考研数学一（高等数学）模拟试卷3（共279题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷3（共9套）（共279题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、当x→1时，函数f(x)=的极限()A、等于2。B、等于0。C、为∞。D、不存在，但不为∞。标准答案：D知识点解析：因为故当x→1时，函数极限不存在，也不是∞，应选D。2、设f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分必要条件是()A、f(a)=0，且f’(a)=0。B、f(a)=0，且f’(a)≠0。C、f(a)＞0，且f’(a)＞0。D、f(a)＜0，且f’(a)＜0。标准答案：B知识点解析：若f(a)≠0，由复合函数求导法则有因此排除C和D。(当f(x)在x=a可导，且f(a)≠0时，｜f(x)｜在x=a点可导。)当f(a)=0时，上两式分别是｜f(x)｜在x=a点的左右导数，因此，当f(a)=0时，｜f(x)｜在x=a点不可导的充要条件是上两式不相等，即f’(a)≠0时，故选B。3、设f(x)在(-∞，+∞)上可导，x0≠0，(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，则()A、x0必是f’(x)的驻点。B、(-x0，-f(x0))必是y=-f(-x)的拐点。C、(-x0，-f(x0))必是y=-f(x)的拐点。D、对任意x＞x0与x＜x0，y=f(x)的凹凸性相反。标准答案：B知识点解析：从几何上分析，y=f(x)与y=-f(-x)的图形关于原点对称。x0≠0，(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，则(-x0，-f(x0))是y=-f(-x)的拐点。故选B。4、定积分=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：这是无界函数反常积分，x=±1为瑕点，与求定积分一样，作变量替换x=sint，5、设f(x，y)=则fx(0，1)()A、等于1。B、等于0。C、不存在。D、等于-1。标准答案：A知识点解析：6、设f(x，y)连续，且f(x，y)=xy+f(u，v)dudv，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围成的区域，则f(x，t)等于()A、xy。B、2xy。C、xy+D、xy+1。标准答案：C知识点解析：等式f(x，y)=xy+两端积分得7、设幂级数的收敛半径为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题设条件可知于是幂级数的收敛半径为二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)8、=_________。标准答案：知识点解析：运用洛必达法则，则有9、已知y=lnlnlnx，则y’=__________。标准答案：知识点解析：10、设f(x)在x=0处连续，且，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为_______。标准答案：知识点解析：当x→0时，arcsinx-x～x3，1-cosx=2sin2。由极限的运算法则可得从而=1。又因为f(x)在x=0处连续，所以f(0)==1。根据导数的定义可得所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为11、=______。标准答案：知识点解析：12、点(2，1，0)到平面3x+4y+5z=0的距离d=_______。标准答案：知识点解析：利用点到平面的距离公式可得13、函数f(x，y，z)=x3+y4+z2在点(1，1，0)处方向导数的最大值与最小值之积为______。标准答案：-25知识点解析：函数f(x，y，z)在点(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值分别为f(x，y，z)在该点处梯度向量的模和梯度向量模的负值。gradf｜(1,1,0)=(3，4，0)，则函数f(x，y，z)=x3+y2+z2在点(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值之积为｜｜g｜｜(-｜｜g｜｜)=-｜｜g｜｜2=-25。14、Ω是由曲面z=xy与平面y=x，x=1和z=0所围成的闭区域，则xy2z3dxdydz=_______。标准答案：知识点解析：由题干可知，闭区域Ω={(x，y，z)｜0≤z≤xy，0≤y≤x，0≤x≤1}。则15、设Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤z≤1}，则Ω的形心的竖坐标=________。标准答案：知识点解析：16、微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解为________。标准答案：知识点解析：原方程等价于于是通解为由y(1)=解得C=0。故所求解为三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)17、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析18、证明当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。标准答案：令f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。又可见，当0＜x＜1时，f’’(x)＜0；当1＜x＜+∞时，f’’(x)＞0。所以当x＞0时，f’’(x)＞f’’(1)=2＞0，即f’(x)单调递增，因此，当0＜x＜1时，f’(x)＜f’(1)=0；当1＜x＜+∞时，f’(x)＞f’(1)=0。所以f(x)≥f(1)=0(0＜x＜+∞)，即证得当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。知识点解析：暂无解析19、计算标准答案：使用分部积分法和换元积分法。由题设知f(1)=0，知识点解析：暂无解析20、设摆线试求L绕x轴旋转一周所得的旋转曲面的面积。标准答案：x’(θ)=1-cosθ，y’(θ)=sinθ，按旋转面面积计算公式。可得旋转曲面的面积知识点解析：暂无解析21、求f(x，y)=的极值。标准答案：先求函数f(x，y)=的驻点，令fx(x，y)=e-x=0，fy(x，y)=-y=0，解得函数f(x，y)的驻点为(e，0)。又A=fxx(e，0)=-1，B=fxy(e，0)=0，C=fyy(e，0)=-1，B2-AC＜0，A＜0。故f(x，y)在点(e，0)处取得极大值f(e，0)=知识点解析：暂无解析22、计算曲线积分I=，其中L是以点(1，0)为中心，R为半径的圆周(R＞1)，取逆时针方向。标准答案：由题干可知则有作足够小的椭圆(t∈[0，2π]，C取逆时针方向)，于是由格林公式有从而有知识点解析：暂无解析23、设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中其侧面满足方程z=h(t)-(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多长时间?标准答案：设t时刻雪堆的体积为V(t)，侧面积为S(t)。先求S(t)与V(t)的表达式。侧面方程是其中Dxy：x2+y2≤。作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，则体积减少的速度是，它与侧面积成正比(比例系数为0．9)，即将V(t)与S(t)的表达式代入得解得h(t)=+130。令h(t)=0，得t=100。因此，高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。知识点解析：暂无解析24、设a1=2，an+1=(n=1，2，…)。证明标准答案：(Ⅰ)显然an＞0(n=1，2…)，由均值不等式易知所以{an}单调递减且有下界，故极限存在。(Ⅱ){an}单调递减，则，原级数是正项级数。由an≥1得而级数的部分和为由比较判别法知收敛。知识点解析：暂无解析25、将函数f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦函数。标准答案：由傅里叶级数展开式，可得知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、曲线y=的渐近线有()。