人教版初中数学同步讲义八年级上册第03讲 角平分线的性质（解析版）

第03讲角平分线的性质课程标准学习目标①角平分线的定义②角平分线的性质③角平分线的尺规作图掌握角平分的定义以及基本性质。掌握角平分线的性质并能够证明。掌握角平分线尺规作图的基本原理，并能够利用直尺和圆规进行角平分线作图。知识点01角平分线的定义及其性质角平分线的定义：角的内部把角分成两个相等的角的射线这是个角的角平分线。角平分线的性质：性质1：平分角。即若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC。且他们都等于∠AOB的一半。性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有PD＝PE。题型考点：①利用角平分线的性质求线段长度或距离。②利用角平分线的性质求面积。【即学即练1】1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，∵BC＝9，，∴，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DH⊥AB，∴CD＝DH＝3，∴点D到AB的距离等于3，故选：C．【即学即练2】2．如图，AB∥CD，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与直线AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：过P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵PE⊥BC，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PE＝PD，即PA＝PD＝PE，∵AD＝PA+PD＝8，∴PA＝PD＝PE＝4，即点P到BC的距离是4，故选：C．【即学即练3】3．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∵DE＝2，∴DF＝2，∴S△ADC＝AC×DF＝×4×2＝4，故选：A．【即学即练4】4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（）A．60 B．30 C．15 D．10【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∵AB＝10，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×10×3＝15，故选：C．知识点02角平分线的尺规作图作已知角的角平分线：步骤一：以角的顶点为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。步骤二：以点M和点N为圆心，大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。步骤三：连接OP即为角平分线步骤一步骤二步骤三证明上图中的OP是角平分线：连接MP，NP由作图过程可知，OM＝ON，MP＝NP。在△OMP与△ONP中∴△OMP≌△ONP∴∠MOP＝∠NOP∴OP是∠AOB的角平分线。题型考点：①尺规作图为角平分线的依据。②尺规作图后的有关计算。③作图及其实际应用。【即学即练1】5．数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，∠AOB是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于MN的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是∠AOB的角平分线．小敏作图的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【解答】解：在△OMC与△ONC中，，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠COM＝∠CON，∴射线OC是∠AOB的角平分线．故选：D．【即学即练2】6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（）A．12 B．18 C．24 D．36【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG＝GH，∵CG＝3，∴，故选：B．【即学即练3】7．如图，l1、l2交于A点，请确定M点，使它到l1、l2的距离相等．（用直尺和圆规）【解答】解：如图，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AE，并延长；同理做出∠BAD的平分线AP，并延长，点M在直线NE或直线PQ上即可．【即学即练4】8．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．（1）如果要求油库到两条公路AB，AC的距离都相等，那么如何选择油库的位置？（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？【解答】解：（1）如图，加油站的位置在直线MN或直线EF上．（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．知识点03角平分线的判定角平分线的判定的内容：角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。数学语言：点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的平分线上。即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD∴∠AOC＝∠BOC题型考点：角平分线的判定证明。【即学即练1】9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线．【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠BAD，∴BE＝EF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线．【即学即练2】10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵AD＝AD，Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，∴AD平分∠BAC．知识点04三角形的角平分线性质三角形角平分线的性质：三角形一个角的角平分线分得的两个三角形的面积比等于这个角的两边的比，也等于这个角对边分得的两条线段的比。即如图：AD是△ABC的平分线。则＝＝。特别提示：分别以AB和AC为底、BD和CD为底表示出两个三角形的面积，然后比即可得出。题型考点：利用三角形角平分线的性质进行面积有关的计算。【即学即练1】11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（）A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA，∴．故选：B．【即学即练2】12．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（）A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，∵点O是△ABC三条角平分线的交点，∴OD＝OE＝OF，∵，，，∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝8OD：6OE：4OF＝4：3：2．故选：A．题型01角平分线的性质【典例1】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选：C．【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB，若BC＝7，BD＝4，则DE的长为（）​A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴DE＝DC，∵BC＝7，BD＝4，∴DC＝7﹣4＝3，∴DE＝3，故选：C．【典例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝16cm，点D到AB的距离为6cm，则BD的长为（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵DE⊥AB，∴DE＝6cm，∵∠1＝∠2，∴AD是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝6cm，∵BC＝16cm，∴BD＝10cm．故选：D．【典例4】如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24cm，面积为36cm2，则点P到边BC的距离是（）A．8cm B．3cm C．4cm D．6cm【解答】解：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，∵点P是△ABC的内角平分线的交点，∴PE＝PF＝PD，又△ABC的周长为24cm，面积为36cm2，∴，∴，∴PE＝3cm．故选：B．【典例5】如图，△ABC的周长为12cm，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于点D，且OD＝2cm，则△ABC的面积为cm2．【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，∴OE＝OD＝2，OF＝OD＝2，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×AB×2+×BC×2+×AC×2＝AB+BC+AC＝12（cm2）．故答案为12．【典例6】如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝8，BC＝4，且S△ABC＝36，则△DBC的面积是．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的一条角平分线，∴DE＝DF，∵AB＝8，BC＝4，∴S△ABC＝AB•DE+BC•DF＝×8•DF+×4•DF＝36，解得DF＝6，∴S△DBC＝BC•DF＝×4×6＝12．故答案为：12．题型02角平分线的作图【典例1】观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线 B．