人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案6：5 3 2 第2课时 函数的最大(小)值

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE15.3.2第2课时函数的最大(小)值〖目标导航〗课程标准课标解读1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．3.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.4.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题.〖知识精讲〗知识点1.函数的最大(小)值与导数(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间〖a，b〗上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在〖a，b〗上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的；②将函数y＝f(x)的与处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是．2.用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.〖即学即练1〗函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)（）A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值〖即学即练2〗函数在区间内的最小值为___________.〖即学即练3〗已知函数(x∈〖-2，2〗)，f(x)的最小值为1，则m=____.〖即学即练4〗函数的上的最大值是___________.〖即学即练5〗函数在上的最大值为_____.〖即学即练6〗已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是________.〖即学即练7〗已知，求的极值点以及极值、最值点以及最值．〖即学即练8〗已知函数.（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求该函数在上的最值.〖即学即练9〗求证：当时，．〖能力拓展〗考法01求函数的最值1.求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．2.对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．〖典例1〗求下列函数的最值：（1），；（2），；（3），．〖典例2〗已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间〖0,2〗上的最大值．〖即学即练10〗已知函数，则的最小值是______．〖即学即练11〗已知函数，则在区间上的最大值是________.〖即学即练12〗已知函数，则的最小值为_______．〖典例3〗如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，求小圆柱体积的最大值．考法02由函数的最值求参数已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．〖典例4〗若函数f(x)＝x3－3x－a在区间〖0，3〗上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.〖典例5〗已知函数（1）当a=0时，求函数在x=1处的切线方程（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（3）令，是否存在实数，当时，函数最小值为3.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.〖即学即练13〗若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为______.〖典例6〗已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈〖－1,2〗的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．考法03由极值与最值关系求参数范围函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．〖典例7〗若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．〖典例8〗若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))考法04与最值有关的恒成立与存在性问题分离参数求解不等式恒成立问题的步骤〖典例9〗已知函数，且，恒成立，则实数a的取值范围是_______.〖即学即练14〗已知函数，若存在，使得若存在成立，则的最小值为______〖即学即练15〗已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，函数的图象均在轴下方，求实数的取值范围．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁〖知识精讲〗知识点1.函数的最大(小)值与导数(1)连续不断．(2)①极值②各极值 端点 最大值 最小值〖即学即练1〗〖答案〗D〖解析〗f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值故选：D.〖即学即练2〗〖答案〗〖解析〗函数，导数为：，令，可得，或，，，函数单调递减，,，，函数单调递增，函数在区间,内的最小值为：．故〖答案〗为：．〖即学即练3〗〖答案〗1〖解析〗由求导得：，因x∈〖-2，2〗，则当时，，当时，，于是得f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此，当x=0时，，所以m=1.故〖答案〗为：1.〖即学即练4〗〖答案〗〖解析〗由题设，，易知：时，时，∴在上单调递增，在上单调递减，∴.故〖答案〗为：.〖即学即练5〗〖答案〗〖解析〗由题意，，令，当，故在单调递增；当，故在单调递减；当，在单调递减，单调递增，且，故函数在上的最大值为，故〖答案〗为：.〖即学即练6〗〖答案〗15x－3y－2＝0〖解析〗∵＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，∴max＝3＋2a2＝5，∵a>0，∴a＝1.∴＝－2x2＋4x＋3，＝－2＋4＋3＝5.又f(1)＝－＋2＋3＝，∴所求切线方程为y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.故〖答案〗为：15x－3y－2＝0〖即学即练7〗〖解〗，则，.得到；得到.故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极大值点，极大值为；是函数的极小值点，极小值为.时，，时，，函数无最值点和最值.〖即学即练8〗〖解〗（1），，，切线方程为，即：.（2）令，，，在递减，在递增，时，取得极小值，同时也是最小值，，.〖即学即练9〗〖证明〗设函数，则恒成立，当时，单调递增，所以在时，取得最大值，所以，即，所以.〖能力拓展〗考法01求函数的最值〖典例1〗〖解〗（1），当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上，当x变化时，与的变化情况如下表：x10极小值又，，，所以在上的最小值为，最大值为．（2），，令，得或．当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，在上，当x变化时，与的变化情况如下表：x1200极小值极大值又，，，，∴的最大值为2，最小值为．（3）∵，，，．令，得．在上，当x变化时，与的变化情况如下表：x120极小值0所以当时，取得极小值，也是最小值，且．又，，，∴，∴在上的最大值为，最小值为．〖典例2〗〖解〗f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2a,3).①当eq\f(2a,3)≤0，即a≤0时，f(x)在〖0,2〗上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②当eq\f(2a,3)≥2，即a≥3时，f(x)在〖0,2〗上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.③当0<eq\f(2a,3)<2，即0<a<3时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，2))上单调递增，从而f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a，0<a≤2，,0，2<a<3，))综上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a，a≤2，,0，a>2.))〖即学即练10〗〖答案〗〖解析〗由题意，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以时取得最小值，此时．当时，，当时，，所以的最小值是．〖即学即练11〗〖答案〗〖解析〗，当时，，所以函数在上递增，所以.故〖答案〗为：.〖即学即练12〗〖答案〗〖解析〗.，所以当时，，当时，.结合复合函数单调性同增异减可知，当时，有最小值为.故〖答案〗为：.〖典例3〗〖解〗小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等且为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0<h<5)，底面半径为r(0<r<5)．由于r，h和球的半径构成直角三角形，即r2＋h2＝52，所以小圆柱体积V＝πr2(h＋5)＝π(25－h2)(h＋5)(0<h<5)，V′＝－π(3h－5)(h＋5)．当0<h<时，V′>0，体积V单调递增；当<h<5时，V′<0，体积V单调递减．所以当h＝时，小圆柱的体积取得最大值，即Vmax＝π×＝.考法02由函数的最值求参数〖典例4〗〖答案〗20〖解析〗∵f′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴f(x)在〖0，1〗上单调递减，在〖1，3〗上单调递增．∴f(x)min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f(0)＝－a，f（3）＝18－a，∴f(0)＜f（3），∴f(x)max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.故〖答案〗为：20.〖典例5〗〖解〗（1）当时，，，，，所以函数在x=1处的切线方程为：，即.（2）若函数在区间上是减函数，即在上恒成立，只需在上的最小值，其中在上单调递减，故，所以，故实数的取值范围是.（3）存在，使得当时，函数最小值为3.理由如下：，，因为，，当时，恒成立，单调递减，故最小值为，解得：，与矛盾，舍去当时，令得：，令得：，即在单调递减，在单调递增，故，解得：所以存在实数，当时，函数最小值为3.〖即学即练13〗〖答案〗〖解析〗由得：，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，于是得，且，即，解得，所以实数的取值范围为.故〖答案〗为：〖典例6〗〖解〗由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在〖－1,2〗上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在〖－1,2〗上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.考法03由极值与最值关系求参数范围〖典例7〗〖答案〗〖解析〗，或时，，时，，所以在和上都递增，在上递减，，在区间上有最大值，则，解得．故〖答案〗为：．〖典例8〗〖答案〗D〖解析〗由题意得，函数f(x)＝x3－6bx＋3b的导数f′(x)＝3x2－6b在(0,1)内有零点，且f′(0)<0，f′(1)>0，即－6b<0，且(3－6b)>0，∴0<b<eq\f(1,2)，故选D.考法04与最值有关的恒成立与存在性问题〖典例9〗〖答案〗〖解析〗由函数〖解析〗式知：当有时