A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：由为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为x→1及x→2时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选(B)．2、函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点，则k的范围为()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2标准答案：C知识点解析：，令f’(x)=3x2—3=0，得x=±1，f"(x)=6x，由f"(一1)=一6＜0，得x=—1为函数的极大值点，极大值为f(—1)=2+k，由f"(1)=6＞0，得x=1为函数的极小值点，极小值为f(1)=一2+k，因为f(x)=x3一3x+k只有一个零点，所以2+k＜0或一2+k＞0，故|k|＞2，选(C)．3、设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且=0，则f(x)在x=0处()．A、可导，且f’(0)=0B、可导，且f’(0)=一1C、可导，且f’(0)=2D、不可导标准答案：B知识点解析：4、设f(x)在x=0的某邻域内连续，若=2，则f(x)在x=0处()．A、不可导B、可导但f’(0)≠0C、取极大值D、取极小值标准答案：D知识点解析：由=2得f(0)=0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，＞0，从而f(x)＞0=f(0)，由极值的定义得f(0)为极小值，应选(D)．5、设函数f(x)在｜x｜＜δ内有定义且｜f(x)｜≤x2，则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0标准答案：C知识点解析：6、设y=y(x)由x一∫1x+ydt=0确定，则y"(0)等于()．A、2e2B、2e—2C、e2一1D、e—2—1标准答案：A知识点解析：7、当x∈[0，1]时，f"(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小次序为()．A、f’(0)＞f(1)一f(0)＞f’(1)B、f’(0)＜f’(1)＜f(1)一f(0)C、f’(0)＞f’(1)＞f(1)一f(0)D、f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)标准答案：D知识点解析：由拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(c)(0＜c＜1)，因为f"(x)＞0，所以f’(x)单调增加，故f’(0)＜f’(c)＜f’(1)，即f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)，应选(D)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)8、设f(x)=可导，则a=___________，b=___________．标准答案：3，—2知识点解析：f(1—0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1；因为f(x)在x=1处可导，所以a=3，故a=3，b=一2．9、设f(x)为奇函数，且f’(1)=2，则=___________．标准答案：6知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，由=3f’(—1)=3f’(1)=6．10、设f(x)=，且f’(0)存在，则a=___________，b=___________，c=___________．标准答案：2，—2，2知识点解析：f(0+0)==a，f(0)=2，f(0—0)=c，因为f(x)在x=0处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(0—0)，因为f(x)在x=0处可导，即f’+(0)=f’—(0)，故b=一2．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)11、设f(x)二阶连续可导，且f(0)=f’(0)=0，f"(0)≠0，设u(x)为曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线在x轴上的截距，求．标准答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))的切线为Y一f(x)=f’(x)(X—x)，知识点解析：暂无解析12、设f(x)在x=a处二阶可导，证明：=f"(a)．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，求[∫—aaf(x+a)dx一∫—aaf(x—a)dx]．标准答案：∫—aaf(x+a)dx—∫—aaf(x—a)dx=∫—aaf(x+a)d(x+a)一∫—aaf(x—a)d(x一a)=∫02af(x)dx一∫—2a0f(x)dx=∫02af(x)dx+∫02af(x)dx，知识点解析：暂无解析14、设．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设f(x)连续，且g(x)=∫0xx2f(x—t)dt，求g’(x)．标准答案：g(x)=—x2∫0xf(x—t)d(x一t)—x2∫x0f(u)du=x2∫0xf(u)du，g’(x)=2x∫0xf(u)du+x2f(x)．知识点解析：暂无解析16、证明曲线上任一点的切线的横截距与纵截距之和为2．标准答案：知识点解析：暂无解析17、举例说明函数可导不一定连续可导．标准答案：而f’(0)=0，所以f(x)在x=0处可导，但f’(x)在x=0处不连续．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)—f(y)｜≤M｜x—y｜k．(1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续；(2)证明：当｜k｜＞1时，f(x)=常数．标准答案：(1)对任意的x0∈[a，b]，由已知条件得0≤|f(x)一f(x0)|≤M|x—x0|k，=f(x0)，再由x0的任意性得f(x)在[a，b]上连续．(2)对任意的x0∈[a，b]，因为k＞1，所以0≤≤M|x—x0|k—1，由夹逼定理得f’(x0)=0，因为x0是任意一点，所以f’(x)≡0，故f(x)≡常数．知识点解析：暂无解析19、设f(x)=处处可导，确定常数a，b，并求f’(x)．标准答案：由f(x)在x=0处连续，得b=0．知识点解析：暂无解析20、设对一切的x，有f(x+1)=—2f(x)，且当x∈[0，1]时f(x)=x(x2一1)，讨论函数f(x)在x=0处的可导性。标准答案：因为f’—(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0处不可导．知识点解析：暂无解析21、求曲线y=的上凸区间．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(x)二阶可导，f(0)=0，令g(x)=(1)求g’(x)；(2)讨论g’(x)在x=0处的连续性．标准答案：所以g’(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)．使得。标准答案：令F(x)=lnx，F’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得知识点解析：暂无解析25、求常数a，b使得在x=0处可导．标准答案：因为f(x)在x=0处可导，所以f(x)在x=0处连续，从而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0一0)=3b，知识点解析：暂无解析26、设f(x)=，验证f(x)在[0，2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求(0，2)内使得f(2)一f(0)=2f’(ξ)成立的ξ。标准答案：由f(1—0)=f(1)=f(1+0)=1得f(x)在x=1处连续，从而f(x)在[0，2]上连续．得f(x)在x=1处可导且f’(1)=一1，从而f(x)在(0，2)内可导，故f(x)在[0，2]上满足拉格朗日中值定理的条件．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f(x)在x=0的某邻域内连续，若，则f(x)在x=0处()．