．．）22.（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）为自然对数的底数，若时，恒成立，证明：.2025届六校高三其次次联考数学答案一、选择题题号123456789101112答案CADBBCDBCDACBCDAB填空题13.14.15．，16.部分客观题解析9．将y＝3sin2x的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度得到y＝，故A错误；由2x＋eq\f(5π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(3π,8)，k∈Z，得x＝eq\f(π,8)是其对称轴，故B正确；令f(x)＝esin2x，∴f(x＋π)＝esin[2(x＋π)]＝f(x)，故f(x)＝esin2x的周期为π，且在上为增函数，故C错误；由得，故D正确．ab＝1＋(a＋b)≤(当且仅当a＝b>1时取等号)，即(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0且a＋b>2，解得a＋b≥2＋2eq\r(2)，∴a＋b有最小值2＋2eq\r(2)，知A正确；由ab－(a＋b)＝1，得ab－1＝a＋b≥2eq\r(ab)(当且仅当a＝b>1时取等号)，即ab－2eq\r(ab)－1≥0且ab>1，解得ab≥3＋2eq\r(2)，∴ab有最小值3＋2eq\r(2)，知C正确．选项A，由线面所成角的定义，令BC1与B1C的交点为O，可得∠CPO即为直线CP和平面ABC1D1所成的角，当P移动时∠CPO是改变的，故A选项B，三棱锥D－BPC1的体积等于三棱锥P－DBC1的体积，而△DBC1大小肯定，∵P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，∴点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，∴三棱锥D－BPC1的体积为定值，故B正确；选项C，∵在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，∴CB1⊥平面ABC1D1，∵C1P⊂平面ABC1D1，∴CB1⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故C选项D，直线CD和平面ABC1D1平行，∴直线CD和平面BPC1平行，故D正确.对于A选项：，，数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A选项正确；对于C选项：，故C选项错误；对于B选项：斐波那契数列总有：，∴，故B正确；对于D选项：，，，，。所以，故D选项错误.16.关于x的方程f

(x)＝kx有6个不同的根，等价于y＝f

(x)与y＝kx的图象有6个交点，因为f

(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x＋2)，x≤0且x≠－2，,f

x－1＋1，x>0，))所以若0<x≤1，则－1<x－1≤0，则f

(x)＝f

(x－1)＋1＝eq\f(2,x＋1)＋1；若1<x≤2，则0<x－1≤1，则f

(x)＝f

(x－1)＋1＝eq\f(2,x)＋2；若2<x≤3，则1<x－1≤2，则f

(x)＝f

(x－1)＋1＝eq\f(2,x－1)＋3；若3<x≤4，则2<x－1≤3，则f

(x)＝f

(x－1)＋1＝eq\f(2,x－2)＋4；若4<x≤5，则3<x－1≤4，则f

(x)＝f

(x－1)＋1＝eq\f(2,x－3)＋5；…作出f

(x)的图象如图，与图中OA、OB类似，分析O与点（1，2）、（2，3）、（5，8）、（6，9）、（7，10）的连线可知，当时，y＝f

(x)与y＝kx的图象有6个交点，所以k的取值范围是.17.（10分），而∥，∴，即，3分4分（以下过程用数形结合解答的不扣分）∴6分∵∴，解得8分∴.10分18.（12分）选择①③解：（1）令，得，所以，1分令，得，所以，又，所以，3分设数列的公比为，则，所以；4分（2）当时，①5分又，②②–①，6分因为，所以，时也成立，所以.8分，所以.12分选择①②解：（1）令，得，所以，令，得，所以，又，所以，设数列的公比为，则，所以；4分（2）当时，①又，②②–①，因为，所以，时也成立，所以.8分以下与选择①③相同.12分选择②③解：（1）令，得，所以，令，得，，所以，，相除得，，，所以，设数列的公比为，则，所以；4分（2）当时，①又，②②–①，因为，所以，时也成立，所以.8分以下与选择①③相同.12分19.(12分)(1)证明过点E作EG⊥CF，垂足为点G，连接DG，可得四边形BEGC为矩形，又四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝EG，AD∥BC∥EG，∴四边形ADGE为平行四边形，∴AE∥DG，2分又DG⊂平面DCF，AE⊄平面DCF，3分∴AE∥平面DCF.4分解∵，平面ABCD平面BEFC，交线为，∴CD平面BEFC.以C为原点，分别以CB，CF，CD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝a，BE＝b，CF＝c，（）则C(0,0,0)，A(eq\r(3)，0，a)，B(eq\r(3)，0,0)，E(eq\r(3)，b,0)，F(0，c,0)，5分因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，c－b,0)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，b,0)，且eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝0，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＋bc－b＝0，,\r(3＋c－b2)＝2，))解得b＝3，c＝4，所以E(eq\r(3)，3,0)，F(0,4,0)，7分（用平面几何或三角函数学问求得BE=3，CF=4的，请参照评分.）设n＝(x，y，z)与平面AEF垂直，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3y－az＝0，,－\r(3)x＋y＝0，))令x＝1，解得n＝，9分又因为AB⊥平面BEFC，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0,0，a)，10分所以＝eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·n|,|\o(BA,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(3\r(3),\r(4a2＋27))＝eq\f(1,2)，11分得到a＝eq\f(9,2)，当AB＝eq\f(9,2)时，二面角A－EF－C的大小为60°.12分20.（12分）(1)证明a＝时，，令g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－1，1分当x<0时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，0)上为减函数，当x>0时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴函数(x)的微小值也是最小值为，3分所以g(x)≥g(0)＝1，而≤1，所以ex－x≥，即f(x)≥0.5分(2)解f(x)在(0，π)上有唯一的极值点等价于f′(x)＝＝0在(0，π)上有唯一的变号零点，f′(x)＝0等价于a＝，6分设h(x)＝，x∈(0，π)，h′(x)＝＝， 7分∵x∈(0，π)，∴，当0<x<eq\f(π,2)时，，，h′(x)<0，h(x)在上为减函数，当eq\f(π,2)<x<π时，，，h′(x)>0，h(x)在上为增函数，∴函数h(x)的微小值也是最小值为，10分又h(0)＝0，h(π)＝，11分所以当时，方程a＝在(0，π)上有唯一的变号零点，所以a的取值范围是．12分解：由AB⊥平面DEC知，，在中，，得,2分在中，,4分由余弦定理有化简得，所以，,