河北省唐山市迁安市19-20学年九年级上学期期末数学试卷 及答案解析

河北省唐山市迁安市19-20学年九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分）

1.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度为1：6，堤高BC=5m,则二^

坡面AB的长度是（）I

A.10/nB.10V3mC.15mD.5V3m

2.若一组数据2,3,x,5,7的众数为7,则这组数据的中位数为（）

A.2B.3C.5D.7

3.己知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图（1）、（2）中的两个

三角形，下列说法正确的是（）

A.都相似B.都不相似C.只有（1）相似D.只有（2）相似

4.将方程/一6x-9=0配方后，可化为（）.

A.(%-37=0B.(x-3)2=18C.0+3)2=18D.(x+3)2=0

5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为

配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎

片应该是（）

A.第①块B.第②块C.第③块D.

第④块

6.如图，△AB'C'是A48C以点。为位似中心经过位似变换得到的，若△AB'C'与△ABC的面积比

是4:9,则OB':OB为[].

7.在一个不透明的盒子中装有。个除颜色外完全相同的球，这。个球中只有3个红球，若每次将

球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的

频率稳定在20%左右，则“的值约为（）

A.12B.15C.18D.21

8.如图，边长为I的小正方形构成的网格中，半径为2的。。的圆心。在1r^火._

I>1\I

格点上，点A,B,C,。均落在格点上，则tanNBOE=（）

装》

「B

A.|B.在C.竿D.20

25

9.关于反比例函数y=：的图象，下列说法正确的是（）

A.图象经过点（1,1）B.两个分支分布在第二、四象限

C.两个分支关于x轴成轴对称D.当％<0时，y随x的增大而减小

10.如图，4B为。。的直径，点C、。在。。上，若44。。=30°,则48CD的

度数是（）-O

A.150°B,120°C.105°D.75°----

11.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在/时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2加，水

面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

y

i

2-x2

A.y=—2x2

12.宾馆有50间房供游客居住•当每间房每天定价为180元时•宾馆会住满，当每间房每天的定价每

增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.

当房价定为多少元时.宾馆当天的利润为10890元•设房价定为x元，则有（）

A.（180+%—20）（50一2）=10890

B.（x-20）（50-=10890

C.x（50-三詈）-50x20=10890

D.（%+180）（50--50x20=10890

13.如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物。EFC的高度.他们从点A出发沿着坡度为

i=1：2.4的斜坡A8步行26米到达点8处，此时测得建筑物顶端C的仰角a=35。，建筑物底

端。的俯角=30。.若A。为水平的地面，则此建筑物的高度8约为（）米.（参考数据：V3*

1.7,sin35°«0.6,cos35°«0.8,tan35°«0.75）

14.一次函数y=-%+l的图象与反比例函数y=3的图象交点的纵坐标为2,当一时,

反比例函数y=§中y的取值范围是（）

212

A.-2<y<--B.—1<y<--C.-<y<2D.-3<y<-1

15.如图，在扇形A08中，^AOB=90°,点C为OA的中点，CE1。4交部于

点、E,以点。为圆心，OC的长为半径作就交。8于点D.若04=4,则图

中阴影部分的面积为（）

A'+bB.]+26C.V3+yD.2V3+

27r

3

16.如图，若二次函数y=a/+bx+c（aR0）图象的对称轴为x=1,

与y轴交于点C,与x轴交于点4、点B（—1,0）,则：①二次函数的

最大值为a+b+c；@a-b+c<0；③炉-4ac<0；④当y>0

时，一l<x<3,其中正确是（）

A.①②④B.②④C.①④D.②③

二、填空题（本大题共3小题，共11.0分）

17.若方程/+X-2019=0的一个根是m则a2+a+l的值为

18.如图，在边长为6cm的正方形A8C3中，E,F,G,”四点分别从

A,B,C,。四点同时出发，均以lcm/s的速度向B,C,。，A四

点匀速运动.当点E到达点8时，四个点同时停止运动.在运动过程

中，当运动时间为5时，四边形EFGH的面积最小，其最小值

是cm2.

