山东省青岛胶州市2024-2025学年高二数学上学期期中试题

．已知二面角的大小为，为棱上不同两点，分别在半平面内，均垂直于棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（） A． B． C． D．7．已知椭圆上两点，若的中点为，直线的斜率等于，则直线的斜率等于（） A． B． C． D．8．已知圆与直线交于两点，且，则圆与函数的图象交点个数为（）个 A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知直线，则下述正确的是（） A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在 C．直线可能过点 D．若直线的横纵截距相等，则10．已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是（） A．椭圆的长轴长为B．椭圆的两个焦点分别为和C．椭圆的离心率等于 D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则11．已知点，动点到直线的距离为，，则（） A．点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值12．已知四面体的全部棱长均为，则下列结论正确的是（） A．异面直线与所成角为 B．点到平面的距离为 C．四面体的外接球体积为 D．动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．圆与圆的位置关系为．14．已知椭圆的离心率等于，则实数．15．已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为．16．在平面直角坐标系中，，点分别在轴、轴上，则（1）的最小值是；（2）的最小值是．（第一空2分，其次空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知为坐标原点，直线（），圆．（1）若的倾斜角为，求；（2）若与直线的倾斜角互补，求直线上的点到圆上的点的最小距离；（3）求点到的最大距离及此时的值．18．（12分）在平面直角坐标系中，圆过点和点，圆心到直线的距离等于．（1）求圆的标准方程；（2）若圆心在第一象限，为圆外一点，过点做圆的两条切线，切点分别为，四边形的面积为，求点的轨迹方程．19．（12分）．（1）假如，求证：平面；（2）当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积．20．（12分）在平面直角坐标系中，，圆，动圆过且与圆相切．（1）求动点的轨迹的标准方程；（2）21．（12分）如图，在几何体中，四边形为菱形，为等边三角形，，，平面平面．（1）证明：在线段上存在点，使得平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若平面，求线段的长度．DD22．（12分）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于两点．（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；（ⅱ）若，点在上，．证明：存在定点，使得为定值．

2024-2025学年度第一学期期中检测高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1--8:ACBDBCDA二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.BD;10.ACD;11.AC;12.BC;三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13.相交；14.或；15.；16.（1）；（2）；四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）解：（1）由题知：直线的斜率等于 2分解得 3分（2）因为与直线的倾斜角互补，所以两者斜率互为相反数 4分所以，即，所以 5分则圆心到直线的距离 6分所以直线上的点到圆上的点的最小距离为 7分（3）直线恒过定点 8分所以到的最大距离小于等于 9分此时，，所以，解得 10分18．（12分）解:（1）因为圆过点和点所以圆心在线段的垂直平分线上，所以可设圆心为 2分因为圆心到直线的距离等于所以，解得 4分当时，圆心为，半径，圆的方程为：当时，圆心为，半径，圆的方程为：所以圆的标准方程为：或 6分（2）由题知：因为 7分所以四边形的面积 8分因为，所以 9分所以 10分所以，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆 11分所以点的轨迹方程为： 12分19．（12分）证明：（1）在中，，为中点，所以 1分因为所以又因为，所以平面 3分因为平面所以 4分因为所以平面 5分（2）设，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则, 6分设平面的法向量为，所以，所以，得，令，可得， 8分所以与平面的法向量所成角的正弦值为（当且仅当，即时等号成立） 10分所以三棱锥的体积 12分20．（12分）解:（1）设动圆的半径为，由题意知：， 1分所以 2分所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 3分其长轴长焦距为，， 4分所以曲线的标准方程为： 5分（2）若直线斜率不存在，则关于轴对称，不合题意 6分若直线斜率存在，设其方程为将代入得： 7分所以 8分所以 9分所以，解得或 11分所以，直线的方程为：或 12分21．（12分）解：（1）取线段的中点，连接，因为、均为等边三角形，所以，所以平面 3分又因为平面，所以平面平面 4分所以，线段的中点，使得平面平面（2）因为平面平面，平面平面，所以平面，所以两两垂直以为轴建立空间直角坐标系则 5分D设平面的一个法向量D，因为，，由，得，所以 6分设平面的一个法向量，因为，由，得，所以 7分设二面角的平面角为，所以 8分所以二面角的余弦值为 9分(3)因为，设，所以，则 10分又因为平面的一个法向量为 11分因为所以，所以 12分22．（12分）解:（1）由题意知：， 1分由椭圆定义知，所以 2分设椭圆的半焦距为，所以，所以所以椭圆的标准方程为： 3分（2）（ⅰ）设直线的方程为：将带入得：所以 4分又因为