新高考数学一轮复习精讲精练8.4 均值与方差在生活中的运用（提升版）（原卷版）

8.4均值与方差在生活中的运用（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一均值与方差的性质【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：236PSKIPIF1<0SKIPIF1<0a则SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．6 C．8 D．18【例1-2】（2022·广西桂林）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则当a在（0，1）内增大时，（

）E（X）不变 B．E（X）减小C．V（X）先增大后减小 D．V（X）先减小后增大【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量SKIPIF1<0的分布列为下表所示，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<02．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下所示，则SKIPIF1<0（

）．X012PSKIPIF1<0aSKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·全国·高三专题练习（理））设SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0的分布列是SKIPIF1<00p1PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则当p在区间SKIPIF1<0内增大时，（

）A．SKIPIF1<0减小 B．SKIPIF1<0增大C．SKIPIF1<0先减小后增大 D．SKIPIF1<0先增大后减小考点二利用均值最决策【例2】1（2022·湖北·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为SKIPIF1<0，答对选择题的概率均为P，且能正确回答问题的概率与回答次序无关(1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．【一隅三反】1（2022·枣庄模拟）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为SKIPIF1<0元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，商品日销售量（单位：件）678910甲平台的天数1426262410乙平台的天数1025352010假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，（1）求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；（2）已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．2．（2022·南京模拟）空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：空气质量指数AQI空气质量等级[0，50]优（50，100]良（100，150]轻度污染（150，200]中度污染（200，300]中度污染（300，＋¥）严重污染下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30天）的情况：空气质量指数AQI[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]频数（单位：天）36156（1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）（2）如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：0.77≈0.0824，结果精确到0.01）（3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：更换滤芯数量（单位：个）345概率0.20.30.5已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n（n≥8，且n∈N*）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）考点三均值与其他知识的结合【例3】（2022·云南师大附中）某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为SKIPIF1<0，不合格者为SKIPIF1<0；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是SKIPIF1<0.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；(2)设2轮比赛中甲获得SKIPIF1<0的个数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望；(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）个SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最大时，求SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p，且每件零件是否合格是相互独立的.(1)已知SKIPIF1<0，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为SKIPIF1<0工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p的最小值？2.（2022·内蒙古）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：分段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数510a30a+510(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；②在[40，50)，[50，60)，[60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为SKIPIF1<0，每次考实践操作合格的概率均为SKIPIF1<0，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求SKIPIF1<0的取值范围.8.4均值与方差在生活中的运用（精练）（提升版）题组一均值与方差1．（2020·浙江·磐安县第二中学）已知随机变量SKIPIF1<0的分布列如下表所示：题组一均值与方差SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0>SKIPIF1<0，SKIPIF1<0>SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，SKIPIF1<0>SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0>SKIPIF1<0，SKIPIF1<0<SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，SKIPIF1<0<SKIPIF1<02．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0的分布列为X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0b则当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内增大时（

）A．SKIPIF1<0增大 B．SKIPIF1<0减小 C．SKIPIF1<0先减小后增大 D．SKIPIF1<0先增大后减小3．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设SKIPIF1<0，随机变量X的分布列是（

）XSKIPIF1<001PSKIPIF1<0bSKIPIF1<0则当a在SKIPIF1<0内增大时，（

）A．SKIPIF1<0增大 B．SKIPIF1<0减小 C．SKIPIF1<0先增大再减小 D．SKIPIF1<0先减小再增大4．（2022·全国·高三专题练习）从装有SKIPIF1<0个白球和SKIPIF1<0个黑球的袋中无放回任取SKIPIF1<0个球，每个球取到的概率相同，规定：（1）取出白球得SKIPIF1<0分，取出黑球得SKIPIF1<0分，取出SKIPIF1<0个球所得分数和记为随机变量SKIPIF1<0（2）取出白球得SKIPIF1<0分，取出黑球得SKIPIF1<0分，取出SKIPIF1<0个球所得分数和记为随机变量SKIPIF1<0则（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<05．（2022·浙江·三模）随机变量SKIPIF1<0的分布列如下所示，其中SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<001PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设SKIPIF1<0，随机变量SKIPIF1<0的分布列分别如下，则(

)SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<07．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为SKIPIF1<0，a，2，根据以往销售经验可得SKIPIF1<0，随机变量X的分布列为X0a2PSKIPIF1<0bSKIPIF1<0其中结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0题组二题组二利用均值做决策1．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．(1)求该团队能进入下一关的概率；(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目SKIPIF1<0的数学期望达到最小？并说明理由．2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为SKIPIF1<0．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．3．（2022·惠州模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为SKIPIF1<0.甲､乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？4．（2022·福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中SKIPIF1<0男子个人赛的规则如下：①共滑行5圈（每圈SKIPIF1<0），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；③如果选手有SKIPIF1<0发子弹未命中目标，将被罚时SKIPIF1<0分钟；④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.5．（2022·湛江模拟）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为SKIPIF1<0，B组3人康复的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求SKIPIF1<0；（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？题组三题组三均值与其他知识综合1．（2022·平江模拟）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共SKIPIF1<0份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有SKIPIF1<0份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为SKIPIF1<0．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；（2）记SKIPIF1<0为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．①当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0；②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：SKIPIF1<0）2．（2022·武昌模拟）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A、B、C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A、B、C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲、乙、丙、丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.（1）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗A的人数为SKIPIF1<0，求随机变量SKIPIF1<0的数学期望；（2）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗的种数为SKIPIF1<0，求随机变量SKIPIF1<0的分布列和数学期望.3（2022·黄山模拟）“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断”题和SKIPIF1<0道“信息连线”题，其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出SKIPIF1<0道“是非判断”和4道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的2道“是非判断”题和4道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的4题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；（2）已知该校高三（1）班共有SKIPIF1<0位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为SKIPIF1<0.①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；②求随机变量SKIPIF1<0的方差.4．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏．参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得SKIPIF1<0分，否则得SKIPIF1<0分．一位顾客可最多连续参加SKIPIF1<0次游戏．(1)求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数SKIPIF1<0的分布列与期望；(2)若连续参加游戏获得的分数总和不小于SKIPIF1<0分，即可获得一份大奖．顾客乙准备连续参加