四川省泸州市2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题文含解析

PAGE21-四川省泸州市2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的.1.若直线与直线平行，则实数a的值为（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】探讨的值，由直线平行的性质，求解即可.【详解】当时，直线与直线不平行，不满意题意；当时，由直线与直线平行，则解得：故选：D【点睛】本题主要考查了由直线平行求参数，属于中档题.2.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】依据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以求出每个个体被抽到的概率，依据这个概率值求出高二学生被抽到的人数．【详解】由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7可以做出每人抽取一个人，从高二学生中抽取的人数应为．故选：D．【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平，属于基础题.3.双曲线的实轴长是A.2 B. C.4 D.4【答案】C【解析】试题分析：双曲线方程变形为，所以，虚轴长为考点：双曲线方程及性质4.若，则下列不等式中肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取特殊值解除ACD选项，由幂函数的单调性推断B选项.【详解】当时，；；则AC错误；当时，，则D错误；因函数在上单调递减，，所以故选：B【点睛】本题主要考查了由所给条件推断不等式是否成立，属于中档题.5.设样本数据，，…，的平均数和方差分别为1和4，若（a为非零常数，，2，…，5），则，，…，的平均数和方差分别为（）A.1，4 B.， C.，4 D.1，【答案】C【解析】【分析】干脆利用平均数和方差公式求解.【详解】由题得，，…，的均值为，，…，的方差．∵，，…，的方差为4∴，，…，的方差为4故选：C【点睛】本题主要考查平均数和方差的公式的计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和计算实力.6.一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为故选B.考点：由三视图求面积、体积．7.若方程表示曲线为焦点在y轴上椭圆，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据椭圆的性质得出不等式组，即可得出答案.【详解】由题意可得，，解得故选：A【点睛】本题主要考查了由方程表示椭圆求参数范围，属于中档题.8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A.35 B.20 C.18 D.9【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：起先：输入成立；，成立；，成立；，不成立，输出.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.9.设，，表示平面，m，n，l表示直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】利用空间直线平面位置关系对每一个选项逐一分析推断得解.【详解】A.若，，则或者或者与斜交，所以该选项错误；B.若，，，则或者或者或者与斜交，所以该选项错误；C.若，，，则,是正确的.D.若，，，则或者或者与相交，所以该选项错误.故选：C【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的推断，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和空间想象实力.10.若关于x的不等式至少有一个负实数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】将该不等式的问题，转化为函数的交点问题，利用图象即可得出实数a的取值范围.【详解】关于x的不等式等价于若不等式至少有一个实数解，则函数与的图象有交点在同一坐标系中，画出函数与的图象，如下图所示当的图象右边部分与相切时，有唯一解，即有唯一解，则，解得当的图象左边部分过时，求得则实数a的取值范围是故选：D【点睛】本题主要考查了由函数的零点求参数范围，属于中档题.11.已知直线与抛物线分别相交于A，B两点，与C的准线交于点D，若，则k的值为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，设，两点在抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，利用在直角三角形中，，从而得出直线的斜率．【详解】如图，设，两点在抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，由抛物线的定义可知：设，为中点，依据抛物线的定义可知：，，，可得，即，，，，在直角三角形中，，则直线的斜率.故选：．【点睛】本题主要考察了直线与抛物线的位置关系、抛物线的简洁性质，特殊是焦点弦问题，解题时要擅长运用抛物线的定义解决问题．12.已知双曲线的左，右焦点分别为，，离心率为，过作圆的切线交双曲线右支于点M，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据几何关系得出直线的方程，与双曲线方程联立得出的坐标，依据距离公式以及余弦定理即可得出答案.【详解】由题意可得设切点为，连，则，即直线①将①式代入得，解得则由双曲线定义得由余弦定理得故选：D【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系求参数，属于中档题.二、填空题：把答案填在答题纸上.13.双曲线的渐近线方程为_______.【答案】【解析】【分析】依据方程得出，即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】依据双曲线的方程得则其渐近线方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了求双曲线的渐近线方程，属于基础题.14.在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间内的概率为_______.【答案】【解析】【分析】利用几何概型求概率即可.【详解】将取出的两个数用表示，则要求这两个数的平方和在内，则由图可知，表示图中阴影部分则这两个数的平方和在区间内的概率为故答案为：【点睛】本题主要考查了几何概型计算概率，属于中档题.15.