人教版初中数学同步讲义八年级上册第05讲 因式分解-公式法与十字相乘法（原卷版）

第05讲因式分解—公式法与十字相乘法课程标准学习目标①公式法②十字相乘法掌握公式法，并且能够熟练的应用公式法进行因式分解。掌握十字相乘法分解因式，并且能够熟练运用十字相乘法。知识点01平方差公式分解因式平方差公式分解因式的内容：两个数的平方差等于这两个数的乘以这两个数的。即：式子特点分析与因式分解结果：①式子特点分析：式子是一个，符号且都可以写成的形式。②因式分解结果：等于写成平方形式时的的和乘以的差。考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。【即学即练1】1．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（）A．x2﹣25 B．x3﹣4 C．x2﹣2x+1 D．x2+1【即学即练2】2．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（）A．﹣m2+n2 B．﹣m2﹣n2 C．4m2﹣1 D．（m+n）2﹣9【即学即练3】3．把下列各式因式分解：（1）x2﹣25y2．（2）﹣4m2+25n2．（3）（a+b）2﹣4a2．（4）a4﹣1．（5）9（m+n）2﹣（m﹣n）2．（6）mx2﹣4my2．知识点02完全平方公式分解因式完全平方公式分解因式的内容：。式子特点分析与因式分解结果：①式子特点分析：式子是一个，其中两项符号且都能写成的形式，第三项是平方两项乘积的。②因式分解结果：等于的平方或的平方。若第三项与平方两项符号，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号，则等于底数差的平方。若平方两项是符号，则在括号前添加负号。题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。③求值【即学即练1】4．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）A．a2+ab+b2 B．9y2﹣4y C．4a2+1﹣4a D．q2+2q﹣1【即学即练2】5．下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②a2+ab+b2；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练3】6．把下列各式分解因式．（1）n2﹣6mn+9m2（2）a2﹣14ab+49b2（3）a2﹣4ab+4b2（4）m2﹣10m+25．【即学即练4】7．分解因式：①x2+6x+9＝；②1﹣4x+4y2＝；③﹣a2+2a﹣1＝．【即学即练5】8．已知x2﹣y2＝69，x+y＝3，则x﹣y＝．【即学即练6】9．若x2+mx+16＝（x+n）2，其中m、n为常数，则n的值是（）A．n＝8 B．n＝±8 C．n＝4 D．n＝±4【即学即练7】10．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（）A．m＝，n＝ B．m＝，n＝5 C．m＝25，n＝5 D．m＝5，n＝知识点03十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式：对于一个二次三项式，若存在，，且，那么二次三项式可以分解为：举例说明：。∴对于初中所用的十字相乘法，二次项系数都是等于1的，即。若存在有，且，则可分解为：举例说明：∵且∴题型考点：①十字相乘法分解因式。②根据十字相乘法分解因式求值。【即学即练1】11．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2﹣3x+2（3）x2+2x﹣3（4）x2﹣2x﹣3（5）x2+5x+6（6）x2﹣5x﹣6（7）x2+x﹣6（8）x2﹣x﹣6（9）x2﹣5x﹣36（10）x2+3x﹣18（11）2x2﹣3x+1（12）6x2+5x﹣6．【即学即练2】12．把多项式x2﹣6x+m分解因式得（x+3）（x﹣n），则m+n的值是．【即学即练3】13．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3题型01公式法分解因式【典例1】因式分解：（1）m2﹣16；（2）（a2+1）2﹣4a2．【典例2】把下列各式因式分解：（1）4a2﹣；（2）（x+y+1）2﹣（x﹣y+1）2．【典例3】把下列各式因式分解：（1）（x2+4）2﹣16x2；（2）﹣4ab﹣4a2﹣b2．【典例4】把下列各式因式分解：（1）﹣x2﹣4y2+4xy；（2）16a2﹣（2a+3b）2．【典例5】因式分解：（1）﹣4x2+12xy﹣9y2；（2）4﹣12（y﹣x）+9（x﹣y）2．【典例6】分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．题型02公式法的应用——求值【典例1】若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（）A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．无法确定【典例2】已知x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2，则b2﹣a2的值是（）A．﹣72 B．﹣45 C．45 D．72【典例3】已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（）A．12 B．±12 C．24 D．±24【典例4】若x2+（m﹣3）x+4能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为（）A．1或5 B．7或﹣1 C．5 D．7【典例5】已知4x2+2（k+1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则k＝．题型03十字相乘法分解因式【典例1】把多项式x2﹣3x+2分解因式，下列结果正确的是（）A．（x﹣1）（x+2） B．（x﹣1）（x﹣2） C．（x+1）（x+2） D．（x+1）（x﹣2）【典例2】分解因式：（1）x2﹣12x+36＝；x2+2x﹣15＝；（2）（x﹣2）（x﹣3）﹣20．【典例3】阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．（1）x2﹣6x+8；（2）x2﹣2x﹣15；（3）（x﹣4）（x+7）+18．【典例4】阅读下面的材料．材料一：当ab＝0时，a＝0，或b＝0．材料二：把等式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab的左右两边交换位置后，得到x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．所以在解方程x2+3x+2＝0时，可以把方程变形为（x+1）（x+2）＝0，所以x+1＝0，或x+2＝0．所以x1＝﹣1，x2＝﹣2．根据以上材料回答下列问题：（1）因式分解：x2+7x﹣18＝；（2）解方程：x2﹣5x+4＝0；（3）若x2﹣xy﹣12y2＝0，则x与y的关系式是．题型04十字相乘法的应用——求值【典例1】把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（）A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7【典例2】若x2+px+q＝（x+3）（x﹣5），则p、q的值分别为（）A．﹣15，﹣2 B．﹣2，﹣15 C．15，﹣2 D．2，﹣15【典例3】若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【典例4】若将多项式x2﹣ax+b因式分解为（x﹣2）（x+5），则（﹣3a+b）2023的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣11．下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2 B．16m2﹣25n2 C．4x2+4x+1 D．a2+2ab﹣b22．已知x2+kx+36可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（）A．±6 B．±12 C．6 D．123．下面分解因式正确的是（）A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2 D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）24．若多项式x2+mx+n可因式分解为（x﹣2）（x+3），则mn的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．15．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z6．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056 D．1.1111111×10177．若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，则a2﹣b2的值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣68．若二次三项式ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2），则当a＞0，b＜0，c＞0时，c1，c2的符号为（）A．c1＞0，c2＞0 B．c1＜0，c2＜0 C．c1＞0，c2＜0 D．c1，c2同号分解因式：x6﹣28x3+27＝．10．分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2＝．11．若多项式x2+mx+n分解因式后的结果为（x+2）（x+3），则m﹣n的值为．12．若|a﹣2|+b2﹣2b+1＝0，则a2﹣b＝．13．已知4m+n＝40，2m﹣3n＝5．求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．14．下面是某同学对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解的过程：解：设x2﹣4x＝y，原式＝y（y+8）+16（第一步）＝y2+8y+16（（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）．回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了．A．提取公因式B．逆用平方差公式C．逆用完全平方公式（2）该同学因式分解的结果不彻底，应更正为．（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解．15．把代数式通过配凑等手段，