人教版高中数学选择性必修第二册 等比数列的概念(第1课时)分层作业(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第1课时)分层作业(原卷版)(60分钟120分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)知识点1等比数列的概念与通项公式1．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝32，q＝－eq\f(1,2)，则a6等于()A．1 B．－eq\f(1,2)C．－1 D．eq\f(1,2)2．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝2，an＝16，q＝2，则n为()A．2 B．3C．4 D．53．(5分)下面四个数列中，一定是等比数列的是()A．q,2q,4q,6qB．q，q2，q3，q4C．q,2q,4q,8qD．eq\f(1,q)，eq\f(1,q2)，eq\f(1,q3)，eq\f(1,q4)4．(5分)在等比数列{an}中，a2021＝－8a2018，则公比q等于()A．2 B．－2C．±2 D．eq\f(1,2)5．(5分)在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为()A．16 B．27C．36 D．81知识点2等比中项及应用6．(5分)若a，b，c成等差数列，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))c一定()A．成等差数列B．成等比数列C．既成等差数列也成等比数列D．既不成等差数列也不成等比数列7．(5分)已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝()A．±3 B．3C．±5 D．58.(5分)在等比数列{an}中，若a1＝eq\f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项是________．知识点3等比数列的判断9．(5分)(多选)已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是()A．{|an|}B．{an－an＋1}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a1,an)))D．{kan}10．(5分)设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－3，则Sn＝()A．2n＋1B．2n＋1－1C．3×2n－3D．3×2n－111.(5分)在数列{an}中，已知a1＝3，且对任意正整数n都有2an＋1－an＝0，则an＝________.12.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则an＝________.eq\f(能力提升练,能力考点拓展提升)13.(5分)2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中项是()A．1 B．－1C．±1 D．214．(5分)由首项a1＝1，公比q＝2确定的等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于()A．4 B．5C．6 D．715．(5分)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q＝()A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f(1,2)16．(5分)若a，b，c成等差数列，而a＋1，b，c和a，b，c＋2都分别成等比数列，则b的值为()A．16 B．15C．14 D．1217.(5分)已知等比数列{an}，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.18.(5分)已知数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于________．19.(5分)在两数1,16之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于________．20.(5分)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，求a7.21.(10分)已知数列{an}满足Sn＝4an－1(n∈N*)，求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项公式．22.(10分)已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第1课时)分层作业(解析版)(60分钟120分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)知识点1等比数列的概念与通项公式1．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝32，q＝－eq\f(1,2)，则a6等于()A．1 B．－eq\f(1,2)C．－1 D．eq\f(1,2)C解析：a6＝32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))5＝－1.故选C．2．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝2，an＝16，q＝2，则n为()A．2 B．3C．4 D．5C解析：根据an＝a1qn－1，得16＝2×2n－1，解得n＝4.3．(5分)下面四个数列中，一定是等比数列的是()A．q,2q,4q,6qB．q，q2，q3，q4C．q,2q,4q,8qD．eq\f(1,q)，eq\f(1,q2)，eq\f(1,q3)，eq\f(1,q4)D解析：A项不符合等比数列定义；B，C两项中q不等于0时是等比数列，q＝0时不是等比数列；D项符合等比数列的定义，公比是eq\f(1,q).4．(5分)在等比数列{an}中，a2021＝－8a2018，则公比q等于()A．2 B．－2C．±2 D．eq\f(1,2)B解析：∵eq\f(a2021,a2018)＝q3＝－8，∴q＝－2.5．(5分)在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为()A．16 B．27C．36 D．81B解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a2＝1－a1，a4＝9－a3，∴a1＋a2＝1，a3＋a4＝9.∴eq\f(a4＋a3,a1＋a2)＝eq\f(a31＋q,a11＋q)＝q2＝9.∴q＝±3.∵an>0，∴q＝3.∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.知识点2等比中项及应用6．(5分)若a，b，c成等差数列，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))c一定()A．成等差数列B．成等比数列C．既成等差数列也成等比数列D．既不成等差数列也不成等比数列B解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))c成立．∴这三个数成等比数列．7．(5分)已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝()A．