在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_______.【答案】【解析】【分析】依据几何关系确定该三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式即可得出答案.【详解】设外接球的球心为，半径为，的中点为，的外接圆圆心分别为，连接，如下图所示则，为平面与平面的交线即平面，平面，平面，平面故四边形为矩形，则该三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题主要考查了几何体的外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.16.不等式对于随意及恒成立，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】分别参数，令，依据不等式的性质得出，设，依据函数单调性的定义得出其值域，即可确定的范围.【详解】依题意，不等式等价于，设及，，即，则令，令时，当时，，则当时，，则所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增则，即故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，涉及求函数的值域，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy中，圆，过点与（1）求圆C的方程；（2）若圆C上有两点M，N关于直线对称，且，求直线MN方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）将点与代入圆的方程，解方程组即可得出圆C的方程；（2）由两直线垂直的关系设出直线MN的方程，结合圆的弦长公式以及点到直线的距离公式，即可得出直线MN的方程.【详解】（1）由，解得则圆C的方程为，即（2）由（1）可得，圆的圆心坐标为由于关于直线对称，则所在的直线与直线垂直设所在直线方程为，圆心到直线的距离由弦长公式得，解得圆心到直线的距离解得即直线MN的方程为或【点睛】本题主要考查了求圆的方程以及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题.18.某厂通过节能降耗技术改造后，记录了生产A产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组统计数据，如下表：x30405060y25304045（1）利用所给数据求y关于x的回来直线方程；（2）已知该厂技改前100吨A产品的生产能耗为90吨标准煤，请你预料该厂技改后100吨A产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考公式：最小二乘法估计分别为，，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用最小二乘法得出回来方程即可；（2）将代入回来方程，即可得出答案.【详解】（1），即（2）当时，，则该厂技改后100吨A产品的生产能耗比技改前降低吨标准煤【点睛】本题主要考查了求回来方程以及依据回来方程进行数据估计，属于中档题.19.某校抽取了100名学生期中考试的英语和数学成果，已知成果都不低于100分，其中英语成果的频率分布直方图如图所示，成果分组区间是，，，，.（1）依据频率分布直方图，估计这100名学生英语成果的平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）若这100名学生数学成果分数段的人数y的状况如下表所示：分组区间y154040mn且区间内英语人数与数学人数之比为，现从数学成果在的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成果在的概率.【答案】（1）这100名学生英语成果的平均数和中位数分别为，（2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求平均数，中位数的方法求解即可；（2）利用题设条件得出的值，再由古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）这100名学生英语成果的平均数为设这100名学生英语成果的中位数为直方图可知对应的频率分别为，解得则这100名学生英语成果的中位数为（2）区间内英语人数为人区间内数学人数为人设数学成果在的人记为，数学成果在的人记为则从数学成果在的学生中随机选取2人的全部状况为，，，共10种，其中选出的2人中恰好有1人数学成果在有6种即选出的2人中恰好有1人数学成果在的概率为【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数，中位数以及古典概型概率的求解，属于中档题.20.如图，多面体ABCDE中，平面ACD，平面ACD，，，，点F为CE中点.（1）证明平面ACD；（2）求AF与平面ABED所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用向量法求解即可.【详解】（1）取的中点为，连接平面ACD，平面ACD，且在中，分别是中点，且且即四边形为平行四边形平面ACD，平面ACD平面ACD（2）由（1）可知，，平面平面，，以点作为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为取，则设AF与平面ABED所成角为点睛】本题主要考查了证明线面平行以及利用向量法证明线面角，属于中档题.21.已知点，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，设点M的轨迹为C.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线与轨迹C交于D、E两点，，若，求弦长的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据斜率公式得出直线AM的斜率与直线BM的斜率，由题意得出点M的轨迹C的方程；（2）将转化为，结合韦达定理以及弦长公式，即可得出答案.【详解】（1）设，由题意得，则，即，化简得故点M的轨迹C的方程为（2）设，则将代入中，得，则，解得或当时，与的交点为和，则不成立【点睛】本题主要考查了求平面轨迹方程以及直线与抛物线相交的弦长，属于中档题.22.已知椭圆左、右顶点分别为A、B，上顶点为D(0,1)，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点E是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AE、BE与直线分别交于M、N两点，当线段MN的长度最小时，椭圆C上是否存在点T使的面积为？若存在，求出点T的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的性质列出方程组，即可得出