A、不可导B、可导但f’(0)≠0C、取极大值D、取极小值标准答案：D知识点解析：2、设函数f(x)在｜x｜<δ内有定义且｜f(x)｜≤x2，则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0标准答案：C知识点解析：3、设y=y(x)由确定，则y"(0)等于()A、2e2B、2e-2C、e2一1D、e-2一1标准答案：A知识点解析：4、当x∈[0，1]时，f"(x)>0，则f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小次序为()．A、f’(0)>f(1)一f(0)>f’(1)B、f’(0)C、f’(0)>f’(1)>f(1)一f(0)D、f’(0)标准答案：D知识点解析：由拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(c)(00，所以f’(x)单调增加，故f’(0)5、设f"(x)连续，f’(0)=0，则()．A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐点D、f(0)非极值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：6、设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：7、设f(x)连续，且f’(0)>0，则存在δ>0，使得()．A、f(x)在(0，δ)内单调增加B、f(x)在(一δ，0)内单调减少C、对任意的x∈(一δ，0)，有f(x)>f(0)D、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)>f(0)标准答案：D知识点解析：8、A、不连续B、连续但不可导C、可导但导数不连续D、导数连续标准答案：D知识点解析：9、A、不连续B、连续但不可导C、可导但不是连续可导D、连续可导标准答案：D知识点解析：10、若f(一x)=一f(x)，且在(0，+∞)内f’(x)>0，f"(x)>0，则在(一∞，0)内()．A、f’(x)<0，f(x)<0B、f(x)<0，f"(x)>0C、f’(x)>0，f(x)<0D、f’(x)>0，f"(x)>0标准答案：C知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，故在(一∞，0)内有f’(x)>0．因为f"(x)为奇函数，所以在(一∞，0)内f"(x)<0，选二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、设f(x)为奇函数，且f’(1)=2，则=__________标准答案：6知识点解析：12、设且f’(0)存在，则a=________，b=________，c=_________标准答案：a=2，b=-2，c=2知识点解析：13、设函数y=f(x)由方程xy+2Inx=y4所确定，则曲线y=f(x)在(1，1)处的法线方程为__________。标准答案：y=-x+2知识点解析：14、标准答案：知识点解析：15、设f(u)可导，y=f(x2)在x0=-1处取得增量△x=0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f’(1)=________。标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：因为f(x)在x=0处可导，所以f(x)在x=0处连续，从而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0一0)=3b，知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，显然φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，由φ’(x)=(b一x)a-1[(b一x)f’(x)一af(x)]得(b一ξ)a-1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b—ξ)a-1≠0，故．知识点解析：暂无解析23、设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)<0，试证明存在ξ∈(a，b)使标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g’(x)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得.标准答案：令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)一f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，所以知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得标准答案：知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，证明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．标准答案：知识点解析：暂无解析29、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a>0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得标准答案：知识点解析：暂无解析30、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c，f(c))(其中a标准答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因为点A，B，C共线，所以f’(ξ1)=f’(ξ2)，又因为f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f"(ξ)=0．知识点解析：暂无解析31、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．标准答案：因为f(x)在[a，b]上不恒为常数且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨设f(c)>f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、设f(x)在[a，b]上满足｜f"(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．标准答案：因为f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)为f(x)在[a，b]上的最小值，从而f’(c)=0．由微分中值定理得知识点解析：暂无解析34、设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：标准答案：由泰勒公式得知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、微分方程y"一4y=e2x+x的特解形式为()．A、ae2x+bx+cB、ax2e2x+bx+cC、axe2x+bx2x+cxD、axe2x+bx+c标准答案：D知识点解析：y"一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为λ1=一2，λ2=2．y"一4y=e2x的特解形式为y1=axe2x，y"一4y=x的特解形式为y2=bx+c，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，应选(D)．2、微分方程y"一4y=x+2的通解为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：微分方程y"一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为一2，2，则方程y"一4y=0的通解为C1e—2x+C2e2x，显然方程y"一4y=x+2有特解，选(D)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)3、yy"=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的解为___________．标准答案：±x知识点解析：令y’=p，则，解得ln(1+p2)=lny2+lnC1，则1+p2=C1y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’—±，ln|y+=±x．