19.如图，扇形AOZ）中，乙4。。=90。，04=6,点P为弧A£>上任意一点（不

与点A和。重合），。（？，。。于。，点/为AOPQ的内心，过O,/和。三

点的圆的半径为r.则当点P在弧4。上运动时，r的值为

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

20.在正方形ABCO中，点M是射线BC上一点，点N是C。延长线上一点，且BM=DN.直线8。

与相交于E.

（1）如图1,当点例在8C上时，求证：BD-2DE=V2BM:

（2）如图2,当点M在BC延长线上时，BD、DE、8M之间满足的关系式是；

(3)在(2)的条件下，连接BN交4。于点F,连接M尸交8。于点G,连接CG.若DE=VL且AF：

FD=1：2时，求线段。G的长.

四、解答题(本大题共6小题，共48.0分)

21.关于x的一元二次方程产一3x+/c=0有实数根.

(1)求％的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m-l)x2+x+m-3=0与方程M-3%+

k=0有一个相同的根，求此时相的值.

22.垫球是排球队常规训练的重要项目之一.下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测

试的成绩.测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分.

运动员甲测试成绩表

测试序号12345678910

成绩(分)7687758787

运动员乙测试成绩统计图运动员丙测试成绩统计废

(1)写出运动员甲测试成绩的众数为；运动员乙测试成绩的中位数为；运动员丙测

试成绩的平均数为

(2)经计算三人成绩的方差分别为S%=0.8、S：=0.4、S金=0.8,请综合分析，在他们三人中

选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？

(3)甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲

手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？(用树状图或列表法解答)

23.小玲家对面新建了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45。，大厦底部的仰角

为30。(如图所示)，量得两幢楼之间的距离为30米.

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□

(1)求出大厦的高度；

(2)求出小玲家的高度.

24.某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电

源，则自动开始加热，每分钟水温上升10。&待加热到100。&饮水机自动停止加热，水温开始

下降，水温y(°C)和通电时间x(min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热,

重复上述过程.设某天水温和室温为20。(：，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答

下列问题：

(1)分别求出当0<x<8和8<xWa时，y和x之间的关系式；

(2)求出图中〃的值；

(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40冤的开水，

问他需要在什么时间段内接水.

y(℃)

25.如图1,。是。。的直径BC上的一点，过。作DE1BC交。。于E、N,F是。。上的一点，过

尸的直线分别与CB、OE的延长线相交于4、P,连结CF交PO于M,，=，P.

(1)求证：PA是。。的切线；

(2)若乙4=30。，。。的半径为4,DM=1,求PM的长；

(3)如图2,在(2)的条件下，连结8F、BM；在线段LW上有一点H,并且以“、£＞、C为顶点

的三角形与△BFM相似，求。，的长度.

却

26.已知抛物线y=a(x-/n)2+ri与)，轴交于点A,它的顶点为点B.点A、B关于原点。的对称点分

别是点C，。.若点4B,C,。中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABC。为抛物线的伴

随四边形，直线4B为抛物线的伴随直线.

(1)如图1,求抛物线y=(%-2产+1的伴随直线的解析式；

(2)如图2,若抛物线丫=矶方-机)2+71的伴随直线是丫=一％+5,伴随四边形的面积为20,求

此抛物线的解析式；

(3)如图3,若抛物线y=a(x-m)2+n的伴随直线是y=-2x+b(b>0),且伴随四边形ABCD

是矩形.用含匕的代数式表示相，〃的值.

答案与解析

1.答案：A

解析：解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：V3,

即tan/BAC=—=-7==—,

AC433

：.NBAC=30°,

•1•AB=2BC=2x5=10m,

故选：A.

由河堤横断面迎水坡A8的坡比是1：V3.可得到NB4c=30。，所以求得4B=2BC,得出答案.

此题考查的是解直角三角形的应用，关键是先由已知得出4B4C=30。，再求出48.

