2025年高考数学一轮复习-课时作业14 二项分布【含解析】

课时作业14二项分布【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝2，D(X)＝1.6，则二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝eq\f(1,2) B．n＝6，p＝eq\f(1,3)C．n＝8，p＝eq\f(1,4) D．n＝10，p＝eq\f(1,5)2．小明准备与对手比赛，已知每局比赛小明获胜的概率为0.6，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对小明有利()A．3局2胜制 B．5局3胜制C．都一样 D．无法判断3．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.4)，则E(η)，D(η)分别是()A．4和2.4 B．2和2.4C．6和2.4 D．4和5.64．某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是()A．p3 B．p3(1－p)C．Ceq\o\al(3,4)p3(1－p) D．Ceq\o\al(3,4)p35．若随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝10，则D(2X－1)＝()A．64 B．128C．36 D．326．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为()A．60,24 B．80,120C．80,24 D．60,1207．已知某离散型随机变量X服从二项分布P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)0.2k0.84－k(k＝0,1,2,3,4)，则X的方差D(X)＝()A．0.56 B．0.64C．0.72 D．0.808．(多选题)已知随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(1,3)))，若使P(X＝k)的值最大，则k的值可以为()A．5 B．6C．7 D．8二、填空题9．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为.10．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1＝0.3；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，设这个n人团队解决项目M的概率为P2，若P2≥P1，则n的最小值是.11．若随机变量X～B(5，p)，且E(X)＝eq\f(10,3)，则D(2X)＝；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤\f(5,2)))＝.三、解答题12．在①这5个家庭均有小汽车，②这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车，③这5个家庭中，4个家庭以上(含4个家庭)拥有小汽车．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求相应的概率．问题：某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，求________的概率．13．假定人们对某种特别的花粉过敏的概率为0.25，现在检验20名大学生志愿者是否对这种花粉过敏．(1)求样本中恰好有两人过敏的概率及至少有2人过敏的概率；(2)要使样本中至少检测到1人过敏的概率大于99.9%，则抽取的样本容量至少要多大？(3)若检验后发现20名大学生中过敏的不到2人，这说明了什么？试分析原因．附：0.7518≈0.0056,0.7519≈0.0042,0.7520≈0.003，lg0.75≈－0.1249.14．(多选题)某渔业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：分组(单位：毫米)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100)频数100100m350150n已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中，[95,100)分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是()A．m＝250B．鱼苗体长在[90,100)上的频率为0.16C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数的期望为3015．已知随机变量ξ服从二项分布，ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则E(2ξ＋3)＝9，D(2ξ＋3)＝.16．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；(2)在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率．求X的分布列和数学期望；(3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．课时作业14二项分布【解析版】时间：45分钟一、选择题1．已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝2，D(X)＝1.6，则二项分布的参数n，p的值为(D)A．n＝4，p＝eq\f(1,2) B．n＝6，p＝eq\f(1,3)C．n＝8，p＝eq\f(1,4) D．n＝10，p＝eq\f(1,5)解析：随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝2，D(X)＝1.6，可得np＝2，np(1－p)＝1.6，解得p＝0.2，n＝10，故选D.2．小明准备与对手比赛，已知每局比赛小明获胜的概率为0.6，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对小明有利(B)A．3局2胜制 B．5局3胜制C．都一样 D．无法判断解析：采用5局3胜制：P＝0.63＋Ceq\o\al(2,3)×0.62×0.4×0.6＋Ceq\o\al(2,4)×0.62×0.42×0.6＝0.68256，采用3局2胜制：P＝0.62＋Ceq\o\al(1,2)×0.6×0.4×0.6＝0.648，所以对小明来说，在五局三胜制中获胜的概率比较大．故选B.3．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.4)，则E(η)，D(η)分别是(A)A．4和2.4 B．2和2.4C．6和2.4 D．4和5.6解析：∵ξ～B(10,0.4)，∴E(ξ)＝10×0.4＝4，D(ξ)＝10×0.4×0.6＝2.4，∵η＝8－ξ，∴E(η)＝E(8－ξ)＝4，D(η)＝D(8－ξ)＝2.4.故选A.4．某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是(C)A．p3 B．p3(1－p)C．Ceq\o\al(3,4)p3(1－p) D．Ceq\o\al(3,4)p3解析：由题意，从这批产品中任取4件，所得次品数记作X，则X服从二项分布，即X～B(4，p)，所以从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)．故选C.5．若随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝10，则D(2X－1)＝(C)A．64 B．128C．36 D．32解析：随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝10，所以100p＝10，所以p＝0.1，D(X)＝100×0.1×0.9＝9，D(2X－1)＝4D(X)＝4×9＝36.故选C.6．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为(D)A．60,24 B．80,120C．80,24 D．60,120解析：设该同学20次罚篮，命中次数为X，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(3,5)))，所以E(X)＝20×eq\f(3,5)＝12，D(X)＝20×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(24,5)，所以该同学得分5X的期望为E(5X)＝5×12＝60，方差为D(5X)＝52×eq\f(24,5)＝120.故选D.7．已知某离散型随机变量X服从二项分布P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)0.2k0.84－k(k＝0,1,2,3,4)，则X的方差D(X)＝(B)A．0.56 B．0.64C．