北京师范大学附中版高考数学二轮复习 立体几何专题能力提升训练

北京师范大学附中版《创新设》高考数学二轮复习专题能力提升训练：立体几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是()A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为【答案】C2．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是()A． B． C． D．【答案】B3．如左图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可有是右图中的()【答案】A4．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是()A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C5．有下列命题：①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。其中正确的命题的个数为()A． B． C． D．【答案】B6．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为()A．4 B．8 C．16 D．20【答案】C7．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为(）A． D．E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F【答案】D8．已知点在平面内，并且对空间任一点，则的值为()A． B． C． D．【答案】C9．经过空间任意三点作平面()A．只有一个 B．可作二个C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个【答案】D10．如图，在一根长11cm，外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为()A．61cm B．cm C．cm D．10cm【答案】A11．已知三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为()A．36 B．6 C．3 D．9【答案】C12．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为()A． B． C． D．1【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．一个几何体的三视图如下图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为．【答案】414．在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为．【答案】15．半径为R的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为____________【答案】16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①与平行；②与异面；③与成；④与垂直；⑤与相交.以上五个命题中，正确命题的序号是____________.【答案】③④⑤三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，已知△ABC中∠B=300，PA⊥平面ABC，PC⊥BC，PB与平面ABC所成角为450，AH⊥PC，垂足为H．(1)求证：(2)求二面角A—PB—C的正弦值．【答案】（1）由三垂线定理易证BCAC，可得BC面PAC，也即面PBC面PAC又因为AHPC,所以AH面PBC，所以AHPB(2）过H作HEPB于E，连结AE由三垂线定理可知AEPBAEH为所求二面角的平面角令AC=1则BA=2,BC=,PA=2.PB=2由等面积法可得AE=AH=sinAEH=18．如图所示，已知M、N分别是AC、AD的中点，BCCD．(1）求证：MN∥平面BCD；(2）求证：平面BCD平面ABC；(3）若AB＝1，BC＝，求直线AC与平面BCD所成的角．【答案】（1）因为分别是的中点，所以．又平面且平面，所以平面．(2)因为平面,平面，所以．又，所以平面．又平面，所以平面平面．(3)因为平面，所以为直线与平面所成的角．在直角中，，所以．所以．故直线与平面所成的角为．19．如图，四棱锥中，，∥，，．(Ⅰ）求证：；(Ⅱ）线段上是否存在点，使//平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）取中点，连结，．因为，所以．因为∥，，所以∥，．又因为，所以四边形为矩形，所以．因为，所以平面．所以．(Ⅱ）点满足，即为中点时，有//平面．证明如下：取中点，连接，．因为为中点，所以∥，． 因为∥，，所以∥，．所以四边形是平行四边形，所以∥．因为平面，平面，所以//平面．20．如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．(Ⅰ）求证：//平面；(Ⅱ）求证：平面；(Ⅲ）求二面角的大小．【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，,，，，．(Ⅰ）证明：∵，，∴,∵平面，且平面，∴//平面．(Ⅱ），，，，又，平面．(Ⅲ）设平面的法向量为,因为，，则取又因为平面的法向量为所以所以二面角的大小为．21．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.(Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；(Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；(Ⅲ）求二面角A—PB—D的余弦值.【答案】设AC与BD交于O点 以OA、OB所在直线分别x轴，y轴. 以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系，则 (Ⅱ）设平面PDB的法向量为 由 =(Ⅲ）设平面ABP的法向量 所以二面角A—PB—D的余弦值为22．如图，在四梭锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD=2，AB＝1.点M线段PD的中点．(I）若PA＝2，证明：平面ABM⊥平面PCD；(II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．【答案】(Ⅰ)∵平面，.∵点M为线段PD的中点，PA=AD=2，.又∵平面，.平面.又平面，∴