江苏省赣榆县海头高级中学高考5月模拟考试数学试题

海头高中2018届高考模拟考试试卷高三数学（2018.05）试题Ⅰ注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分.本试卷满分160分，考试时间120分钟.2.答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．3.答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案直接填写在答题卡相应位置上.1.设全集，集合，，，则实数a的值为▲．2．已知复数满足（为虚数单位），则▲.3．右图是一个算法流程图，则输出的的值▲.4．为了解1000名学生的学习情况，现采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本，则抽样中分段的间隔为▲.5．若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为▲.6．设实数满足条件，则的最大值为▲.7．一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色，若随机投掷该四面体两次，则两次底面颜色相同的概率是▲．8．函数的定义域为▲.9．已知，则的值为▲．10．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为▲.11．对于任一实数序列，定义为序列，它的第项是，假定序列的所有项都是，且，则▲．12．已知正实数满足，，则实数的取值范围是▲．13．在平面内，动点P，M满足则的最大值为▲.14．已知函数.若关于的方程有两个不等实根，且，则的最小值是▲.15．（本小题满分14分）在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，且，求.16．（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，//，，为的中点．（1）求证：；（2）求证：//平面.17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的左，右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且．若，求直线的斜率．18．（本小题满分16分）习总书记在十九大报告中明确指出，“要着力解决突出环境问题，坚持全民共治，源头防治，持续实施大气污染防治行动，打赢蓝天保卫战．”为落实十九大报告精神，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为：，其中是与气象有关的参数，且．（1）令，，求的最值；（2）若用每天的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？19．（本小题满分16分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，，设.①求证：不等式在定义域上恒成立；②若函数在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）设是公差为的等差数列，是公比为()的等比数列．记．（1）求证：数列为等比数列；（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34.①求数列和的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合，，…，(，)，使得数列，，…，为等差数列？证明你的结论．海头高中2018届高考模拟考试试卷高三数学（2018.05）试题Ⅱ21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．A.（选修41：几何证明选讲）如图，是圆的直径，弦，的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为．求证：．AABCDEF(第21－A题)OB．（选修42：矩阵与变换）已知矩阵，向量，计算．C（选修44：坐标系与参数方程）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，有相同单位长度的极坐标系中，直线：.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求与直线平行且与曲线相切的直线的直角坐标方程.D．（选修4－5：不等式选讲）设，证明：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）有编号为的个学生，入坐编号为的个座位.每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ时，共有种坐法.(1)求的值；(2)求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.23．（本小题满分10分）已知数列的通项公式为.记.(1)求的值；(2)求所有正整数n,使得能被8整除.

海头高中2018届高考模拟考试试卷高三数学（2018.05）试题Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．82．3．4．5．6．67．8．9．10．11．12．13．14．15.解：（Ⅰ）因为，所以由，即，………………2分由正弦定理得，即，∵，………………4分∴，即，∵，∴，∴，∵，∴.………………6分（Ⅱ）∵，∴，………………8分∵，，………………10分∴，即，………………12分∴………………14分16．证明：(1)平面，平面MO四边形是正方形………………3分MO平面，平面平面………………6分四边形是正方形为的中点………………8分(2)连结AC交BD于O四边形是正方形是AC中点取PC中点M，连结EM又是平行四边形即平面，平面//平面………………14分17.解：（1）因为椭圆经过点和点，所以………………2分解得，所以椭圆的方程为．………………6分（2）解法一：由（1）可得，设直线的斜率为，则直线的方程为．由方程组消去，整理得，解得或，所以点坐标为．………………8分由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为．………………10分所以，．若，则．………………14分解得，所以，即直线的斜率．………………16分解法二：由（1）可得，设（），则①，……8分直线，由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为．………………10分所以，，若，则，所以②，……12分由①②可得，即，所以或(舍)，．所以，即直线的斜率．………………16分18.解：（1）………………2分………………4分………………6分（2）由（1）………………8分在和，在；………………10分………………12分………………14分（15分）目前市中心的综合污染指数没有超标.………………16分19．解析：（1）当时，即为，所以不等式的解集为……………….3分①（法一）有题意知可令：则有又因为时有，时有，即函数在所以即有；得证………………8分（法二）先证，再取可得证明②由题意知则有若，由时有，可得，即有函数在定义域则此时函数在定义域上至多有一个零点，与题设矛盾；………………10分若，由①知，所以当时，又因为，则有当时可有，当，；可知恒成立；………………12分若，令，易知其在定义域，又可知存在，有，且有函数在此时………………14分下证：函数在内分别存在两个正数，一方面考虑，又因为，且，且函数在区间上连续可得在上有唯一零点；另一方面考虑，再构造函数，则，则则可知在单调增，又可知在单调增，又，又因为，且，且函数在区间上连续可得在上有唯一零点；综上，当满足题意………………16分②法二：由题意知则有构造函数的话可以将合并研究，无需再细分，其他相同；法三：取，则等价于，再考虑为单调函数且其值域为，可将问题转化为在上有两个零点.20.解：（1）证明：依题意，……2分从而，又，……4分所以是首项为，公比为的等比数列．……5分（2）①法1：由（1）得，等比数列的前3项为，，，则，解得，从而，……7分且解得，，……9分所以，．……10分法2：依题意，得……7分消去，得消去，得消去，得，从而可解得，，，，……9分所以，．……10分②假设存在满足题意的集合，不妨设，，，，且，，，成等差数列，则，因为，所以，①若，则，结合①得，，化简得，，因为，，不难知，这与②矛盾，所以只能，同理，，……14分所以，，为数列的连续三项，从而，即，故，只能，这与矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合．……16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）海头高中2018届高考模拟考试试卷高三数学（2018.05）试题Ⅱ参考答案21.A.连接，因为为圆的直径，所以,又，则四点共圆，,,又～，即..B．因为，由，得或．………………2分当时，对应的一个特征向量为；当时，对应的一个特征向量为．………………5分设，解得,所以………………10分C．试题解析：（1）曲线C：，平方可得：：曲线C的普通方程：x2＋y2＝4.………………3分直线l：，，由得直线l的直角坐标方程：x＋y－2＝0.………………5分（2）所求直线方程为：∵圆心(0,0)半径为2，圆心C到直线的距离，所以所求直线方程为：………………10分D．（选修4－5：不等式选讲）证明：由柯西不等式，得，即，所以．22．解：(1)∵当ξ=2时,有种坐法，∴，即或(舍去)，………………3分(2)∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，∴P(ξ=0)=，……4P(ξ=2)=，……5P(ξ=3)=，……6P(ξ=4)=，……7∴ξ的概率分布列为：………………8分

ξ

0

2