4、设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y"一6y’+9y=e3x，则y(x)=___________．标准答案：2xe3x+x2e3x知识点解析：由题意得y(0)=0，y’(0)=2，y"一6y’+9y=e3x的特征方程为λ2一6λ+9=0，特征值为λ1=λ2=3，令y"一6y’+9y=e3x的特解为y0(x)=ax2e3x，代入得a=，故通解为y=(C1+C2x)e3x+x2e3x．由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，则y(x)=2xe3x+x2e3x．5、微分方程2y"=3y2满足初始条件y(一2)=1，y’(—2)=1的特解为___________．标准答案：x=一知识点解析：令y’=p，则y"==3y2，解得p2=y2+C，由y(—2)=1，y’(一2)=1，得C1=0，所以y’==x+C2，再由y(—2)=1，得C2=0，所求特解为x=一．6、微分方程xy’=的通解为___________．标准答案：arcsin=ln|x|+C知识点解析：7、设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e—4x+x2+3x+2，则Q(x)=___________，该微分方程的通解为___________．标准答案：Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19，y=C1e—4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)知识点解析：显然λ=一4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=一12，即特征方程为λ2+λ一12=0，特征值为λ1=一4，λ2=3．因为x2+3x+2为微分方程y"+y’一12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19，且通解为y=C1e—4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)．8、以y=C1e—2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为___________．标准答案：y"+y’一2y=一sinx一3cosx知识点解析：特征值为λ1=一2，λ2=1，特征方程为λ2+λ一2=0，设所求的微分方程为y"+y’一2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=一sinx一3cosx，所求微分方程为y"+y’一2y=一sinx一3cosx．9、设y"一3y’+ay=一5e—x的特解形式为Axe—x，则其通解为___________．标准答案：y=C1e—x+C2e4x+xe—x知识点解析：因为方程有特解Axe—，所以一1为特征值，即(—1)2—3×(一1)+a=0→a=—4，所以特征方程为λ2一3λ一4=0→λ=一1，λ=4，齐次方程y"—3y’+ay=0的通解为y=C1e—x+C2e4x，再把Axe—x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C1e—x+C2e4x+xe—x．10、设f(x)可导，且∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=___________．标准答案：f(x)=e—x知识点解析：由∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1得∫01f(x)dt+∫01f(xt)d(xt)=1，整理得f(x)+∫0xf(u)du=1，两边对x求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce—x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e—x．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、求微分方程xy"=y’2满足初始条件y(0)=y’(0)=1的特解．标准答案：y=C2e—∫—dx=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解为y=ex．知识点解析：暂无解析12、一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．标准答案：设切点为P(x，y)，曲线上P点处的切线为Y—y=y’(X—x)，令X=0，得Y=y—xy’，切线与y轴的交点为Q(0，y一xy’)，知识点解析：暂无解析13、设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．标准答案：知识点解析：暂无解析14、用变量代换x=sint将方程(1一x2)一4y=0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．标准答案：故原方程的通解为y=C1e—2arcsinx+C2e2arcsinx．知识点解析：暂无解析15、设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e—x一3e2x为特解，求该微分方程．标准答案：因为y1=e2x，y2=2e—x一3e2为特解，所以e2x，e—x也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1=一1，λ2=2，特征方程为(λ+1)(λ一2)=0即λ2一λ一2=0，所求的微分方程为y"一y’一2y=0．知识点解析：暂无解析16、求微分方程y"+2y’一3y=(2x+1)ex的通解．标准答案：特征方程为λ2+2λ一3=0，特征值为λ=1，λ=一3，则y"+2y’一3y=0的通解为y=C1ex+C2e—3x．令原方程的特解为y0=x(ax+b)ex，代入原方程得a=，所以原方程的通解为y=C1ex+C2e—3x+(2x2+x)ex．知识点解析：暂无解析17、求y"一2y’一e2x=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．标准答案：原方程可化为y"一2y’=e2x，特征方程为λx一2λ=0，特征值为λ1=0，λ2=2，y"一2y’=0的通解为y=C1+C2e2x．设方程y"一2y’=e2x的特解为y0=Axe2x，代入原方程知识点解析：暂无解析18、求微分方程y"+4y’+4y=eax的通解．标准答案：特征方程为λ+4λ+4=0，特征值为λ1=λ2=一2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y=(C1+C2x)e—2x．(1)当a≠一2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y0(x)=Aeax，代入原方程得A=；(2)当a=一2时，因为a=一2为二重特征值，所以设原方程的特解为y(x)=Ax2e—2x，代入原方程得A=xxe—2x．知识点解析：暂无解析19、求微分方程y"+y=x2+3+cosx的通解．标准答案：特征方程为λ2+1=0，特征值为λ1=一i，λ2=i，方程y"+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx．对方程y"+y=x2+3，特解为y1=x2+1；对方程y"+y=cosx，特解为xsinx，则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1+xsinx．知识点解析：暂无解析20、求微分方程x3y"’+2x2y"一xy’+y=0的通解．标准答案：令x=et，则xy’=D，x2y"=D(D一1)，x3y"’=D(D—1)(D一2)，即知识点解析：暂无解析21、求微分方程x2y"一2xy’+2y=x一1的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．标准答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F=ma=解此微分方程得v(t)=v0e．由v0e=得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为S=∫0ln3v0e—tdt=v0．