2.答案：C

解析：

本题考查众数与中位数的概念.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的

那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.众数是数据中出现最多的一个数.根据

众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案.

解：•.■数据2,3,x,5,7的众数为7,

x=7,

则这组数据为2、3、5、7、7,

・••中位数为5.

故选C.

3.答案：A

解析:

在图(1)中，根据三角形内角和定理求出乙C,根据两角对应相等的两个三角形相似证明；在图(2)中,

根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明.

本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

解：在图(1)中，乙C=180°-

/.A-/-B=180°-75°-

35°=70°,

则乙4=乙D,ZC=乙E,

〜△DFE；

在图(2)中，黑=40£84

3’OB63

OA_OC又

OD~OB9Z71OC=NDOB,

・•.△AOC-^DOB,

故选：A.

4.答案：B

解析：

此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.方程移项配方后,

利用平方根定义开方即可求出解.

解：方程整理得：X2-6X=6,

配方得：%2-6x4-9-19=0,即(％-3)2=18,

故选B.

5.答案：B

解析：

注意：确定圆的两要素是圆心和半径.此题主要是垂径定理的推论的运用.根据不在一条直线上三

点确定一个圆即可解得.

解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，再分别作出这两条弦的垂直平分线，其

交点就是弧所在圆的圆心，进而可得到圆的半径.

故选用

6.答案：A

解析：

本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于

一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.先求出位似比，

根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可.

解：由位似变换的性质可知，A'B'//AB,HAC,

A'B'CjABC.

•••△A'B'C'与A4BC的面积的比4：9,

.•.△4'B'C'与AABC的相似比为2：3,

OB'_2

---=一

OB3

故选A

7.答案：B

解析：分析

本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率得到相应的等量关

系.在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系

入手，列出方程求解.

解答

解：由题意可得，100%=20%,

解得，a=15.

故选：B.

8.答案：A

解析:

本题主要考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念求解.根据同弧或等弧所

对的圆周角相等得出NBOE=乙BAE,进而利用正切的定义求解.

解：•••Z.BDE=Z.BAE,

：.tanz.BZ)E=tan^BAE=：—=-=1.

AB42

故选A.

9.答案：D

解析：解：A、把点（1,1）代入反比例函数y==得341不成立，故A选项错误；

B、由k=3>0知，它的图象在第一、三象限，故B选项错误；

C、图象的两个分支关于y=x对称，故C选项错误；

。、当x<0时，），随x的增大而减小，故。选项正确.

故选：D.

根据反比例函数的性质，k=3>0,函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小.

本题考查了反比例函数y=t（k*0）的性质：

①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.

②当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而

增大.

10.答案：C

解析：解：连接AC,

•••4B为O。的直径，

•••UCB=90°,

v乙40D=30°,

•••^ACD=15°,

・・・乙BCD=4ACB+/-ACD=105°,

故选C.

连接AC,根据圆周角定理，可分别求出乙4cB=90。，^ACD=15°,即可求/BCD的度数.

此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.

11.答案：c

解析：

本题考查的是二次函数的应用有关知识，由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y

轴，可设此函数解析式为：y=a%2,利用待定系数法求解.

解：设此函数解析式为：y=ax2,a#0；

那么(2,-2)应在此函数解析式上.

则一2=4a

即得a=-%

那么y=-|x2.

故选C.

12.答案:B

解析：

本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，设房价定为x元，根据利润=房价的净利润x入住的

房间数可得.

此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系.

解：设房价定为x元，根据题意，得：

(x-20)(50-=10890.

故选B.

13.答案：B

解析：解：如图所示：过点B作BNLAC,BM1DC垂足分

别为：N,M,

vi=1：2.4,AB=26m,

・••设BN=x,则4N=2.4x,

AB=2.6x,

则2.6x=26,

解得：x=10,

故BN=DM=10m,

则t(m30。=处="=理，

BMBM3

解得：BM=10A/3.

则‘加35。=器=晟=。.75,

解得：CM»12.75(m),

故DC=MC+DM=12.75+10=22.75(m).

