广东省2024年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷四含解析

2024年广东省一般中学学业水平考试数学模拟测试卷(四)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合M={1,2,3,4},集合N={1,3,5},则M∩N等于()A.{2} B.{2,3}C.{1,3} D.{1,2,3,4,5}2.下列函数为偶函数的是()A.y=sinx B.y=x3C.y=e|x-1| D.y=lnx3.某中学有高一年级560人,高二年级540人,高三年级520人,用分层抽样的方法抽取容量为81的样本,则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为()A.28,27,26 B.28,26,24C.26,27,28 D.27,26,254.设α为锐角,若cosa+π6=45,则sinA.1225 B.2425 C.-2425 D5.已知平面对量a=(0,-1),b=(2,2),|λa+b|=2,则λ的值为()A.1+2 B.2-1C.2 D.16.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y=5 B.4x-2y=5C.x+2y=5 D.x-2y=57.如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,依据三视图可以推断这四个几何体依次分别为()(1)(2)(3)(4)A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台8.已知f(x)=x+1x-2(x>0),则f(x)有()A.最大值为0 B.最小值为0C.最大值为-4 D.最小值为-49.利用计算机在区间(0,1)上产生随机数a,则使不等式9a2-9a+2<0成立的概率是()A.13 B.C.12 D.10.在△ABC中,A∶B=1∶2,sinC=1,则a∶b∶c=()A.1∶2∶3 B.3∶2∶1C.2∶3∶1 D.1∶3∶211.等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么{an}的前7项和S7=()A.22 B.24 C.26 D.2812.在△ABC中,N是AC边上一点,且AN=12NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+29A.19 B.C.1 D.313.cosπ12-sinπA.-32 B.-1C.12 D.14.已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形,若将该几何体削成球,则球的最大表面积是()A.16π B.8π C.4π D.2π15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=-10,an+1=an+3(n∈N*),则Sn取最小值时,n的值是()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.若点(2,1)在y=ax(a>0,且a≠1)关于y=x对称的图象上,则a=.

17.已知f(x)=x2+(m+1)x+(m+1)的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是(用区间表示).

18.设f(x)=lgx,x>0,10x,x19.已知4x+9y=1,且x>0,y>0,则x+y三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cosB-b=2a.(1)求角C的大小;(2)设角A的平分线交BC于D,且AD=3,若b=2,求△ABC的面积.21.已知圆C经过A(3,2),B(1,6)两点,且圆心在直线y=2x上.(1)求圆C的方程;(2)若直线l经过点P(-1,3)且与圆C相切,求直线l的方程.22.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)假如E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE;(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论.答案：1.C【解析】M∩N={1,2,3,4}∩{1,3,5}={1,3},故选C.2.D【解析】选项A,B为奇函数,选项C为非奇非偶函数,lnx2+1=ln(-3.A【解析】依据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为81560+540+520=120,则在高一年级抽取的人数是560×120=28(人),高二年级抽取的人数是540×120=27(人),高三年级抽取的人数是520×4.B【解析】因为α为锐角,且cosa+所以sina+所以sin2a+π=2sina+π=2×355.C【解析】λa+b=(2,2-λ),那么4+(2-λ)2=4,解得,λ=2.故选C.6.B【解析】线段AB的中点为2,32,kAB=1∴垂直平分线的斜率k=-1k∴线段AB的垂直平分线的方程是y-32=2(x-2)⇒4x-2y-5=0.故选B7.C【解析】(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱.(2)三视图复原的几何体是四棱锥.(3)三视图复原的几何体是圆锥.(4)三视图复原的几何体是圆台.所以(1)(2)(3)(4)的依次为:三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台.故选C.8.B【解析】由x>0,可得1x>即有f(x)=x+1x-2≥2x·1x-2=2当且仅当x=1x,即x=1时,取得最小值09.A【解析】解不等式知13<a<23,区间长度为1310.D【解析】在△ABC中,A∶B=1∶2,sinC=1,可得A=30°,B=60°,C=90°.a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=12∶32∶1=1∶故选D.11.D【解析】∵等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,∴3a4=a3+a4+a5=12,解得a4=4,∴S7=7(a1+a7)2=12.B【解析】如图,因为AN=所以AN=13AC,因为B,P,N三点共线,所以m+23=1,所以m=113.D【解析】cosπ12-sinπ12cosπ12+sinπ12=cos14.C【解析】∵三视图均为边长为2的正方形,∴几何体是边长为2的正方体,将该几何体削成球,则球的最大半径为1,表面积是4π×12=4π.故选C.15.B【解析】在数列{an}中,由an+1=an+3,得an+1-an=3(n∈N*),∴数列{an}是公差为3的等差数列.又a1=-10,∴数列{an}是公差为3的递增等差数列.由an=a1+(n-1)d=-10+3(n-1)=3n-13≥0,解得n≥133∵n∈N*,∴数列{an}中从第五项起先为正值.∴当n=4时,Sn取最小值.故选B.16.2【解析】∵点(2,1)在y=ax(a>0,且a≠1)关于y=x对称的图象上,∴点(1,2)在y=ax(a>0,且a≠1)的图象上,∴2=a1,解得a=2.17.(-1,3)【解析】依题意Δ=(m+1)2-4(m+1)=(m+1)(m-3)<0⇒-1<m<3,故m的取值范围用区间表示为(-1,3).18.-2【解析】∵x=-2<0,∴f(-2)=10-2∴f(10-2)=lg10-2=-2,即f(f(-2))=-2.19.25【解析】∵4x+9y=1,且∴x+y=4x+9=13+4yx+9xy当且仅当4yx=9xy20.【解】(1)由已知及余弦定理得2c×a2+c2整理得a2+b2-c2=-ab,∴cosC=a2+b又0<C<π,∴C=2π3,即角C的大小为(2)由(1)C=2π3,依题意画出图形.在△ADC中,AC=b=2,AD=由正弦定理得sin∠CDA=AC·又△ADC中,C=2π∴∠CDA=π4故∠CAD=π-2π∵AD是角∠CAB的平分线,∴∠CAB=π6∴△ABC为等腰三角形,且BC=AC=2.∴△ABC的面积S=12BC·ACsin221.【解】(1)方法一:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),依题意得,(解得a=2,b=4,r2=5.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.方法二:因为A(3,2),B(1,6),所以线段AB中点D的坐标为(2,4),直线AB的斜率kAB=6-2因此直线AB的垂直平分线l'的方程是y-4=12(x-2),即x-2y+6=0圆心C的坐标是方程组x-2解此方程组,得x=2,y=4圆C的半径长r=|AC|=(3所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.(2)由于直线l经过点P(-1,3),当直线l的斜率不存在时,x=-1与圆C:(x-2)2+(y-4)2=5相离.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0.因为直线l与圆C相切,且圆C的圆心为(2,4),半径为5,所以有|2解得k=2或k=-12所以直线l的方程为y-3=2(x+1)或y-3=-12(x+即2x-y+5=0或x+2y-5=0.22.【解】(1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA为此四棱锥底面上的高.∴V四棱锥PABCD=13S正方形ABCD·PA=