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(x)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知|MA|=|OA|，且L经过点()，求L的方程．标准答案：设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y—y=y’(X—x)．令X=0，则Y=y—xy’，故A点的坐标为(0，y—xy’)．知识点解析：暂无解析25、在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．标准答案：设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为知识点解析：暂无解析26、一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．标准答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f’(x)一f(x)=a(x一1)，y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．标准答案：由f’(x)一f(x)=a(x一1)得f(x)=[a(x一1)e∫—1dxdx+C]e—∫—1dx=Cex—ax，由f(0)=1得C=1，故f(x)=e2—ax．所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=ex一3x．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、累次积分等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤x≤1，0≤y≤，选(D)．2、设D＝{(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π)，则等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据对称性，令D1＝{(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤x}，3、设，其中D：x2＋y2≤a2，则a为()．A、1B、2C、D、标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、标准答案：－xf(x2－1)知识点解析：5、设f(x，y)在区域D：x2＋y2≤t2上连续且f(0，0)＝4，则标准答案：8π知识点解析：6、设f(x)连续，则标准答案：知识点解析：7、设a＞0，f(x)＝g(x)＝而D表示整个平面，则标准答案：a2知识点解析：8、标准答案：知识点解析：在D1＝{(x，y)｜—∞＜x＜＋∞，0≤y≤1}上，f(y)＝y；在D2：0≤x＋y≤1上，f(x＋y)＝x＋y，则在D0＝D1∩D2＝{(x，y)｜—y≤x≤1一y,0≤y≤1)上，f(y)f(x＋y)＝y(x＋y)，9、设连续函数f(x)，f(0)＝0，F(t)＝[z2＋f(x2＋y2)]dxdydz，Ωt：x2＋y2≤t2，0≤z≤1，则标准答案：知识点解析：10、设L为从点A(0，一1，1)到点B(1，0，2)的直线段，则＝__________。标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)11、设函数z＝f(u)，方程u＝φ(u)＋确定u为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求．标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、求二元函数z＝f(x，y)＝x2y(4一x—y)在由z轴、y轴及x＋y＝6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．标准答案：(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值，在L1：y＝0(0≤x≤6)上，z＝0；在L2：x＝0(0≤y≤6)上，z＝0；在L3：y＝6一x(0≤x≤6)上，z＝一2x2(6一x)＝2x3一12x2，由＝6x2一24x＝0得x＝4，因为f(0，0)＝0,f(6，0)＝0,f(4，2)＝一64，所以f(x，y)在L3上最小值为一64，最大值为0．(2)在区域D内，由得驻点为(2，1)，因为AC—B2＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大点，极大值为f(2，1)＝4，故z＝f(x，y)在D上的最小值为m＝f(4，2)一64，最大值为M＝f(2，1)＝4．知识点解析：暂无解析14、求函数u＝x＋y＋z在沿球面x2＋y2＋z2＝1上的点(x0，y0，z0)的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?标准答案：球面x2＋y2＋z2＝1在点(x0，y0，z0)处的外法向量为聘＝{2x0，2y0，2z0)，知识点解析：暂无解析15、某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为p1，p2，销售量分别为q1，q2，需求函数分别为q1＝24—0．2p1，q2＝10—0．05p2，总成本函数为C＝35＋40(q1＋q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?标准答案：p1＝120—5q1，p2＝200—20q2，收入函数为R＝p1q1＋p2q2，总利润函数为L＝R—C＝(120—5q1)q1＋(200—20q2)q2一[35＋40(q1＋q2)]，由得q1＝8，q2＝4，从而p1＝80，p2＝120，L(8，4)＝605，由实际问题的意义知，当p1＝80，p2＝120时，厂家获得的利润最大，最大利润为605．知识点解析：暂无解析16、设二元函数f(x，y)＝｜x—y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)＝0．标准答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则fx’(0，0)，fy’(0，0)存在．(充分性)若φ(0，0)＝0，则fx’(0，0)＝0，fy’(0，0)＝0．知识点解析：暂无解析17、设：x＝x(t)，y＝y(t)(α＜t＜β是区域D内的光滑曲线，即x(t)，y(t)在(α，β)内有连续的导数且x’2＋y’2(t)≠0，f(x，y)在D内有连续的偏导数．若P0∈是函数f(x，y)在上的极值点，证明：f(x，y)在点P0沿的切线方向的方向导数为零．标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)连续，且f(0)＝1，令F(t)＝f(x2＋y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算二重积分标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、已知，设D为由x＝0、y＝0及x＋y＝t所围成的区域，求标准答案：当t＜0时，F(t)＝0；当0≤t＜1时，当1≤t＜2时，当t≥2时，F(t)＝1，则知识点解析：暂无解析23、计算，其中D＝{(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．故标准答案：令D1＝{(x，y)｜0≤x≤1,0≤y≤x}，D2＝{(x，y)｜0≤x≤y，0≤y≤1}，则知识点解析：暂无解析24、计算，其中D＝{(x，y)｜一1≤x≤1，0≤y≤2}．标准答案：令D1＝{(x，y)｜－1≤x≤1，0≤y≤x2)，D2＝{(x，y)｜一1≤x≤1，x2≤y≤2)，知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、计算，其中D为单位圆x2＋y2＝1所围成的第一象限的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析29、计算二重积分，其中D是曲线(x2＋y2)2＝a2(x2一y2)围成的区域．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设半径为R的球面S的球心在定球面x2＋y2＋z2＝a2(a＞0)上，问R取何值时，球面S在定球面内的面积最大?