3.3正态分布课件高二下学期数学选择性2

3.3正态分布第3章概率湘教版

数学

选择性必修第二册课标要求1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征.3.了解正态分布的均值、方差及其含义.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点正态分布1.正态曲线的定义:一般地,函数p(x)=

(-∞<x<+∞)的图象表示的曲线称为正态分布密度曲线,简称正态曲线(特点:中间高,两边低,左右大致对称),其中μ和σ为参数,p(x)称为概率密度函数,此时称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布,简记为X~

.

描述连续型随机变量的概率分布规律

其值为E(X)特别地,数学期望μ=0,方差σ2=1时的正态分布称为

,其密度函数记为φ(x)=

(-∞<x<+∞).

N(μ,σ2)标准正态分布

2.正态分布密度曲线的特点:(1)曲线位于x轴

,与x轴

;

(2)曲线是单峰的,它关于

对称;

(3)p(x)在

处达到最大值;

(4)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿

平移;

(5)σ越大,正态曲线越

,σ越小,正态曲线越

;

(6)曲线与x轴之间所夹区域的面积为

.

上方

不相交直线x=μx=μx轴

扁平

尖陡

13.3σ原则:(1)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值:若随机变量X~N(μ,σ2),则随机变量X取值落在区间[μ-σ,μ+σ]内的概率约为

,落在区间[μ-2σ,μ+2σ]内的概率约为

,落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内的概率约为

.

(2)在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]之间的值,并简称为3σ原则.68.27%95.45%99.73%过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)概率密度函数表达式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.(

)(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.(

)2.如果X~N(μ,σ2),那么P(x≤μ)与P(x≥μ)之间存在怎样的等量关系?×√重难探究·能力素养全提升探究点一根据正态分布密度曲线的图象研究解析式中的参数【例1】

已知随机变量服从正态分布,其正态曲线如图所示,则总体的均值μ=

,方差σ2=

.

202规律方法

利用图象求正态分布密度函数的解析式,应根据图象的两个特点确定参数:一是对称轴为直线x=μ,二是最大值为

.变式训练1已知随机变量X的概率密度函数为f(x)=

(x∈R),则其均值和标准差分别是(

)A.0和8 B.0和4C.0和2 D.0和1C变式训练2如图所示是当σ分别取值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是(

)A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3D由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“尖陡”;σ越大,曲线越“扁平”,于是有0<σ1<σ2=1<σ3.故选D.探究点二利用正态分布求概率【例2】

设随机变量X~N(1,22),试求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3<X≤5).解

由随机变量X~N(1,22)可知均值μ=1,标准差σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682

7.变式探究1本例条件不变,若P(X>c+1)=P(X<c-1),求c的值.解

由X~N(1,22)可知,概率密度曲线关于直线x=1对称,又P(X>c+1)=P(X<c-1),故有1-(c-1)=(c+1)-1,解得c=1.变式探究2本例条件不变,求P(X≥5).解

∵P(X≥5)=P(X≤-3),变式探究3本例条件不变,若P(X≤4)=0.94,求P(X<-2).解

因为随机变量X~N(1,22),则μ=1,所以P(X<-2)=P(X>4)=1-P(X≤4)=0.06.变式探究4本例条件不变,若P(0<X<1)=0.2,求P(X≥2).解

由于正态曲线关于直线x=1对称,因此由P(0<X<1)=0.2,可知P(1<X<2)=0.2,P(X≥2)=P(X>1)-P(1<X<2)=0.5-0.2=0.3.规律方法

利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X>μ+a);③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).(2)“3σ”法:利用X落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别约为0.682

7,0.954

5,0.997

3求解.探究点三正态分布的应用【例3】

某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?解

由于圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25),则X在区间[4-3×0.5,4+3×0.5]即[2.5,5.5]之外取值的概率约为0.002

7.而5.7∉[2.5,5.5],这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的事件,所以认为该厂生产的这批产品是不合格的.规律方法

利用正态分布进行假设检验的方法利用正态分布进行假设检验的方法就是检验一次试验中的取值a是否落入区间[μ-3σ,μ+3σ]内.如果a∈[μ-3σ,μ+3σ],则接受统计假设;如果a∉[μ-3σ,μ+3σ],则拒绝统计假设.变式训练3假设某个地区高二年级的学生的身高服从正态分布,且均值为170(单位:cm),标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生,求这名学生的身高:(1)不高于170的概率;(2)在区间[160,180]内的概率;(3)不高于180的概率.解

设该学生的身高为X,由题意可知X~N(170,100).(1)易知P(X≤170)=50%.(2)因为均值为170,标准差为10,而160=170-10,180=170+10,所以P(160≤X≤180)=P(|X-170|≤10)≈68.27%.(3)P(X≤180)=P(X<170)+P(170≤X≤180).又由(2)以及正态曲线的对称性可知因此P(X≤180)=P(X<170)+P(170≤X≤180)≈84.135%.本节要点归纳1.知识清单:(1)正态分布密度曲线与概率密度函数;(2)正态分布曲线的特点;(3)3σ原则.2.方法归纳:利用概率密度函数研究随机变量的均值与方差;利用正态曲线的对称性求随机变量在某一区间内的概率;利用3σ原则进行假设检验.3.特别提示:概率密度函数解析式的特征,X~N(μ,σ2)时σ2是标准差的平方也就是方差;求随机变量在某一区间内的概率要注意利用正态曲线的对称性以及区间端点值与σ,μ的关系;利用正态分布假设检验时要注意产品数据与3σ原则对应区间的关系.成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练1234567891011121314151.设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),若P(ξ<a-1)=P(ξ>a+3),则a等于(

