七年级数学下册讲义（北师大版）第五章第03讲 简单的轴对称图形-垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)（原卷版）

第03讲简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)1．理解线段的垂直平分线的概念；2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点)3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点)4．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)5．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)知识点01线段的垂直平分线（简称中垂线）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.作法：作已知线段的垂直平分线.知识点02角平分线的性质1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.作已知角的角平分线.题型01根据线段垂直平分线的性质求解【例题】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则的长为．

【变式训练】1．（2024·山东滨州·一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交AB于点．若，，则长为．2．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图所示，在中，分别垂直平分和，交于．(1)若，求的度数；(2)若的周长为，求的长度．题型02线段垂直平分线的实际应用【例题】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（

）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点【变式训练】1．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（

）A．，两边垂直平分线的交点处 B．，两边中线的交点处C．，两边高线的交点处 D．，两内角平分线的交点处题型03作垂线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，．(1)尺规作图：作边的垂直平分线，交与点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，求的度数．【变式训练】1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，．(1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求图书室E到居民区A的距离．2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼，，之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由．题型04根据角平分线的性质定理求解【例题】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，平分，，如果，那么点到的距离等于【变式训练】1．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，是的角平分线，于点，若，则的面积为．2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则的面积等于．题型05根据角平分线的性质定理证明【例题】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．

(1)求证：；(2)求证：点E为的中点．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）教材第56页拓广探索12题：(1)如图，在中，是它的角平分线

①求证：；②另一方面，我们进一步探索，可以证明．请你选择上述两结论中的其中一个进行证明；(2)由（1）的探索我们可以得到关于的角平分线的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）；(3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，是的平分线，交的延长线于点．求证：．2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在中，是的平分线．(1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________．(2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：．(3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数．题型06角平分线的性质实际应用【例题】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（

）

A．在边，两条高的交点处B．在边，两条中线的交点处C．在边，两条垂直平分线的交点处D．在和两条角平分线的交点处【变式训练】1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线a，b，c，表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可以供选择的地址有（

）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处题型07作角平分线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，两条交叉马路，中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置?如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）．【变式训练】1．（2024·广东茂名·一模）如图，已知，，是的一个外角．(1)请用尺规作图法，求作射线，使平分．（保留作图痕迹，不写作法）(2)证明：．2．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．(1)若，求的度数；(2)若，垂足为，求证：．一、单选题1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，．若和分别垂直平分和，则的度数是（）A． B． C． D．2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D是的角平分线的交点，则点D到的距离为（）

A．1 B．2 C．3 D．3．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（）A． B． C． D．4．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（

）A． B． C． D．5．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（

）①的面积的面积；②；③；④．A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．③④二、填空题6．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长．7．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为8．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，的面积是12，，的平分线交于点D，M，N分别是线段，上的动点，则的最小值是．

9．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点D是上的一点，，的垂直平分线分别交，于点E，F，则．

10．（2023·四川泸州·二模）如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则的最小值为三、解答题11．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）A、B是两个村庄，是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．（不用写作法，但是要保留作图痕迹）

12．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．(1)求证：；(2)若的周长为，，求的长．13．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．(1)求证：．(2)若，求的度数．14．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）感知：如图1，平分，．探究：如图2，平分，．，求证：．15．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，、分别垂直平分和，交于点M、N，垂足分别为点D、E，分别延长和，相交于点F．八年级的小明同学非常喜欢钻研数学问题，在学习线段垂直平分线时，他发现与存在一定的数量关系，于是他通过举