0.72 D．0.80解析：由题意p＝0.2，D(X)＝4×0.2×(1－0.2)＝0.64.故选B.8．(多选题)已知随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(1,3)))，若使P(X＝k)的值最大，则k的值可以为(BC)A．5 B．6C．7 D．8解析：令eq\f(PX＝k＋1,PX＝k)＝eq\f(C\o\al(k＋1,20)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))20－k－1,C\o\al(k,20)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))20－k)＝eq\f(20－k,2k＋2)>1，得k<6，即当k<6时，P(X＝k＋1)>P(X＝k)；当k＝6时，P(X＝7)＝P(X＝6)；当k>6时，P(X＝k＋1)<P(X＝k)，所以P(X＝6)和P(X＝7)的值最大．故选BC.二、填空题9．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为60,96.解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.由题知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.10．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1＝0.3；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，设这个n人团队解决项目M的概率为P2，若P2≥P1，则n的最小值是4.解析：∵李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1＝0.3，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.1，现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，设这个n人团队解决项目M的概率为P2，则P2＝1－Ceq\o\al(0,n)0.9n，∵P2≥P1，∴1－0.9n≥0.3，解得n≥4.∴n的最小值是4.11．若随机变量X～B(5，p)，且E(X)＝eq\f(10,3)，则D(2X)＝eq\f(40,9)；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤\f(5,2)))＝eq\f(50,243).解析：由随机变量X～B(5，p)，则E(X)＝5p＝eq\f(10,3)⇒p＝eq\f(2,3)，D(X)＝5×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(10,9)，所以D(2X)＝4D(X)＝4×eq\f(10,9)＝eq\f(40,9)；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤X≤\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(1,5)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＋Ceq\o\al(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(50,243).三、解答题12．在①这5个家庭均有小汽车，②这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车，③这5个家庭中，4个家庭以上(含4个家庭)拥有小汽车．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求相应的概率．问题：某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，求________的概率．解：若选①，则这5个家庭均有小汽车的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))5＝eq\f(243,1024)；若选②，这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(135,512)；若选③，这5个家庭中，4个家庭以上(含4个家庭)拥有小汽车的概率为Ceq\o\al(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))5＝eq\f(81,128).(答案不唯一，选择其一即可)13．假定人们对某种特别的花粉过敏的概率为0.25，现在检验20名大学生志愿者是否对这种花粉过敏．(1)求样本中恰好有两人过敏的概率及至少有2人过敏的概率；(2)要使样本中至少检测到1人过敏的概率大于99.9%，则抽取的样本容量至少要多大？(3)若检验后发现20名大学生中过敏的不到2人，这说明了什么？试分析原因．附：0.7518≈0.0056,0.7519≈0.0042,0.7520≈0.003，lg0.75≈－0.1249.解：(1)设样本中对花粉过敏的人数为X，则X～B(20,0.25)，故P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,20)×0.252×0.7518≈0.067，P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－0.7520－Ceq\o\al(1,20)×0.25×0.7519≈1－0.003－0.021＝0.976，所以样本中恰好有两人过敏的概率为0.067，至少有2人过敏的概率为0.976.(2)设样本容量为n，该样本中检测到对花粉过敏的人数为Y，则Y～B(n,0.25)，故P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－0.75n>99.9%，得0.75n<0.001，取对数得nlg0.75<－3，所以n>eq\f(－3,lg0.75)≈24.02，所以抽取的样本容量至少为25.(3)由第一问可知，检验的20人中不到2人过敏的概率为1－0.976＝0.024，此概率非常小，在正常情况下，一次试验中几乎不会发生，出现此种情况的原因有可能为：①原假设不成立，即每个人对这种花粉过敏的概率不到0.25；②检验的样本只针对大学生，没有随机性；③检验的环节出现了问题．14．(多选题)某渔业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：分组(单位：毫米)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100)频数100100m350150n已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中，[95,100)分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是(ACD)A．m＝250B．鱼苗体长在[90,100)上的频率为0.16C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数的期望为30解析：因为[95,100)分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，所以[95,100)分组对应的频率为0.01×5＝0.05，n＝1000×0.05＝50，则m＝1000－100－100－350－150－50＝250，A正确；鱼苗体长在[90,100)上的频率为eq\f(150＋50,1000)＝0.2，B错误；因为鱼的总数为1000,100＋100＋250＝450,100＋100＋250＋350＝800，所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内，C正确；由表中数据易知，鱼苗体长落在区间[80,90)上的概率P＝eq\f(250＋350,1000)＝0.6，设所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数为X，则X服从二项分布，即X～B(50,0.6)，则E(X)＝50×0.6＝30，D正确，故选ACD.15．已知随机变量ξ服从二项分布，ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则E(2ξ＋3)＝9，D(2ξ＋3)＝6.解析：因为随机变量ξ服从二项分布，∴E(ξ)＝6×eq\f(1,2)＝3，D(ξ)＝6×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，则E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝9，D(2ξ＋3)＝22×D(ξ)＝6.16．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；(2)在2018年从A市到B市乘坐高铁的