故选：B.

直接利用坡度的定义得出BN的长，进而利用锐角三角函数关系得出BM的长，进而得出CM的长即

可得出答案.

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出0M的长是解题关键.

14.答案：C

解析：

本题考查了反比例函数与一次函数的交点及反比例函数的性质，难度不大，关键是掌握用待定系数

法求解函数的解析式.

把一个交点的纵坐标是2代入y=-%+1求出横坐标为一1,把(一1,2)代入y=出k,令x=-3和x=

-1,求出反比例函数y的值，再根据反比例函数的性质即可求出y的取值范围.

解：把一个交点的纵坐标是2代入y=-x+l求出横坐标为—1,把(一1,2)代入y=§,

解得：k=-2,故反比例函数为y=-|,

当x=—3时，代入y=-j得y=|,

当x=-1时，代入y=-：得y=2,

又知反比例函数y=-|在一3<x<一1时，y随x的增大而增大，

即当—3<x<—1时反比例函数y的取值范围为：|<y<2.

故选：C.

15.答案：B

解析：解：连接OE、AE,

••♦点C为0A的中点，

EO=20C,

•••ACEO=30°,AEOC=60°,

.•.△4E。为等边三角形，

.C__607r4?_87r

**扇形AOE-360-3'

S阴影-S扇形AOB~S扇脑OD-珏扇形AOE-S^COE)

90兀-42907r-2287rl厂

（1■一5x2x2汽）

360360

8兀「

=47r-71——+2V3

7T

=可+2板

故选：B.

连接。瓜AE,根据点C为OC的中点可得NCEO=30。，继而可得^A后。为等边三角形，求出扇形

AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形CO。的面积，再减去S交%IEC即可求出阴影部分的面

积.

本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=".

16.答案：C

解析：

本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键.直接利

用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案.

解：①•.,二次函数y=ax2+bx+c(a。0)图象的对称轴为久=1,且开口向下，

=1时，y=Q+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c,故①正确；

②当％=-1时，Q-b+c=0,故②错误；

③图象与x轴有2个交点，故b2—4ac>0,故③错误；

④•・•图象的对称轴为％=1,与x轴交于点4点8(—1,0),

•••/I(3,0),

故当y>0时，一l<x<3,故④正确.

故选C.

17.答案：2020

解析：解：x=a是方程M+4-2019=0的一个根，

•••a2+a-2019=0,即a2+a=2019,

a2+a+1=2019+1=2020.

故答案为:2020.

先利用一元二次方程根的定义得到+a=1,然后把a(a+1)展开即可得到它的值.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

18.答案：3；18

解析：

本题考查二次函数的最值、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.根

据题意和图形可以得到四边形EFGH的面积与运动时间f的函数关系，然后根据二次函数的性质，

即可解答本题.

解：设运动时间为⑶

因为四边形ABC。是正方形，

所以N力=NB=NC=4。=90°,AB=BC=CD=DA=6cm.

由题意，得AE=BF=CG=DH=tcm,则BE=CF=DG=AH=(<6-t)cm.

所以四边形EFGH=S正方形ABCD-SAAEH一5ABEF-S^CFG一S^DGH=62-4x1xtx(6-t)=36-

12t+2t2=2(t—3/+18.

又a=2>0,所以当t=3时，S四边形取最小值，且最小值为18cm2.

19.答案：3企

解析:

本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关

键.连。/,Pl,D1,由△(?「//的内心为/,可得至!UP/。=180°-4/P0-4/0P=180°-；(NHOP+

△OP”)=135。，并且易证△OP/三△。0/,得到二川。=NP/。=135。，所以点/在以。。为弦，并

且所对的圆周角为135。的一段劣弧上；过。、/、。三点作。。'，如图，连。'。，0'0,在优弧AO取

点P',连P'。，P'O,可得4OP'。=180。-135。=45。，得4。0'。=90。，O'O=3V2.

