第四章图形的相似全章考点整合应用 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第四章图形的相似全章热门考点整合应用核心考点整合考点1成比例线段及平行线分线段成比例1.如图,l₁∥l₂∥l₃,若ABBCA.4B.6C.8D.92.如图，l₁∥l₂∥l₃，两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F,若ABBC=54A59B49C543.已知线段x,y,z,且x3=(1)求x+2yy−3x(2)如果线段x,y,z满足3x--4y+5z=54,求x--2y+z的值.考点2相似多边形及黄金分割4.如图，有甲，乙，丙三个矩形，其中相似的是()A.甲与丙B.甲与乙C.乙与丙D.三个矩形都不相似5.，红透的枫叶总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”.如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为.6.新视角新定义题定义：如图①，点C在线段AB上,若满足AC²=BC·AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.运用:如图②,△ABC中,AB=AC,∠B=72°,∠ACB的平分线CD交AB于点D.(1)求证：点D是线段AB的黄金分割点；(2)若AC=2,求BC的长.考点3相似三角形的判定和性质7.如图,P为Rt△ABC斜边AB上任意一点(除A,B外),过点P作直线截△ABC,使截得的新三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线的作法共有()A.1种B.2种C.3种D.4种8.已知△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线,且AD:.A'①BCB'A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在边BC的延长线上，AD与BE相交于点F,若SACF−SDEF10.如图,在矩形ABCD中,M为BC上一点,EM⊥AM交AD的延长线于点E.(1)求证:△ABM∽△EMA;(2)若AB=4,BM=3,求AE的值.

11.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.(1)求证:△ACB∽△DCE;(2)猜想线段EF与AB有怎样的位置关系，试说明理由.考点4相似三角形的实际应用12.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1m,CD=8m,则树高AB=m.13.四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.如图是古代测量员用四分仪测量一方井深度的示意图，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测方井底点F，窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H.已知，四分仪为正方形ABCD，方井为矩形BEFG.若测量员从四分仪中读得AB为1米，BH为0.5米,实地测得BE为2.5米,则井深BG为.14.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.

考点5位似15.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为()A.(--1,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(1,0)16.如图,△ABO的顶点坐标是A(2,6),B(3,1),O(0,0),以点O为位似中心,将△ABO缩小为原来13₃,得到△A'B'O,则点A'的标为17.如图，A，B，O三点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图.(1)在图①中以点O为位似中心，作线段AB的位似图形CD，使其长度为AB的2倍.(2)已知△OPQ的三边比为1:25₅，在图②画格点△ABD,使△ABD与△OPQ相似.1.B2.A3.【解1∵∴设x=3k,y=4k,z=5k.1(2)∵3x-4y+5z=54,∴9k-16k+25k=54.∴k=3.∴x=9,y=12,z=15.∴x-2y+z=9-24+15=0.4.A5.116.(1)【证明】∵∠B=72°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=72°.∴∠A=36°.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∴∠A=∠ACD,∠CDB=72°.∴AD=CD,∠CDB=∠B.∴BC=CD.∴BC=AD.∵∠B=∠B,∠BCD=∠A=36°,∴△BAC∽△BCD.∴BC:AB=BD:BC.∴AD:AB=BD:AD.∴AD²=AB⋅BD.∴点D是线段AB的黄金分割点.(2)【解】∵点D是线段AB的黄金分割点，∴AD=由(1)知BC=AD,∴BC=7.C【点拨】如图,过点P可作PE∥BC或PE₁∥AC,所得三角形与△ABC相似.过点P还可作PE'⊥AB,可得∠E'∴△APE'∽△ACB.∴共有3种.故选C.8.B【点拨】∵△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,且AD:A'D'=7:4,故选B.927【点拨】由旋转得∵∴∴∴∴设点A到BE的距离为h，则12BC⋅ℎ10.(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=9Q°,AD∥BC.∴∠EAM=∠AMB.∵EM⊥AM,∴∠AME=90°.∴∠B=∠AME.∴△ABM∽△EMA.(2)【解】∵AB=4,BM=3,∠B=90°,∴AM=∵△ABM∽△EMA,∴∴11.(1)【证明】∵AC=3,CD=2,BC=6,CE=4,∴又∵∠ACB=∠DCE=90°,∴△ACB∽△DCE.(2)【解】猜想线段EF⊥AB.理由如下:∵△ACB∽△DCE,∴∠B=∠E.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∴∠A+∠E=90°.∴∠AFE=90°,即EF⊥AB.12.5【点拨】∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D,∴DEFDCB.∴∵DE=40cm=0.4m,EF=20cm=0.2m,CD=8m,∴∴AB=AC+BC=1+4=5(m).13.4米【点拨】∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°.∵BE=2.5米,BH=0.5米,∴HE=BE-BH=2.5-0.5=2(米).∵四边形BEFG是矩形,∴BG=EF,∠BEF=90°.∴∠ABH=∠FEH=90°.又∵∠AHB=∠FHE,∴△ABH∽△FEH.∴∴EF=4米.∴BG=4米.14.【解】∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF.∵AO⊥OD,EF⊥FG,∴∠AOD=∠EFG≈90°,∴△AOD∽△EFG∴AOEF=∴AO=15米.∵AD∥BC,∴∠BCO=∠ADO,∠DAO=∠CBO.∴△BOC∽△AOD.∴BOAO=∴BO=12米.∴AB=AO-BO=15