标准答案：设球面S：x2＋y2＋(z一a)2＝R2，知识点解析：暂无解析31、设f(x)在[a，b]上连续，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析32、设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得标准答案：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(z，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(z，y)积分得知识点解析：暂无解析33、设f(x)在[0，a](a＞0)上非负、二阶可导，且f(0)＝0，f"(x)＞0，为y＝f(x)，y＝0，x＝a围成区域的形心，证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析34、设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明：标准答案：因为积分区域关于直线y＝x对称，知识点解析：暂无解析35、设f(x)连续，其中V＝{(x，y，z)｜x2＋y2≤t2，0≤z≤h}(t＞0)，求标准答案：知识点解析：暂无解析36、设Ω：x2＋y2＋z2≤1，证明：标准答案：令f(x)＝x＋2y一2z＋5，因为fx’＝1≠0，fy’＝2≠0，fz’＝一2≠0，所以f(x，y，z)在区域Ω的边界x2＋y2＋z2＝1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)＝x＋2y一2z＋5＋λ(x2＋y2＋z2一1)，知识点解析：暂无解析37、设f(x)为连续函数，计算，其中D是由y＝x3，y＝1，x＝一1围成的区域．标准答案：设f(x)的一个原函数为F(x)，则知识点解析：暂无解析38、交换积分次序并计算标准答案：知识点解析：暂无解析39、设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析40、证明：用二重积分证明标准答案：令D1＝{(x，y)｜x2＋y2≤R2，x≥0，y≥0)，S＝{(x，y)｜0≤x≤R，0≤y≤R)，D2＝{(x，y)｜x2＋y2≤2R2，x≥0，y≥0)知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设g(x)=∫0xf(u)du，其中f(x)=则g(x)在(0，2)内()．A、单调减少B、无界C、连续D、有第一类间断点标准答案：C知识点解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(0，2)内连续，选(C)．2、设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是()．A、∫axf(t)dtB、∫-xaf(t)dtC、∫-x0f(t)dt—∫x0f(t)dtD、∫-xxtf(t)dt标准答案：D知识点解析：设φ(x)=∫-xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt=2∫0xtf(t)dt+2∫xx+Ttf(t)dt≠φ(x)，选(D)．3、设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是()．A、∫0xt[f(t)一f(一t)]dtB、∫0xt[f(t)+f(一t)]dtC、∫0xf(t2)dtD、∫0xf2(t)dt标准答案：B知识点解析：因为t[f(t)一f(—t)]为偶函数，所以∫0xt[f(t)一f(—t)]dt为奇函数，(A)不对；因为f(t2)为偶函数，所以∫0xf(t2)dt为奇函数，(C)不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以(D)不对，令F(x)=∫0xt[f(t)+f(—t)]dt，F(—x)=∫0-xt[f(t)+f(一t)]dt=∫0x(一u)[f(u)+f(—u)](一du)=F(x)，选(B)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、=___________．标准答案：知识点解析：5、=___________．标准答案：知识点解析：6、max{x+2，x2}dx=___________．标准答案：知识点解析：7、=___________．标准答案：知识点解析：8、=___________．标准答案：知识点解析：9、=___________．标准答案：4—π知识点解析：10、设f(x)满足等式xf’(x)一f(x)=，且f(1)=4，则∫01f(x)dx=___________．标准答案：2—知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)11、设S(x)=∫0x｜cost｜dt．(1)证明：当nπ≤x＜(n+1)π时，2n≤S(x)＜2(n+1)；(2)求．标准答案：(1)当nπ≤x＜(n+1)π时，∫0nπ｜cost｜dt≤∫0x｜cost｜dt＜∫0(n+1)π｜cost｜dt，∫0nπ｜cost｜dt=n∫0π｜cosx｜dt==2n，∫0(n+1)πcost｜dt=2(n+1)，则2n≤S(x)＜2(n+1)．(2)知识点解析：暂无解析12、设f(x)在[0，+∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：标准答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n+1)T，因为f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n+1)Tf(t)dt，知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，∫01f(x)dx=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．标准答案：令φ(x)=，因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)=0，φ(1)=∫01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=所以∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在(一a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)=2．(1)证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]；(2)求．标准答案：(1)令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)一F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(—θx)]．(2)知识点解析：暂无解析15、设an=标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．标准答案：令φ(x)=exf(x)，则φ’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，则φ(x)=φ(x)一φ(一∞)=∫-∞xφ’(x)dx，两边取绝对值得ex｜f(x)｜≤∫-∞x｜φ’(x)｜dx≤∫-∞xexdx=ex，所以｜f(x)｜≤1．知识点解析：暂无解析17、设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，且对任意的x，y∈(一∞，+∞)有｜f(x)一f(y)｜≤｜x—y｜．证明：｜∫ab｜f(x)dx一(b一a)f(a)｜≤(b一a)2．标准答案：因为(b一a)f(a)=∫abf(a)dx，所以｜∫abf(x)dx一(b一a)f(a)｜=｜∫ab[f(x)—f(a)]dx｜≤∫ab｜f(x)一f(a)｜dx≤∫ab(x—a)dx=(b一a)2知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：标准答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)一m≥0，f(x)一M≤0，从而知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少．证明：∫1n+1f(x)dx≤f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．