OC＝OD C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE＝∠BOE【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC＝OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE＝∠BOE，D正确．故选：C．【典例2】如图，已知∠AOB，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画分别交OA，OB于点C，D；②分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径画弧，两弧交于点E；③连接OE，CE，DE，CD．下列结论错误的是（）A．∠OCE＝∠ODE B．∠ECD＝∠OCD C．∠AOE＝∠BOE D．CD⊥OE【解答】解：由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线，则∠COE＝∠DOE，故C选项正确，又OC＝OD，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，故A正确；∵OC＝OD，EC＝ED，∴OE垂直平分CD，则OE⊥CD，故D选项正确，没有条件能得出∠OCD＝∠ECD，故选：B．【典例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤作图：以点A为圆心、适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；分别以点M、N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF并延长，交BC于点E．下列结论不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ACB B．BE＝CE C．AE⊥BC D．∠BAE＝∠B【解答】解：由作法得AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CE，AE⊥BC．故选：D．【典例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本作图可知，AP平分∠CAB∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝30，故选：B．题型03角平分线的性质的实际应用【典例1】为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（）A．△ABC三条高线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处【解答】解：∵度假村到三条公路的距离相等，∴这个度假村为△ABC的角平分线的交点．故选：C．【典例2】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处，故选：A．1．到三角形的三条边距离相等的点（）A．是三条角平分线的交点 B．是三条中线的交点 C．是三条高的交点 D．以上答案都不对【解答】解：∵三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形的三边的距离相等．∴到三角形的三条边距离相等的点是三条角平分线的交点，故选：A．2．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．若△ABC的面积为26，AB＝8，BC＝5，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作DF⊥BC于F，如图，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，∴×5×DF+×8×DE＝26，∴DE＝26，∴DE＝4．故选：D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（）A．15 B．30 C．12 D．10【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×10×3＝15．故选：A．4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的长不可能是（）A．4 B．3.5 C．2 D．1.5【解答】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴点P到OM的距离等于PA，即点P到OM的距离为2，∴PQ≥2．故选：D．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（）A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2【解答】解：作DH⊥BC于点H，如图：∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．∴DH＝DF．∵DF＝3cm．∴DH＝3cm．∵BC＝8cm．∴△CDB的面积为：＝12cm2．故选：A．6．如图，∠AOB＝70°，点C是∠AOB内一点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠DOC的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，且CD＝CE，∴OC平分∠AOB，∵∠AOB＝70°，∴∠DOC＝∠AOB＝35°，故选：B．7．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝4，则点P到AD与BC的距离之和为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：过点P作PF⊥BC，垂足为F，延长FP交AD于点M，∴∠BFP＝90°，∵AD∥BC，∴∠BFP＝∠DMP＝90°，∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PF⊥BC，∴PE＝PF＝4，∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PM⊥AD，∴PE＝PM＝4，∴MF＝PM+PF＝8，∴点P到AD与BC的距离之和为8，故选：C．8．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F，交AD的延长线于点G，连接BG，下列结论：①∠BAD＝∠BCG；②（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGC＝∠BAE+∠ACB；④S△ABD•S△CDG＝S△BDG•S△ACD，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵AD⊥BC，AF⊥CG，∴∠BCG+∠CGA＝90°，∠GAF+∠CGA＝90°，∴∠BCG＝∠GAF，根据已知条件无法判定∠BAD与∠GAF相等，∴无法判定∠BAD与∠BCG相等，故结论①不正确；②设∠ECF＝α，即∠BCG＝α，由①可知：∠GAF＝∠BCG＝α，即∠DAE＝α设∠BAC＝2β，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝β，∴∠BAD＝∠BAE﹣∠GAF＝β﹣α，∠AED＝∠ACB+∠CAE＝∠ACB+β，∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠DAE+∠AED＝90°，∴β﹣α+∠ABD＝90°，α+∠ACB+β＝90°，∴β﹣α+∠ABD＝α+∠ACB+β，∴α＝（∠ABD﹣∠ACE），∴∠ECF＝（∠ABD﹣∠ACE），故结论②正确；③∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠AED＝∠CAE+∠ACB＝∠BAE+∠ACB，∵AD⊥AB，AF⊥CG，∴∠AGC+∠GAF＝90°，∠AED+∠GAF＝90°，∴∠AGC＝∠AED＝∠BAE+∠ACB，故结论③正确；④∵AD⊥BC，∴S△ABD＝BD•AD，S△CDG＝CD•DG，S△BDG＝BD•DG，S△ACD＝CD•AD，∴S△ABD•S△CDG＝BD•AD•CD•DG，S△BDG•S△ACD＝BD•DG•CD•AD，∴S△ABD•S△CDG＝S△BDG•S△ACD，故结论④正确．综上所述：结论②③④正确，共3个．故选：C．9．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有处．【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处，故答案为：4．10．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15cm2，AB＝8cm，BC＝12cm，则DE＝cm．【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵AB＝8cm，BC＝12cm，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝15cm2，∴DE＝1.5cm．故答案为：1.5．11．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，∠BOC＝．【解答】解：∵OF＝OD＝OE，∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．故答案为：125°．12．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是．【解答】解：如图，连接OA，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝3，∴S△ABC＝×20×3＝30．故答案为：30．13．已知：如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，∠GFH+∠BHC＝180°．（1）证明：∠1＝∠2；（2）若∠A＝55°，∠ABC＝80°，求∠FGC．【解答】（1）证明：∵∠GFH+∠BHC＝180°，∠BHC＝∠FHD，∴∠FHD+∠GFH＝180°，∴FG∥BD，∴∠1＝∠2．（2）解：∵BD平分∠ABC，∴∠2＝∠CBD＝，∵∠1＝∠