解：如图，连O/,PI,D1,

•••△0PH的内心为/,

4/0P=乙10D,Z.1PO=Z.IPH,

：.Z.PIO=1800-Z.IPO-Z.IOP=180°-|(zHOP+zOPW),

而PHJ.OD,即NP”0=90。，

4PIO=180。-*ZJ7OP+NOP")=180°-1(180°-90°)=135°,

在小OP/和小。。/中，

10=IO,Z.POI=Z.DOI,0D=OP,

0PIW4ODKSAS),

•••乙DI0=乙PI0=135°,

所以点/在以。。为弦，并且所对的圆周角为135。的一段劣弧上；

过。、/、。三点作。。'，

如图，连O'D,0'0,在优弧£＞。取点P',连P'D,P'O,

•••乙DIO=135°,

Z.DP'0=180°-135°=45°,

・•・乙DO'O=90°,而。。=6,

・・・00'=DO'=3或，

・•.r的值为3vL

故答案为3&.

20.答案：(1)过点M作M/18C交50于点F,

・・・四边形A3CQ是正方形，

・・・ZC=90°,

・・・FM//CD.

・・・乙NDE=乙MFE,

:.FM=BM,

•・・BM=DN,

・・・FM=DN,

在和△EDN中，

Z.NDE=乙MFE

乙NED=乙MEF,

、DN=FM

・•.△EFM=AEDN,

・・・EF=ED,

:・BD—2DE=BF,

根据勾股定理得：BF=V2BM，

即BD-2DE=&M.

(2)80+2DE=V2BM

(3)由(2)知，BD+2DE=y/2BM，BD=V2BC，

N

・・・CM=2,

-AB//CD,

*，•△ABF~ADNF,

・•・AF：FD=AB：ND,

•・・AF：FD=1：2,

・・・AB：ND=1：2,

/.CD：ND=1：2,

CD：(CD+2)=1：2,

:.CD=2,

4

・•.FD=

3

AFD：BM=1：3,

・•・DG：BG=1：3,

DG=—.

2

解析：

解：(1)见答案

(2)过点例作MF1BC交于点F,

与(1)证法类似：BD+2DE=BF=&BM,

故答案为：BD+2DE=y/2BM.

(3)见答案

(1)过点M作MF1BC交8。于点尸，推出FM=DN,根据4As证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF,

根据正方形的性质和勾股定理求出即可；

(2)过点M作MF18c交BQ于点F,推出FM=DN,根据445证4FFM^IIAEON全等，推出OE=EF,

根据正方形的性质和勾股定理求出即可；

(3)根据已知求出CM的长，证△ABFsADNF,得出比例式，代入后求出CO长，求出尸M长即可.

本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此

题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力.用的数学思想

是类比推理的思想.

21.答案：解:(1)根据题意得4=(一3)2-4卜20,

解得k<p

(2)k的最大整数为2,

方程/—3%4-fc=0变形为——3%+2=0,解得不=1,%2=2,

,・,一元二次方程(M—l)x2+%+m—3=0与方程/—3%4-fc=0有一个相同的根，

,当％=1时，m—l+1+m—3=0,解得m=|；

当％=2时，4(m—l)+24-m—3=0,解得m=l,

而m-1H0,

讥的值为|.

解析：本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0(aK0)的根与4=b2-4ac有如下关

系：当4>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当/<0时,

方程无实数根.

(1)利用判别式的意义得到/=(-3)z-4fc>0,然后解不等式即可；’

(2)利用(1)中的结论得到火的最大整数为2,解方程/-3x+2=0解得Xi=1,久2=2,把x=1和

x=2分别代入一元二次方程-l)x2+x+m-3=0求出对应的m,同时满足zn-1^0.

22.答案:(1)7,7,6.3；

(2)・.•甲、乙、丙三人的众数为7；7；6

甲、乙、丙三人的中位数为7；7；6

甲、乙、丙三人的平均数为7：7;6.3

二甲、乙较丙优秀一些，

・•・S[>s；

••・选乙运动员更合适；

(3)树状图如图所示，

乙里■■丙

甲"济甲"2

乙丙甲乙乙丙甲丙

第三轮结束时球回到甲手中的概率是P=9

o4

解析：解：(1)甲运动员测试成绩的众数和乙运动员的中位数都是7分.