标准答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，当x∈[1，2]时，f(x)≤f(1)，两边积分得∫12f(x)dx≤厂(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫1n+1f(x)doc≤f(k)；当x∈[1，2]时，f(2)≤f(x)，两边积分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n—1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dxf(x)dx，于是f(k)≤f(1)+∫1nf(x)doc．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．标准答案：∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx一k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx]=(1一k)∫0kf(x)dx—k∫k1f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少，所以∫0kf(x)dx—k∫01f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．又固为f(x)单调减少，所以f(kx)≥f(x)，两边积分得∫01f(kx)dx≥∫01f(x)dx，故k∫01f(kx)dx≥k∫01f(x)dx，即∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析22、设f’(x)在[0，1]上连续且｜f’(x)｜≤M．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0．令．标准答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0与x之间，因为f(0)=0，所以｜f(x)｜=｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，从而｜∫0af(x)dx｜≤∫0a｜f(x)｜dx≤∫0aMxdx=M．知识点解析：暂无解析24、设f’(x)在[0，1]上连续，且f(1)一f(0)=1．证明：∫01f’2(x)dx≥1．标准答案：由1=f(1)一f(0)=∫01f’(x)dx，得12=1=(∫01f’(x)dx)2≤∫0112dx∫01f’2(x)dx=∫01f’2(x)dx，即∫01f’2(x)dx≥1．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．标准答案：由f(a)=0，得f(x)一f(a)=f(x)=∫axf’(t)dt，由柯西不等式得f2(x)=(∫axf’(t)dt)2≤∫ax12dt∫axf’2(t)dt≤(x一a)∫abf’2(x)dx积分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x—a)dx．∫abf’2(x)dx=∫abf’2(x)dx知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(x)，g(x)(aA、f(x)g(b)>f(b)g(x)B、f(x)g(a)>f(a)g(x)C、f(x)g(x)>f(b)g(b)D、f(x)g(x)>f(a)g(a)@B标准答案：B知识点解析：2、若f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且，则下列正确的是()．A、x=0是f(x)的零点B、(0，f(0))是y=f(x)的拐点C、x=0是f(x)的极大点D、x=0是f(x)的极小点标准答案：D知识点解析：3、设f(x)在x=0的邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：4、设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则()．A、x0为f(x)的驻点B、一x0为一f(一x)的极小值点C、一x0为一f(x)的极小值点D、对一切的x有f(x)≤f(x0)标准答案：B知识点解析：因为y=f(一x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称，所以一x0为f(一x)的极大值点，从而一x0为一f(一x)的极小值点，选5、设f’(x0)=f"(x0)=0，f"’(x0)＞0，则下列正确的是()．A、f’(x0)是f’(x)的极大值B、f(x0)是f(x)的极大值C、f(x0)是f(x)的极小值D、(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点标准答案：D知识点解析：6、设f(x)=x3+x2+bx在x=1处有极小值一2，则()．A、a=1，b=2B、a=一1，b=一2C、a=0，b=一3D、a=0，b=3标准答案：C知识点解析：f’(x)=3x3+2ax+b，因为f(x)在x=1处有极小值一2，7、设曲线y=x2+ax+b与曲线2y=xy3一1在点(1，一1)处切线相同，则()．A、a=1，b=1B、a=一1，b=一1C、a=2，b=1D、a=一2，b=一1．标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)8、设曲线y=Inx与相切，则公共切线为________。标准答案：知识点解析：9、标准答案：y=-2x知识点解析：10、标准答案：知识点解析：11、求曲线的斜渐近线。标准答案：y=2x-11知识点解析：三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)12、举例说明函数可导不一定连续可导．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，b]上有定义，M>0且对任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)一f(y)｜≤M｜x—y｜k(1)证明：当k>0时，f(x)在[a，b]上连续；(2)证明：当k>1时，f(x)≡常数．标准答案：(1)对任意的x0∈[a，b]，由已知条件得知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、设对一切的x，有f(x+1)=2f(x)，且当x∈[0，1]时f(x)=x(x2一1)，讨论函数f(x)在x=0处的可导性．标准答案：知识点解析：暂无解析16、证明：当x＞0时，x2＞(1+x)In2(1+x)．标准答案：令f(x)=x2一(1+x)In2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x一In2(1+x)一2In(1+x)，f’(0)=0；知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、设PQ为抛物线的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．标准答案：知识点解析：暂无解析20、证明：当0＜x＜1时，(1+x)In2(1+x)＜x2．标准答案：令f(x)=x2一(1+x)In2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—In2(1+x)一2In(1+x)，f’(0)=0；知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、设k＞0，讨论常数k的取值，使f(x)=xInx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设，讨论f(x)的单调性，凹凸性，拐点，水平渐近线．标准答案：知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得.标准答案：知识点解析：暂无解析31、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=f(x)eg(x)，由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，则存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，因为φ’(x)=eg(x)[f’(x)+f(x)g’(x)]且eg(x)≠0，所以f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析32、设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且证明：(1)ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)一f’(ξ2)=0．