中考数学-整式乘法与因式分解易错压轴解答题专题练习(附答案)100

中考数学整式乘法与因式分解易错压轴解答题专题练习(附答案)100一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．

（1）计算并观察下列各式：________；________；________；（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格.________；（3）利用该规律计算：.2．某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________.（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由.3．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，···，因此都是奇巧数.（1）是奇巧数吗？为什么？（2）奇巧数是的倍数吗？为什么？4．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题。在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形。（1）【理解应用】观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式。（2）【拓展升华】利用(1)中的等式解决下列问题：①已知a²+b²=10，a+b=6，求ab的值。②已知(2021-c)(c-2019)=2020，求(2021-c)²+(c-2019)²的值。5．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为________

.(只要写出一个即可)（2）请利用(1)中的等式解答下列问题:①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z=，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值6．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值?同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1∵(x+2)2≥0∴当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴(x+2)2+1≥1∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x=________时，代数式x2-6x+12的最小值是________；（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x=________时，y有最________值（填“大”或“小”）（3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值7．有一个边长为m+3的正方形，先将这个正方形两邻边长分别增加1和减少1，得到的长方形①的面积为S1.（1）试探究该正方形的面积S与S1的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；（2）再将这个正方形两邻边长分别增加4和减少2，得到的长方形②的面积为S2.①试比较S1，S2的大小；②当m为正整数时，若某个图形的面积介于S1，S2之间（不包括S1，S2）且面积为整数，这样的整数值有且只有16个，求m的值.8．效学活动课上老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：________，方法2：________；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；②已知（2019-a）2+（a-2018）2=5，求（2019-a）（a-2018）的值．9．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是

（请选择正确的一个）A.a2-b2=（a+b）（a-b）B.a2-2ab+b2=（a-b）2C.a2+ab=a（a+b）（2）若x2-y2=16，x+y=8，求x-y的值；（3）计算：．10．

（1）填空：________；

________；

________；（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）=________（其中n为正整数，且n≥2）；（3）利用（2）猜想的结论计算：①29+28+27+…+22+2+1②210-29+28-…-23+22-2．11．如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、宽为a长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．尝试解决：（1）取图①中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（a+b）（a+b），在下面虚线框中画出图形，并根据图形回答（a+b）（a+b）=________．（2）图②是由图①中的三种材料拼出的一个长方形，根据②可以得到并解释等式：________（3）若取其中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+4ab+b2．你画的图中需要B类卡片________张；（4）分解因式：3a2+4ab+b2．拓展研究：如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（b＞a），观察图案，以下关系式中正确的有________．（填写正确选项的序号）（1）ab=（2）a+b=m（3）a2+b2=（4）a2+b2=m212．阅读下面材料:通过整式运算一章的学习，我们发现要验证一个结论的正确性可以有两种方法：例如：要验证结论方法1：几何图形验证：如下图，我们可以将一个边长为（a+b）的正方形上裁去一个边长为(a-b)的小正方形则剩余图形的面积为4ab,验证该结论正确。方法2：代数法验证：等式左边=，所以，左边=右边，结论成立。观察下列各式：（1）按规律，请写出第n个等式________；（2）试分别用两种方法验证这个结论的正确性.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）；；（2）（3）解：＝＝.【解析】【解答】（1）（x-1）（x+1）=x2+x-x-1=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1；解析：（1）；；（2）（3）解：＝＝.【解析】【解答】（1）（x-1）（x+1）=x2+x-x-1=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4+x3+x2+x-x3--x2-x-1=x4-1；故答案为：x2-1，x3-1，x4-1.【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把它们的积相加，可得结果。（2）根据（1）中的规律可得答案。（3）将原式转化为（x-1）（xn+xn-1++x+1）=xn+1-1（n为正整数），因此只需在原式乘以，就可得出结果。2．（1）（2）a2+b2+2ab=(a+b)2（3）解：能拼成长方形.如图.（不止一种）画图正确得分.等式：2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b).（等式左右两边交换不扣分）解析：（1）（2）（3）解：能拼成长方形.如图.（不止一种）画图正确得分.等式：.（等式左右两边交换不扣分）【解析】【分析】(1)图1阴影部分面积为S1=a2-b2，图1阴影部分面积为S2=，根据展开前后图形的面积相等得到S1=S2，所以

;(2)图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab，图4的面积S4=(a+b)2,因为图4为图3的四个图形拼成，所以S3=S4，即；(3)图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab，画出的长方形的面积S=(a+b)(2a+b)，因为画出的长方形为图5的六个图形拼成，所以S5=S，即