运动员丙测试成绩的平均数为：+=6.3(分)

Z+4+o+l

故答案是：7；7；6.3；

(2)见答案；

(3)见答案.

(1)观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和乙运动员的中位数都是7分；

⑵易知S%=0.8、S；=0.4、S金=0.8,根据题意不难判断；

(3)画出树状图，即可解决问题；

本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关

键.

23.答案：解：(1)-AC1BD,

・•・BD1DEfAE1DE,

••・四边形AEDC是矩形，

.-.AC=DE=30米，

•••在RMABC中，Z.BAC=45°,

BC=AC=30米，

在RtzMCO中，tan30°=

CD=AC-tan30°=30Xy=10次(米),

•••BD=BC+CD=(30+10佝米;

•••大厦的高度8。为(30+10通)米；

(2):四边形4£。。是矩形，

AE=CD=10百米.

••・小玲家的高度AE为10百米.

解析：此题考查了仰角与俯角的定义.注意能借助仰角与仰角构造直角三角形并解直角三角形是关

键.

(1)易得四边形AEOC是矩形，即可求得AC的长，然后分别在RtAABC与中，利用三角函

数的知识求得BC与CD的长，继而求得答案；

(2)结合(1),由四边形AECC是矩形，即可求得小玲家的高度4E.

24.答案：解：(1)当04XW8时，设丫=心》+上

将(0,20),(8,100)代入丫=自%+人

得七=10,b=20,

所以当0WxW8时，y=10x+20；

当8cxWa时，设、=当，

将(8,100)代入,得Q=800,

所以当8<x〈a时，y=—：

X

故当0<x<8时，y=10x+20；当8<x<Q时，y=等；

(2)将y=20代入y=等，

解得a=40；

(3)・・•等W40,

・•・20<x<40.

所以李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前能喝到不超过40笃的开水,

则需要在7：50〜8：10时间段内接水.

解析：本题考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出两个函数的解

析式.

(1)由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得y与x的关系

式；

(2)将y=20代入y=手，即可得到”的值；

(3)要想喝到不超过40。(：的开水，7：30加20分钟即可接水，一直到8：10.

25.答案：(1)证明：如图1中，作于H.

OD

vPD1.AC,

•••乙PHM=NCOM=90°,

v乙PMH=4DMC,

•••Z.C=乙MPH,

4c=4乙FPM,

2

・・・乙HPF=(HPM,

v乙HFP+Z.HPF=90°,Z.HMP4-乙HPM=90°,

・・,乙PFH=乙PMH,

・・・OF=OC,

・•・Z.C=/.OFC,

vZ.C+Z.CDM=zC+Z-PMF=zC+Z-PFH=90°,

・・・乙OFC+乙PFC=90°,

・・・乙OFP=90°,

・•・直线PA是00的切线;

(2)解：如图1中，

图1

v44=30°,/.AFO=90°,

•••"OF=60°,

vZ.AOF=/.OFC+Z.OCF,/.OFC=Z.OCF,

：.ZC=30°,

•••(DO的半径为4,DM=1,

•1•OA=2OF=8,CD=y/3DM=V3,

•••OD=OC-CD=4一6,

：.AD^OA+OD=8+4-^3=12-43,

在RtzMDP中，

DP=AD-tan30°=(12-V3)Xy=4g-1.

PM=PD-DM=4V3-2;

(3)如图2中,

图2

由(2)可知：BF=^BC=4,FC=V3BF=473.CM=2DM=2,CD=6,

:.FM=FC-CM=46-2,

①当△CDH78FM时，器=*，

DH_V3

’4^2=7'

6—V3

・・・DH=---

②当△CDHsAMFB时，翳=*，

DHV3

—,

44V3-2