(2)存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)一2f’(ξ)=0．标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、设f(x)在[a，b]上二阶可导且f"(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设则f{f[f(x)])等于()．A、0B、1C、D、标准答案：B知识点解析：因为｜f(x)｜≤1，所以f[f(x)]=1，于是f{f[f(x)])=1，选(B)。2、函数f(x)=｜xsinx｜ecosx，一∞＜x＜+∞是()．A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、偶函数标准答案：D知识点解析：显然函数为偶函数，选(D)。3、设f(x)=，则当x→0时，g(x)是f(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价的无穷小D、等价无穷小标准答案：A知识点解析：故g(x)是f(x)的高阶无穷小，应选(A)．4、当x→0+时，下列无穷小中，阶数最高的是()．A、In(1+x2)一x2B、C、D、标准答案：C知识点解析：当x→0+时，In(1+x2)-x2～，，由，得x→0时，，，则为最高阶无穷小，选(C)．5、设当x→0时，(x-sinx)ln(1+x)是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则n为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：当x→0时，因为，所以(x-sinx)ln(1+x)～，又因为所以，于是n=3，选(C)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、设a>0，且，则a=__________，b=__________．标准答案：4；1知识点解析：由得b=1，则，故a=47、当x→0时，，则a=__________．标准答案：知识点解析：8、标准答案：知识点解析：由xex=x(1+x+0(x))=x+x2+0(x2)，In(1+x)=，得x→0时，xex—In(1+x)～，故．9、标准答案：知识点解析：10、求标准答案：e知识点解析：11、标准答案：知识点解析：12、标准答案：知识点解析：13、标准答案：1知识点解析：14、标准答案：知识点解析：15、标准答案：-2知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)16、求标准答案：知识点解析：暂无解析17、求标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、标准答案：知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第9套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)二阶连续可导，，则()．A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：由＞0，即当x∈(2—δ，2)时，f’(x)＜0；当x∈(2，2+δ)时，f’(x)＞0，于是x=2为f(x)的极小点，选(A)．2、设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且=0，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，则()．A、x=0是f(x)的极大值点B、x=0是f(x)的极小值点C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由=0得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt=一2x2一∫0xg(x—t)d(x—t)=一2x2+∫0xg(u)du，f"(x)=一4x+g(x)，f"(0)=0，f"’(x)=一4+g’(x)，f"’(0)=一4＜0，因为f"’(0)==一4＜0，所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，从而当x∈(一δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"’(x)＜0，选(C)．3、设f(x)二阶连续可导，且=1，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：因为f(x)二阶连续可导，且＜0，即当x∈(一δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．4、设函数f(x)满足关系f"(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐点D、(0，f(0))不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由f’(0)=0得f"(0)=0，f"’(x)=1—2f’(x)f"(x)，f"’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f"’(x)＞0，再由f"(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选(C)．5、下列说法正确的是()．A、设f(x)在x二阶可导，则f"(x)在x=x0处连续B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点标准答案：D知识点解析：令f’(x)=不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．6、设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：因为f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．7、设k＞0，则函数f(x)=lnx一+k的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：C知识点解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0，又=一∞，于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选(C)．8、设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有()．A、两个极大点，两个极小点，一个拐点B、两个极大点，两个极小点，两个拐点C、三个极大点，两个极小点，两个拐点D、两个极大点，三个极小点，两个拐点标准答案：C知识点解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f’(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f’(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x∈(x2，0)时，f’(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小点；当x∈(0，x3)时，f’(x)＜0，则x=0为f(x)的极大点；当x∈(x3，x4)时，f’(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小点；当x＞x4时，f’(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大点，即f(x)有三个极大点，两个极小点，又f"(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设f(x)=在x=1处可微，则a=___________，b=___________．标准答案：a=2，b=一1知识点解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1一0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=一1．10、设F(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt，其中f’(x)在