人教版初中数学同步讲义八年级上册第02讲 全等三角形的判定（原卷版）

第02讲全等三角形的判定课程标准学习目标①全等三角形的判定②直角三角形的全等判定掌握全等三角形的几种判定方法。掌握直角三角形的判定方法。能够熟练运用全等三角形的判定方法判定全等。对全等三角形的应用知识点01边边边（SSS）判定全等概念：分别对应相等的两个三角形全等。数学语言：如图：在△ABC与△DEF中：∴△ABC≌△DEF（SSS）。题型考点：①添加全等判定条件。②全等判定。【即学即练1】1．如图，已知AB＝DC，若用定理SSS证明△ABC≌△DCB，则需要添加的条件是（）​A．OA＝OD B．AC＝DB C．OB＝OC D．BC＝CB【即学即练2】2．如图，在△ACD和△ABD中，CD＝BD，AC＝AB．求证：△ACD≌△ABD．知识点02边角边（SAS）判定全等概念：对应相等的两个三角形全等。数学语言：如图：在△ABC与△DEF中：∴△ABC≌△DEF。题型考点：①添加全等判定条件。②全等判定。【即学即练1】3．如图，在△ABF和△DCE中，点E、F在BC上，AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（）A．BE＝CF B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB＝DC【即学即练2】4．如图，点D在线段BE上，AB∥CD，AB＝DE，BD＝CD．△ABD和△EDC全等吗？为什么？知识点03角边角（ASA）判定全等概念：对应相等的两个三角形全等。数学语言：如图，在△ABC与△DEF中：∴△ABC≌△DEF。题型考点：①添加全等判定条件。②全等判定。【即学即练1】5．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（）​A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠E【即学即练2】6.（2023春•东明县期末）如图，点F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AF＝DC，求证：△ABC≌△DEF．知识点04角角边（AAS）判定全等概念：对应相等的两个三角形全等。数学语言：如图，在△ABC与△DEF中：∴△ABC≌△DEF。题型考点：①添加全等判定条件。②全等判定。【即学即练1】7．如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（）A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA【即学即练2】8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E．AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF．．知识点05直角三角形的直角边与斜边（HL）判定全等概念：直角三角形的对应相等的两个三角形全等。数学语言：如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中：∴Rt△ABC≌Rt△DEF。题型考点：①添加全等判定条件。②全等判定。【即学即练1】9．如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC＝CD，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（）A．CE＝BC B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠E【即学即练2】10．如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点A在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．寻找全等判定条件的方法总结：题型01补充判定全等的条件【典例1】如图，∠A＝∠D，BC＝EF，要得到△ABC≌△DEF，只需添加（）A．AC＝DF B．∠E＝∠B C．AB＝DE D．DE∥AB【典例2】如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：不能使△ABC≌△AED的条件（）A．BC＝ED B．AB＝AE C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E【典例3】如图，∠1＝∠2，下列条件中不能使△ABD≌△ACD的是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．∠ADB＝∠ADC D．DB＝DC【典例4】如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD【典例5】如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．AC＝DF【典例6】如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确题型02全等三角形的判定证明【典例1】如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．​求证：△ABC≌△DFE．【典例2】如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC，点E在线段BD上，∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE．求证：△ABD≌△ECD．【典例3】如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．【典例4】如图，∠C＝∠E，点D在BC边上，BC＝DE，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．【典例5】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED．​题型03全等三角形的判定与性质【典例1】已知锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点F，交AD于点E．（1）求证：△BDE≌△ADC；（2）若BD＝8，DC＝6，求线段EF的长度．【典例2】如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．【典例3】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．【典例4】如图，点B、F、C、E在一条直线上，OA＝OD，AC∥FD，AD交BE于O．（1）求证：△ACO≌△DFO；（2）若BF＝CE．求证：AB∥DE．【典例5】已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE．（1）如图，当∠ACB＝90°时；①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB＝α，其它条件不变时，∠BDE的度数是．（用含α的代数式表示）题型04全等三角形的应用【典例1】王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（）典例1典例2A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm【典例2】如图，要测量小金河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使BC＝CD．从点D出发沿与河岸BF垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．若测量DE的长为28米，则A、B两点之间的距离为28米．【典例3】小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）​典例3典例4A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m【典例4】如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点A．B．C分别落在凹槽内壁上，测得AD＝5cm，BE＝9cm，则该零件的面积为（）A．14 B．53 C．98 D．1961．如图，已知∠BCA＝∠BDA＝90°，BC＝BD．则证明△BAC≌△BAD的理由是（）​A．SAS B．ASA C．AAS D．HL2．如图，点A、B分别在OC、OD上，AD与BC相交于点E，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝40°，∠D＝20°，则∠AEC等于（）A．70° B．80° C．90° D．100°3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．下列结论不一定成立的是（）A．AD＝BC B．AB∥CD C．∠DAB＝∠BCD D．∠DAB＝∠ABC4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线CG，若∠B＝40°，则∠FCG为（）A．40° B．50° C．60° D．70°5．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和是（）A．6 B．8 C．9 D．126．如图，AD和CE是△ABC的高，交于点F，且BD＝FD＝4，CD＝7，则AF的长为​（）A．3 B．4 C．5 D．67．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值为（）A．6 B．5 C．4 D．38．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（）A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm9．如图，已知：AD与BC交于O点，OA＝OB，要使△AOC≌△BOD，添加一个你认为合适的条件为．第9题第10题10．在测量一个小口圆形容器的壁厚（厚度均匀）时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝3cm，EF＝5cm，圆形容器的壁厚是cm．11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分△BAC交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥AB交AB于点F．若BF＝BE，AC＝4，DF＝3．则AE的长为．12．如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点P，Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，此时t＝．13．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．14．如图，△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在