)A.1 B.2 C.3 D.4A解析

根据正态分布密度函数的图象特征,又因为P(ξ<a-1)=P(ξ>a+3),所以有

=2,解得a=1,故选A.1234567891011121314152.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X≥5)=0.2,则P(1<X<3)=(

)A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4C解析

P(1<X<3)=P(3<X<5)=0.5-P(X≥5)=0.5-0.2=0.3.故选C.1234567891011121314153.已知随机变量X~N(2,σ2)(σ>0),若P(X<4)=0.7,则P(X≤0)=(

)A.0.2 B.0.3

C.0.5 D.0.7B解析

∵随机变量X~N(2,σ2)(σ>0),P(X<4)=0.7,∴P(2<X<4)=0.7-0.5=0.2.根据正态曲线的对称性可得P(0<X<2)=0.2,∴P(X≤0)=0.5-0.2=0.3,故选B.1234567891011121314154.某生态果园盛产猕猴桃,现摘取了1600个猕猴桃进行个头大小的取样调查,已知样本猕猴桃的果径X(单位:cm)服从正态分布即X~N(7,σ2),若果径满足6<X<8的猕猴桃占样本总数的,则样本中果径不小于8cm的猕猴桃个数约为(

)A.40 B.120 C.200

D.240C1234567891011121314155.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(2,9)(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|x-μ|≤σ)≈0.6827),则(

)A.X的方差为3B.P(X≤2)=0.5C.P(3≤X<4)<P(4≤X<5)D.P(X≤-1)≈0.15865BD解析

由已知可得μ=2,σ=3,则X的方差为9,A错误;P(X≤2)=P(X≤μ)=0.5,B正确;因为正态密度曲线中间高,两边低,且μ=2,故P(3≤X<4)>P(4≤X<5),C错误;P(X≤-1)=P(X≤μ-σ)=≈0.158

65,D正确.故选BD.1234567891011121314156.已知随机变量X的取值落在区间[0.2,+∞)内的概率为0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x=

时达到最高点.

0.2解析

由正态曲线关于直线x=μ对称且在x=μ处达到峰值,又随机变量X的取值落在区间[0.2,+∞)内的概率为0.5,所以μ=0.2.1234567891011121314157.[2023北京临川学校高二期中]上次月考刚好有900名学生参加考试,学生的数学成绩ξ~N(105,102),且P(95≤ξ≤105)≈0.34,则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为

.

144解析

∵学生的数学成绩ξ~N(105,102),且P(95≤ξ≤105)≈0.34,∴P(105≤ξ≤115)≈0.34,∴P(ξ>115)≈0.5-0.34=0.16,则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为900×0.16=144(人).1234567891011121314158.假设某厂包装食盐的生产线,正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500,52)(单位:g),该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐,称得其质量均大于515g.(1)求正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于515g的概率为多少;(2)检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理由.123456789101112131415解

设正常情况下,该生产线上包装出来的食盐质量为X

g,由题意可知X~N(500,52).(1)由于515=500+3×5,所以根据正态曲线的对称性与“3σ原则”可知(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都大于515

g的概率约为0.135%×0.135%≈1.8×10-6,几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现了异常,检测员的判断是合理的.123456789101112131415B级关键能力提升练9.(多选题)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中正确的是(

)A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中不小于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等ABC123456789101112131415解析

因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),方差σ2越小,则分布越集中,σ越小,概率越集中在x=10左右,则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故选项A正确;不管σ取何值,测量结果不小于10的概率均为0.5,故选项B正确;由于概率曲线关于直线x=10对称,所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率,故选项C正确;由于概率分布集中在直线x=10附近,(9.9,10.2)分布的区域大于(10,10.3)分布的区域,故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率,故选项D错误.故选ABC.12345678910111213141510.(多选题)正态分布N(1,σ2)的正态曲线如图所示,则可以表示图中阴影部分面积的是(

)ABC12345678910111213141512345678910111213141511.某校高三有1000人参加考试,统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105,σ2),且成绩优良(不低于120分)的人数约为360,则此次考试数学成绩高于90分的人数约为(

)A.360 B.640

C.720

D.780B12345678910111213141512.已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(m<X≤104)≈0.1359,则m等于(

)(附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.100 B.101

C.102

D.103C解析

由题意知P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682

7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954

5,即P(μ+σ<X≤μ+2σ)≈0.135

9.所以要使得P(m<X≤104)≈0.135

9,则m=102,故选C.12345678910111213141513.通过对某次考试数学成绩进行统计分析发现数学成绩近似地服从正态分布N(96,52).据此估计:在本次参加考试的考生中抽取6名高三学生的数学成绩,恰有2名同学的成绩不低于96分的概率为

(用分数表示).

12345678910111213141514.某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪,随机抽取了10件产品,检测结果均为合格,且质量指标分值如下:38,70,50,43,