.3．（1）解：36是奇巧数，理由：；50不是奇巧数，理由：找不到连续的两个偶数平方差为50（2）解：设两个连续的偶数为n+2、n，则，奇巧数是4的倍数.【解析】【分析】解析：（1）解：36是奇巧数，理由：；50不是奇巧数，理由：找不到连续的两个偶数平方差为50（2）解：设两个连续的偶数为n+2、n，则，奇巧数是的倍数.【解析】【分析】（1）根据定义是两个现需偶数的平方差判断即可.（2）将进行运算、化简，便可发现是4的倍数.4．（1）解：x²+y²=(x+y)²-2xy（2）解：①由题意得：ab=把a²+b²=10，a+b=6代入上式得，ab==13②由题意得：(2021-c)²+(c-2019)解析：（1）解：x²+y²=(x+y)²-2xy（2）解：①由题意得：ab=把a²+b²=10，a+b=6代入上式得，ab==13②由题意得：(2021-c)²+(c-2019)²=(2021-c+c-2019)²-2(2021-c)(c-2019)=22-2×2020=-4036【解析】【分析】（1）方法一是直接求出阴影部分面积x2＋y2，方法二是间接求出阴影部分面积，即（x＋y）为边的正方形面积减去两个x为宽、y为长的矩形面积，即（x＋y）2−2xy,进而根据用两个不同的算式表示同一个图形的面积，则这两个式子应该相等即可得出等式；（2）①根据等式的性质将（1）所得的等式变形后将a2＋b2＝10，a＋b＝6代入即可解决问题；②根据完全平方公式的恒等变形，a2+b2=（a+b）2-2ab，可以将2021−c看作a，将c−2019看作b，整体代入就可算出答案.5．（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）解：①∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac且a+b+c=11，ab+bc+ac=38∴a解析：（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）解：①∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac且a+b+c=11，ab+bc+ac=38∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=112-2×38=45②∵2x×4y÷8z=2x×22y÷23z=2-2∴2x+2y-3z=2-2∴x+2y-3z=-2∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)∴(-2)2=44+2(2xy-3xz-6yz)∴2xy-3xz-6yz=-20【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。（2）①将（1）中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，再整体代入求值；②利用幂的运算性质，将2x×4y÷8z=转化为x+2y-3z=-2，再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)，再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。6．（1）3；3（2）1；-2（3）解：∵-x2+3x+y+5=0，∴x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6，∵(x-1)2≥0∴(x-1)2-6≥-6∴当x=1时，y+x的最小值为解析：（1）3；3（2）1；-2（3）解：∵-x2+3x+y+5=0，∴x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6，∵(x-1)2≥0∴(x-1)2-6≥-6∴当x=1时，y+x的最小值为-6．【解析】【解答】解：(1)∵x2-6x+12=(x-3)2+3，∴当x=3时，有最小值3：(2)∵y=-x2+2x-3=-(x-1)2-2，∴当x=1时有最大值-2【分析】（1）把代数式x2-6x+12根据完全平方公式配方，由配方的结果：(x-3)2+3，得(x-3)2≥0，当(x-3)2=0，即x=3时，求得x2-6x+12最小值为3；（2）把y=-x2+2x-3配方，由配方的结果：-(x-1)2-2，得-(x-1)2≤0，则当-(x-1)2=0，即x=1时，y有最大值为-2；（3）首先移项，求出y+x的表达式，再把此表达式配方，根据配方的结果，因为(x-1)2≥0，得出x=1,

y+x有最小值-6即可.7．（1）解：S与S1的差是是一个常数，∵s=(m+3)2=m2+6m+9，∴，∴S与S1的差是1（2）解：∵∴，∴当-2m+1﹥0，即-1﹤m﹤12解析：（1）解：S与S1的差是是一个常数，∵，∴，∴S与S1的差是1（2）解：∵∴，∴当-2m+1﹥0，即-1﹤m﹤时，﹥；当-2m+1﹤0，即m﹥时，﹤；当-2m+1=0，即m=时，=；②由①得，S1﹣S2＝-2m+1，∴，∵m为正整数，∴，∵一个图形的面积介于S1，S2之间（不包括S1，S2）且面积为整数，整数值有且只有16个，∴16＜≤17，∴＜m≤9，∵m为正整数，∴m=9【解析】【分析】（1）根据正方形的面积计算方法及长方形的面积计算方法分别表示出S与S1，再根据整式减法运算求出S与S1的差即可得出结论；（2）①根据正方形的面积计算方法及长方形的面积计算方法分别表示出S1与S2，再根据整式减法运算求出S1与S2的差，再根据差大于0时，﹥；差小于0时，

＜；差等于0时，=；分别列出不等式或方程，求解即可；②由①得，S1﹣S2＝-2m+1，故=2m-1,由于一个图形的面积介于S1，S2之间（不包括S1，S2）且面积为整数，整数值有且只有16个，故16＜≤17，解不等式组并求出其整数解即可。8．（1）（a+b）2；a2+b2+2ab（2）（a+b）2=a2+b2+2ab（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴25=13+2ab，∴ab=6；②∵（a+b）2=a2+解析：（1）（a+b）2；a2+b2+2ab（2）（a+b）2=a2+b2+2ab（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴25=13+2ab，∴ab=6；②∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴[（2019-a）+（a-2018）]2=（2019-a）2+（a-2018）2+2（2019-a）（a-2018），即1=5+2（2019-a）（a-2018），∴（2019-a）（a-2018）=-2．【解析】【解答】解：方法1：S=（a+b）2，方法2：S=a2+b2+2ab；故答案为（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由面积相等，可得（a+b）2=a2+b2+2ab；故答案为（a+b）2=a2+b2+2ab【分析】（1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和；（2）由同一图形面积相等即可得到关系式；（3）根据（a+b）2=a2+b2+2ab，将所给条件代入即可求解9．（1）A（2）解：∵x2-y2=（x+y）（x-y）=16，x+y=8，∴x-y=2（3）解：==

==10102019【解析】【解答】解：（1）根解析：（1）A（2）解：∵x2-y2=（x+y）（x-y）=16，x+y=8，∴x-y=2（3）解：==

==【解析】【解答】解：（1）根据图形得：图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中长方形面积=（a+b）（a-b），∴上述操作能验证的等式是a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：A【分析】（1）观察图1与图2，根据图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中长方形面积=（a+b）（a-b），验证平方差公式即可；（2）已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；（3）先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．10．（1）a2－b2；a3－b3；a4－b4（2）an－bn（3）解：①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋1解析：（1）a2－b2；a3－b3；a4－b4（2）an－bn（3）解：①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋19)＝210－110＝210－1＝1023.②210－29＋28－…－23＋22－2＝×[2－(－1)]×[210＋29×(－1)1＋28×(－1)2＋…＋23×(－1)7＋22×(－1)8＋2×(－1)9＋(－1)