±3 B．3C．±5 D．5B解析：设等比数列{an}的公比为q，∵aeq\o\al(2,3)＝a1·a5＝9，∴a3＝±3.∵a3＝a1·q2>0，∴a3＝3.8.(5分)在等比数列{an}中，若a1＝eq\f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项是________．±4解析：因为a6是a4与a8的等比中项，a6＝a1q6－1＝4，所以a4与a8的等比中项是±4.知识点3等比数列的判断9．(5分)(多选)已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是()A．{|an|}B．{an－an＋1}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a1,an)))D．{kan}AC解析：设等比数列{an}的公比为q，∵eq\f(|an|,|an－1|)＝|q|，∴{|an|}是等比数列；当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，∴{an－an＋1}不是等比数列；∵eq\f(\f(a1,an),\f(a1,an－1))＝eq\f(an－1,an)＝eq\f(1,q)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a1,an)))是等比数列；当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列．故只有AC一定是等比数列．10．(5分)设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－3，则Sn＝()A．2n＋1B．2n＋1－1C．3×2n－3D．3×2n－1C解析：∵Sn＝2an－3，∴a1＝2a1－3，∴a1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－3－(2an－1－3)＝2an－2an－1.∴an＝2an－1，即eq\f(an,an－1)＝2.∴{an}是等比数列，首项为3，公比为2.∴an＝3×2n－1.∴Sn＝3×2n－3.11.(5分)在数列{an}中，已知a1＝3，且对任意正整数n都有2an＋1－an＝0，则an＝________.3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1解析：∵2an＋1－an＝0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).∴{an}是等比数列，且公比q＝eq\f(1,2).∴an＝a1·qn－1＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.12.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则an＝________.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2，n≥2))解析：∵Sn＝2an＋1，∴a1＝2a2，∴a2＝eq\f(1,2).当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，∴3an＝2an＋1，即eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3,2).∵eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,2)≠eq\f(3,2)，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2，n≥2.))eq\f(能力提升练,能力考点拓展提升)13.(5分)2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中项是()A．1 B．－1C．±1 D．2C解析：根据等比中项的定义有G＝±eq\r(2＋\r(3)×2－\r(3))＝±1.14．(5分)由首项a1＝1，公比q＝2确定的等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于()A．4 B．5C．6 D．7D解析：∵an＝a1·qn－1＝2n－1＝64，∴n＝7.15．(5分)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q＝()A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f(1,2)D解析：∵eq\f(a5,a2)＝q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).16．(5分)若a，b，c成等差数列，而a＋1，b，c和a，b，c＋2都分别成等比数列，则b的值为()A．16 B．15C．14 D．12D解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.∵a＋1，b，c与a，b，c＋2都分别成等比数列，∴b2＝(a＋1)·c，b2＝a·(c＋2)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,b2＝a＋1c，,b2＝ac＋2，))解得b＝12.17.(5分)已知等比数列{an}，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.3×2n－3解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a3＝3，a10＝384，∴q7＝eq\f(a10,a3)＝128.∴q＝2，∴an＝a3·qn－3＝3×2n－3.18.(5分)已知数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于________．±1解析：∵4a1，a5，－2a3成等差数列，∴2a5＝4a1－2a3，即a5＝2a1－a3，∴4q4＝8－4q2.∴q4＋q2－2＝0.∴q2＝1或q2＝－2(舍)．∴q＝±1.19.(5分)在两数1,16之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于________．4解析：设插入的三个数为a，b，c，则有b2＝1×16＝16.又∵b与1同号，∴b＝4.20.(5分)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，求a7.解：设等比数列{an}的公比为q，∵eq\f(a2＋a3,a1＋a2)＝eq\f(a21＋q,a11＋q)＝q＝2，∴a1＋2a1＝3a1＝3，∴a1＝1.∴a7＝a1q6＝64.21.(10分)已知数列{an}满足Sn＝4an－1(n∈N*)，求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项公式．证明：依题意，得当n≥2时，Sn－1＝4an－1－1，所以an＝Sn－Sn－1＝(4an－1)－(4an－1－1)，即3an＝4an－1，所以eq\f(an,an－1)＝eq\f(4,3)，故数列{an}是公比为eq\f(4,3)的等比数列．因为S1＝4a1－1，即a1＝4a1－1，所以a1＝eq\f(1,3)，故数列{an}的通项公式是an＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c